Кривые второго порядка на плоскости
Уравнение вида Ах2+2Вху+Су2+2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.
В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.
Таблица 2
| № п/п | Определение кривой | Вид уравнения | Примечание | |||||
 Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)
|  - каноническое уравнение эллипса
| 2а – большая ось;
2b – малая ось
2с–межфокус-ное расстояние с2=а2-b2;
 - эксцентриси-тет, 0<e<1.
Т. А1,А2,В1,В2 – вершины эллипса
| ||||||
Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.5)
|  - каноническое уравнение гиперболы
| 2а–действи-тельная ось;
2b–мнимая ось;
2с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2;
- эксцентри-ситет, e>1.
Точки А1,А2 – вершины гиперболы.
Прямые 
- асимптоты
| ||||||
| 3. | Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой.
| у2=2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ x2=2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б) | F  - фокус,
 ди-ректриса.
Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а)
F  - фокус,
 ди-ректриса.
Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)
|
1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х2+100у2=3600.
Решение:
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
36х2+100у2=3600, поделим обе части уравнения на 3600:
, a2=100, b2=36.
Fл(-с,0) – левый фокус;
Fп(с,0) – правый фокус;
С= 
.
Fл(-8,0); Fп(8,0).
Эксцентриситет: 
.
Ответ: Fл(-8,0); Fп(8,0); 
=0,8.
2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х2+25у2=400 и точку М0(1;-3) (рис.7).
| у |
| -4 |
| -5 |
| М |
| х |
| М0 |
| Рис. 7 |
Приведем уравнение 16х2+25у2=400 к каноническому виду.
, a2=25, b2=16.
Левая вершина эллипса (-а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М0 и М:
.
Ответ: 
.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х2-16у2=144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).
Решение:
| -3 |
| -4 |
| FП |
|
| х |
| у |
| Рис.8 |
Приведем уравнение 9х2-16у2=144 к каноническому виду 
, a2=16, b2=9.
Правый фокус гиперболы Fп(с,0);
С= 
.
Итак, Fп(5,0).
1-й способ.
Условие параллельности двух прямых: k1=k2.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k2x+b2;
3х-2у+6=0;
2у=3х+6;
у=(3/2)х+3;
k1=3/2Þk2=3/2.
Значит, y=(3/2)x+b2 проходит через точку Fп(5,0), то 0=(3/2)5+b2Þb2=-15/2. Итак, 
Û3x-2у-15=0.
2-й способ.
Искомая прямая проходит через точку Fл(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали 
, который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х0)+В(у-у0)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.
Ответ: 3х-2у-15=0.
4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х2+20у2=80, перпендикулярно прямой 2х-у+1=0 (рис.9).
| М |
|
| -2 |
| y |
|
| l |
| х |
|
| Рис. 9 |
Решение:
Приведем уравнение к каноническому виду 4х2+20у2=80,
, a2=20, b2=4.
Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).
1-й способ.
Условие перпендикулярности двух прямых: k1k3=-1.
2х-у+1=0
у=2х+1Þk1=2.
Пусть уравнение прямой имеет вид: y=k2x+b2;
k2=-1: k1Þk2=-1/2, 
Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то 
.
Итак, 
Þх+2у+4=0.
2-й способ.
По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х-у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали 
. Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0,у0) параллельно вектору 
, получим:
. У нас 
; 
;
-х=2у+4, х+2у+4=0.
Ответ: х+2у+4=0.
5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса 
под углом 45 к оси Ох.
Решение:
a2=16, b2=25.
Правый фокус эллипса имеет вид Fп(с,0);
С= 
.
Итак, Fп(3,0).
Так как прямая проходит под углом 45 к оси Ох, то k=tg=tg45=1.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;
k=1Þy=x+b.
Так как прямая проходит через точку Fп(3,0), то 0=3+bÞb=-3.
Значит, y=x-3.
Ответ: y=x-3.
Плоскость в пространстве
Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.
Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)
Таблица 3
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
| Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 | (x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора | Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости | |
| Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 | D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости; | Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными | |
| № п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
| х0,y0,z0 – координаты данной точки | преобразованиями | ||
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
| М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами | Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой | |
Уравнение плоскости в отрезках на осях
| а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат | аbc0 |
Пусть даны две плоскости a1 и a2:
a1: А1х +В1у+С1z+D1=0,
a2: А2х +В2у+С2z+D2=0.
Угол между двумя плоскостями определяется как 
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
=0, то есть 
=0.
Условие параллельности двух плоскостей:
или 
.
Расстояние от точки до плоскости:
,
где Ах+Ву+Сz+D=0 – заданная плоскость; М(x0,y0,z0) – данная точка.