Приклади розв’язання задач.

Приклад 7.1. За допомогою спектрофотометричного методу визначення вміст сульфату хініну в таблетках. Виконано 6 вимірювань, які дали такі результати: 99,9; 99,8; 99,6; 99,1; 99,2; 99,2%.

Знайти оцінку вмісту сульфату хініну в таблетках та його дисперсію і стандартне відхилення.

Розв’язання. Оцінкою істинного значення вимірюваної величини Х є її вибіркове середнє, яке розраховується за формулою

Де n – об’єм виборки, x_i – i-й елемент виборки.

Вибіркове середнє дорівнює

Дисперсія S² ознаки Х розраховується за формулою

Підставляючи чисельні значення, знаходимо

Стандартне (середньоквадратичне) відхилення S ознаки в окремому вимірювання розраховується за формулою

Стандартне відхилення усередненої ознаки (стандартне відхилення середнього арифметичного) розраховується за формулою

Воно дорівнює

Зауваження 1. Слід добре розрізняти стандартне відхилення S, яке є характеристикою окремого вимірювання у даній виборці, і стандартне відхилення середнього арифметичного, яке є характеристикою сукупності вимірювань.

Зауваження 1. Точність обчислення значення є невисокою, тому недоцільно записувати його більш ніж з двома значущими цифрами. Крім того, точність оцінки значення визначає і точність оцінки середнього значення

Приклад 7.2. Вимірювання об’єкту Х ампул 1%-го розчину аскорбінової кислоти в 40%-му розчині глюкози дало середнє значення =10 мл з дисперсією мл². Знайти:

а) Вірогідний інтервал для середнього об’єму всієї партії ампул з надійністю P=0,95, якщо вибірка становила 50 ампул.

б) Вірогідність того, що відхилення (півширина вірогідного інтервалу) не перевищує мл, якщо виборка становила 50 ампул.

в) Об’єм виборки, при якому гарантується гранична похибка мл з надійністю P=0,95.

Розв’язання. Оскільки дисперсія відома, використаємо статистику

Яка підпорядковується стандартному нормальному розподілу N(0;1).

а) Завдання вимагає знайти такий проміжок , що математичне сподівання об’єму ампули (його дійсне значення) з ймовірністю 0,95 знаходиться у цьому проміжку. Приналежність мат. Сподівання величини Х до проміжку відповідає приналежності величини Z до деякого проміжку з тією самою ймовірністю 0,95. Оскільки величина Z має розподіл N(0;1), то ця ймовірність дорівнює

де Ф(z) – функція розподілу нормованої нормально розподіленої випадкової величини (розподілу N(0;1)). Враховуючи, що за умовою

Отримуємо рівняння

звідки

За таблицею значень функції Ф(z)([2] – табл.3 стор.304, [3] – прил.2 стр.297) знаходимо таке z^* , що Ф(z)=0,975.

Оскільки на межах вірогідного проміжку маємо співвідношення

то

або ж

Підставляючи чисельні значення в останню формулу, знаходимо:

Отже, шуканий вірогідний проміжок для надійності 95% є або .

То півширина вірогідного інтервалу дорівнює.

Зауваження. Для знаходження значення межевого значення нормова змінної z можна скористатись також таблицями: [1] – табл.2 стор.192, [2] табл.2 стор.303, [3] – прил.3 стр.299. При цьому, оскільки вказані табл. Містять значення інтегралу ймовірності Ф₀(z) в межах [0;z], а не [- ; як таблиці вказані раніше, слід шукати значення z^* , таке що

У нашому випадку

б) З формули для півширини вірогідного проміжку (п.а))

Виражаємо нормовану змінну z^*:

Підставивши чисельні значення, обчислимо значення нормальної змінної z що відповідає межам вірогідного проміжку:

Ймовірність приналежності випадкової величини Х проміжок дорівнює ймовірності приналежності нормованої величини проміжку яка може бути знайдена за допомогою вказаних у п.а таблиць функції розподілу Ф(z) випадкової величини, що має стандартний нормальний розподіл:

За таблицями функції Ф(z) знаходимо

Ф(z^*)=Ф(1,18)=0,881

шукана ймовірність дорівнює

б) Виходячи з заданої надійної (довірчої) ймовірності P=0,95, визначаємо визначення нормальної змінної змінної z^* , що відповідає межам вірогідного проміжку. Для цього обчислюємо значення функції Ф(z^*) або Ф₀(z^*).

За таблицями значень функції Ф(z^*) ([2] – табл.3 стор.304, [3] – прил.2 стр.297) або Ф₀(z^*) ([1] – табл.2 стор.192, [2] – табл.2 стор.303, [3] – прил.3 стр.299) знаходимо

Z^*=1,96.

З формули півширини вірогідного проміжку виражаємо об’єм виборки n:

Підставляючи чисельні значення, знаходимо необхідний об’єм виробки

Приклад 7.3. Процентний вміст азоту в плазмі крові щурів вважають нормального розподіленою випадковою величиною. Визначити 95-відсотковий вірогідний проміжок для математичного сподівання на основі результатів дев’яти дослідів:

0,96;0,90;0,98;0,82;0,83;0,87;0,94;0,99;0,81.

Розв’язання. Оскільки дисперсія невідома і число елементів виборки невелике (менше 30), використовуємо статистику

Яка підпорядковується розподілу Стьюдента.

Розраховуємо вибіркове середнє

Де n – об’єм виборки, х_i – і-й елемент виборки,

І стандартне відхилення

Півширина (радіус) вірогідного проміжку визначається за формулою

Де t^* - коефіцієнт Стьюдента (значення нормованої змінної T, якому відповідає задане значення функції розподілу, яке визначається заданою надійною ймовірністю).

За таблицями розподілу Стьюдента ([1] – табл.6 стор.195, [2] – табл.6 стор.307, [3] – прил.4 стр.302.) визначаємо коефіцієнт Стьюдента (процентну точку розподілу), виходячи з числа ступенів свободи і рівня надійності (або рівня значущості )

Зауваження. При визначенні коефіцієнта Стьюдента за таблицями слід мати на увазі, що одним з входів таблиці може бути або рівнем надійності ([2] табл.6 стр.307, [3] прил.4 стр.302), або рівень значущості ([1] табл.6 стор.195, [3] прил.5 стр.302.), які пов’язані між собою залежністю

Півширина (радіус) вірогідного проміжку дорівнює

Таким чином, істинне значення ознаки з надійністю 0,95 знаходиться у проміжку [0,844;0,936].

Приклад 7.4. В результаті вимірювання вмісту фосфору в лікарській рослині Y та вмісту фосфору в грунті Х отримано такі дані:

Х
Y

1) Встановити, чи існує залежність між вмістом фосфору у грунті і вмістом фосфору у рослині.

2) Якщо залежність існує, знайти рівняння, яке її описує.

Розв’язання. Для встановлення наявності залежності між двома ознаками Х та Y за набором їх значень застосовується 1-факторний кореляційний аналіз.

З вигляду кореляційного поля можна зробити припущення, що між ознаками X та Y існує лінійна залежність, оскільки експериментальні точки групуються навколо прямої лінії. Наявність та тісноту лінійного зв’язку між яка підпорядковується розподілу Стьюдента з числом ступенів свободи

Розраховуємо експериментальне значення статистики T:

Задаючись рівнем значущості (відповідний рівень надійності ) враховуючи, що критична область є однобічною, визначаємо за таблицями розподілу Стьюдента ([2] – табл.5 стор.306.) критичне значення статистики T

Оскільки експериментальне значення Т-статистики більше за критичне (T_e>T^*), то на рівні значущості 0,05 отримане значення коефіцієнта лінійної кореляції R слід вважати істотним.

Отже, на рівні значущості 0,05 (тобто з надійністю 0,95)можна твердити, що між ознакою Х (вміст фосфору у грунті) та ознакою Y (вміст фосфору у рослині) існує сильний прямий лінійний кореляційний зв’язок.

Лінійний зв’язок ознак X та Y описується лінійним рівнянням регресії

де a, b – коефіцієнти регресії, які визначаються методом найменших квадратів за формулами

де - вибіркові середові ознак Y та X відповідно, - середнє значення добутку відповідних вибіркових значень ознак, - середнє значення квадрату ознаки Х.

Обчислення за цими формулами також зручно виконувати за допомогою розрахункової таблиці:

Двома ознаками визначають за допомогою коефіцієнта лінійної кореляції (коефіцієнта кореляції Пірсона) R, який розраховується за формулою

Де n - об’єм виборки,

- і-й елемент виборки {X_n}, {Y_n} відповідно.

Обчислення за наведеною формулою зручно виконувати за допомогою введеної нижче розрахункової таблиці, які містить проміжні результат і відображає послідовність розрахунків.

X	Y
		-8	-16
		-9	-9
		-10	-26
		-6	-9

		-2	-4







R=	0,90969

Істотність виявленого кореляційного зв’язку перевіряється за допомогою статистики

X	Y	X²	X*Y











		247,8889	1171,77

	a=	1,670423
	b=	58,28451

Підставляючи до формул коефіцієнтів регресії чисельне значення, знаходимо:

Отже рівняння регресії Y та X є

Остаточно з результатів кореляційно-реляційного аналізу можна з надійністю 95% зробити наступний висновок: між вмістом фосфору у грунті X і вмістом фосфору у рослині Y існує сильний прямий кореляційний зв’язок який записується рівнянням