Задания для самостоятельной работы

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

Расчетные формулы

1.2.1.1. Оценки вектора коэффициентов регрессии:

1.2.1.2. Стандартная ошибка k-го коэффициента регрессии, равная корню квадратному из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы векторной оценки

где рассчитывается по остаткам

1.2.1.3. Множественный индекс корреляции:

1.2.1.4. Бета-коэффициенты:

1.2.1.5. Парные коэффициенты корреляции:

1.2.1.6. Множественный коэффициент корреляции:

1.2.1.7. Скорректированный коэффициент множественной детерминации:

1.2.1.8. Частный F-критерий:

1.2.1.9. Стандартную ошибку прогноза среднего

1.2.10. Для проверки гипотезы о равенстве прогноза среднего значения заданной величине рассчитывается t-статистика:

Решение типовой задачи

Задание 1.2.2.1. Предприниматель желает сдать в аренду на один год принадлежащий ему отель*** «Блаженство жизни» (80 комнат), расположенный в престижной курортной зоне, обладающий собственным пляжем, общая площадь территории отеля составляет 3,42 кв.м.

Для того чтобы определить величину платы, которую он сможет установить за аренду своего отеля, предприниматель решил проанализировать ситуацию на соответствующей рыночной нише. Изучение объявлений, размещенных в газетах владельцами трехзвездных отелей, позволило ему сформировать небольшую базу данных, представленную в виде табл. 1.2.2.1.

На основе данных этой базы предприниматель решил построить модель множественной регрессии, отражающую зависимость величины годовой арендной платы от числа комнат, престижности района расположения отеля (1 – престижный район, 0 – нет), наличия у отеля собственного пляжа (1 – есть собственный пляж, 0 – нет), а также общей площади территории, принадлежащей отелю, и с помощью построенной модели определить примерный размер платы, которую он может получать за предоставление в аренду своего отеля.

На данный момент выбор предпринимателя колеблется между 162 тыс. руб. и 165 тыс. руб. Определите наиболее приемлемый размер арендной платы.

Т а б л и ц а 1.2.2.1

Величина годовой платы за аренду отеля, тыс. руб.	Число комнат в отеле	Престижность района, в котором расположен отель	Наличие у отеля собственного пляжа	Общая площадь территории, принадлежащей отелю, кв. км.


				1,00
				0,80
				1,20
				1,50
				1,40
				2,00
				2,50
				2,20
				2,70
				2,80
				3,00
				3,60
				3,50
				3,80
				3,60
				3,75
				4,10
				4,70
				4,25
				4,65

Решение с помощью табличного процессора Excel

1. Ввод исходных данных с включением дополнительной переменной , принимающей единственное значение, равное 1.

2. Расчет коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel: ТРАНСП, МУМНОЖ, МОБР.

2.1. Нахождение обратной матрицы к матрице системы нормальных уравнений

0,4184	0,0040	-0,0764	-0,1095	-0,1802
0,0040	0,0006	0,0007	-0,0059	-0,0136
-0,0764	0,0007	0,2060	-0,0330	-0,0136
-0,1095	-0,0059	-0,0330	0,2771	0,1144
-0,1802	-0,0136	-0,0136	0,1144	0,3368

2.2. Получение вектора оценок коэффициентов регрессии

102,5677

0,1033

-0,0194

2,6003

13,9271

Таким образом, построенная модель имеет следующий вид:

3. Расчет стандартных ошибок коэффициентов регрессии

3.1. Проведение промежуточных расчетов, требуемых для расчета остаточной дисперсии, и оформление их в виде табл. 1.2.2.2.

Т а б л и ц а 1.2.2.2


	121,6579	1,8012
	116,2916	1,6681
	124,9597	1,0821
	129,1573	0,7101
	125,1448	0,0210
	135,0698	1,1445
	142,0139	0,0002
	140,4556	0,2075
	144,8188	3,3080
	150,3611	0,1304
	153,1466	0,0215
	158,8831	0,7798
	161,6400	2,6895
	163,2372	0,0563
	163,0327	0,9357
	162,5408	29,8025
	172,5978	0,3574
	180,9347	0,8736
	176,7332	0,0712
	182,3235	0,1046
Сумма квадратов отклонений	45,77
Остаточная дисперсия	3,05

3.2. Получение стандартных ошибок

1,1299

0,0433

0,7927

0,9195

1,0137

4. Вычисление множественного коэффициента корреляции.

4.1. Проведение промежуточных расчетов и оформление их в виде табл. 1.2.2.3.

Т а б л и ц а 1.2.2.3


-1-	-2-	-3-	-4-	-5-
742,56		0,30	0,16	3,43
1242,56		0,20	0,36	4,21
588,06		0,30	0,16	2,73
410,06		0,20	0,16	1,83
637,56		0,30	0,36	2,11
264,06		0,20	0,36	0,73

О к о н ч а н и е т а б л. 1.2.2.3

-1-	-2-	-3-	-4-	-5-
68,06		0,30	0,36	0,12
105,06		0,20	0,16	0,43
52,56		0,20	0,36	0,02
0,06		0,20	0,16	0,00
7,56		0,20	0,16	0,02
60,06		0,30	0,36	0,56
95,06		0,30	0,16	0,42
162,56		0,20	0,36	0,90
189,06		0,30	0,16	0,56
315,06		0,20	0,36	0,81
473,06		0,20	0,16	1,56
885,06		0,30	0,16	3,41
715,56		0,30	0,16	1,95
1008,06		0,20	0,16	3,23
Сумма квадратов отклонений
8021,75		4,95	4,80	29,03
Дисперсия
534,78	1151,33	0,33	0,32	1,94
Среднее квадратическое отклонение
23,13	33,93	0,574	0,566	1,39

4.2. Расчет множественного коэффициента корреляции

Множественный коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существенной зависимости величины арендной платы от включенных в модель факторов.

5. Расчет скорректированного множественного индекса корреляции

6. Расчет бета-коэффициентов

Полученные значения бета-коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени их влияния на моделируемый показатель следующим образом:

1) общая площадь территории, принадлежащей отелю (в большей степени влияющий фактор);

2) число комнат в отеле;

3) наличие собственного пляжа;

4) престижность района, в котором расположен отель (в меньшей степени влияющий фактор).

7. Вычисление парных коэффициентов корреляции.

7.1. Проведение промежуточных расчетов и оформление результатов расчетов в виде табл. 1.2.2.4.

Т а б л и ц а 1.2.2.4


1008,2500	-14,9875	-10,9000	50,4806
1304,2500	15,8625	21,1500	72,3506
776,0000	-13,3375	-9,7000	40,0731
648,0000	9,1125	-8,1000	27,3881
808,0000	-13,8875	15,1500	36,6756
276,2500	7,3125	9,7500	13,8531
140,2500	-4,5375	4,9500	2,9081
174,2500	4,6125	-4,1000	6,6881
123,2500	3,2625	4,3500	1,1056
0,5000	0,1125	-0,1000	0,0131
-5,5000	-1,2375	1,1000	0,4056
-15,5000	4,2625	-4,6500	5,7931
126,7500	5,3625	3,9000	6,3131
165,7500	-5,7375	-7,6500	12,0806
178,7500	7,5625	5,5000	10,2781
230,7500	-7,9875	-10,6500	15,9306
826,5000	-9,7875	8,7000	27,1331
1130,5000	16,3625	11,9000	54,9631
1551,5000	14,7125	10,7000	37,3831
1841,5000	-14,2875	12,7000	57,0706
Сумма произведений
11290,00	2,75	54,00	478,89

7.2. Расчет парных коэффициентов корреляции

, ,

, .

8. Расчет дисперсионного отношения Фишера

Сравнение расчетного значения F-критерия с табличным для 95%-го уровня значимости (см. Приложение) позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.

9. Расчет t-статистик

, , ,

, .

Сравнение полученных t-статистик с табличным значением (см. Приложение) подтверждает значимость таких коэффициентов регрессии, как , , , , и незначимость коэффициента . Скорее всего, это связано с тем, что престижность района, в котором расположен отель, в некоторой степени определяется наличием пляжа.

10. Построение с помощью пакета анализа линейного регрессионного уравнения, исключив (см. Вывод итогов 1.2.2.2).

ВЫВОД ИТОГОВ 1.2.2.2

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997143234
R-квадрат	0,994294628
Нормированный R-квадрат	0,993224871
Стандартная ошибка	1,69128398
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		7975,983	2658,661	929,4583	3,739E-18
Остаток		45,76706	2,860442
Итого		8021,75

	Коэффиц-иенты	Стандартная ошибка	t-статис-тика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	102,5605062	1,056324	97,09187	1,34E-23	100,3212	104,7998
Переменная X 1	0,103350894	0,041834	2,470506	0,025119	0,014667	0,192035
Переменная X 2	2,597229942	0,881817	2,945315	0,009503	0,7278613	4,466599
Переменная X 3	13,92581958	0,980218	14,20685	1,72E-10	11,84785	16,00379

Таким образом, пригодная для целей прогнозирования модель записывается в следующем виде:

11. Проверки обоснованности величины арендной платы, которую предприниматель желает назначить за свой отель

11.1. Расчет t-статистик по формуле (3.1.20)

; .

11.2. Сравнение полученных t-статистик с табличным значением (см. Приложение) свидетельствует о том, что первая величина арендной платы незначимо отличается от средней прогнозируемой величины, а вторая – значимо. Следовательно, предприниматель, назначая арендную плату 165 тыс. руб. в год рискует в большей степени не найти арендаторов своего отеля, чем при установлении размера платы в 162тыс. руб. или в 161 тыс. руб., поскольку 165 тыс. руб. существенно превышает средний сложившийся уровень арендной платы трехзвездных отелей в данной курортной зоне.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1.2.3.1. В табл. 1.2.3.1 представлены данные о производительности труда, фондоотдаче и уровне рентабельности пятнадцати предприятий. Используя матричную форму метода наименьших квадратов, по данным этой таблицы рассчитайте:

1) коэффициенты регрессии;

2) стандартные ошибки коэффициентов регрессии;

3) множественный индекс корреляции;

4) скорректированное значение множественного коэффициента детерминации;

5) бетта-коэффициенты;

6) парные коэффициенты корреляции;

7) множественный коэффициент корреляции через бета-коэффициенты и парные коэффициенты корреляции;

8) дисперсионное отношение Фишера;

9) частные F-критерии для каждого фактора.

Т а б л и ц а 1.2.3.1

№ предприятия	Производительность труда, руб.	Фондоотдача, руб.	Уровень рентабельности, %
		1,08	20,1
		1,05	12,9
		0,99	18,0
		1,02	11,7
		0,98	17,9
		1,04	16,8
		1,03	15,6
		1,10	14,3
		1,03	18,1
		0,89	17,8
		0,78	13,0
		0,99	14,2
		1,43	24,2
		1,03	20,0
		1,05	19,3

Задание 1.2.3.2. Руководство крупной компании ЗАО «Надежная связь», предоставляющая услуги мобильной и стационарной телефонной связи, а также осуществляющая продажу телефонных аппаратов, планирует в следующем квартале расширить свой бизнес, освоив за счет прибыли компании новую рыночную нишу – предоставление Интернет-услуг в собственном Интернет-салоне. Получите прогнозные оценки прибыли компании в следующем квартале для того, чтобы у руководства сложилось представление о возможном размере финансового обеспечения этого бизнес-плана. Для построения прогнозной модели множественной регрессии воспользуйтесь данными табл. 1.2.3.2. Прогнозные оценки факторов, влияющие на прибыль компании, необходимо получить с помощью трендовых моделей.

Т а б л и ц а 1.2.3.2

Квар-тал	Прибыль компании, тыс. руб.	Общее число абонентов компании	Выручка за мобильный трафик, тыс. руб.	Затраты на поддержание и обновление программного обеспечения, руб.

Задание 1.2.3.3. Экономисту-аналитику одной крупной компании было поручено указать обоснованный размер заработной платы руководителя будущего филиала этой компании. Ожидаемый объем среднемесячных продаж филиала составит 6500 тыс. у.е. Возраст сотрудника, который, как планируется, должен занять пост руководителя, – 45 лет, он имеет законченное высшее образование, а срок работы в должности директора другого филиала компании – 3 года. С целью решения поставленной задачи экономист-аналитик решил сначала изучить опыт других компаний, собрав сведения представленные в табл. 1.2.3.3, в которой за обозначена среднемесячная заработная плата руководителей, у.е.; за – возраст, лет; за – образование (0 – нет высшего образование, 1 – незаконченное высшее, 2 – высшее); за – срок работы в должности руководителя, лет; за – годовой объем продаж компании, тыс. у.е.

Т а б л и ц а 1.2.3.3

Компания Ком-пания

1 652 12 949

1 948 1 227 5 061

1 735 1 712 1 929

1 681 1 488 2 643

1 461 5 673 1 084

1 117 1 752 5 137

1 475 2 497

2 094 10 818 2 097

2 686 2 342

3 409 14 021

2 244 4 451

1 539 1 911

2 833 11 663 1 554 1 435

2 366 1 314

1 856 4 864 2 301

Постройте модель множественной регрессии, отражающую зависимость среднемесячной зарплаты от указанных факторов, и оцените ее качество. Используя построенную модель, осуществите расчет заработной платы руководителя будущего филиала компании.

Задание 1.2.3.4. Исследуйте зависимость урожайности зерновых культур (ц/га) от следующих факторов сельскохозяйственного производства:

– число тракторов на 100 га;

– число зерноуборочных комбайнов на 100 га;

– число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га;

– количество удобрений, расходуемых на гектар (т/га);

– количество химических средств защиты растений, расходуемых на гектар (ц/га).

Исходные данные для 20 районов области приведены в табл. 1.2.3.4.

Т а б л и ц а 1.2.3.4

Районы области

-1- -2- -3- -4- -5- -6- -7-

9,7 1,59 0,26 2,05 0,32 0,14

8,4 0,34 0,28 0,46 0,59 0,66

9,0 2,53 0,31 2,46 0,30 0,31

9,9 4,63 0,40 6,44 0,43 0,59

9,6 2,16 0,26 2,16 0,39 0,16

8,6 2,16 0,30 2,69 0,32 0,17

О к о н ч а н и е т а б л. 1.2.3.4

-1- -2- -3- -4- -5- -6- -7-

12,5 0,68 0,29 0,73 0,42 0,23

7,6 0,35 0,26 0,42 0,21 0,08

6,9 0,52 0,24 0,49 0,20 0,08

13,5 3,42 0,31 3,02 1,37 0,73

9,7 1,78 0,30 3,19 0,73 0,17

10,7 2,40 0,32 3,30 0,25 0,14

12,1 9,36 0,40 11,51 0,39 0,38

9,7 1,72 0,28 2,26 0,82 0,17

7,0 0,59 0,29 0,60 0,13 0,35

7,2 0,28 0,26 0,30 0,09 0,15

8,2 1,64 0,29 1,44 0,20 0,08

8,4 0,09 0,22 0,05 0,43 0,20

13,1 0,08 0,25 0,03 0,73 0,20

8,7 1,36 0,26 0,17 0,99 0,42

Задание 1.2.3.5. Торговое предприятие «Альянс» имеет сеть, состоящую из 12 магазинов, информация о деятельности которых представлена в табл. 1.2.3.5. Постройте:

1) диаграммы рассеяния годового товарооборота ( ) в зависимости от торговой площади ( ) и среднего числа посетителей в день ( ) и определите форму связи между результирующим показателем и каждым из этих факторов;

2) двухфакторное регрессионное уравнение, отражающее зависимость переменной от соответствующих факторов и .

Оцените:

1) качество построенного уравнения;

2) частные коэффициенты эластичности годового товарооборота от торговой площади и от среднего числа посетителей.

Т а б л и ц а 1.2.3.5

№ мага-зина	Годовой товарооборот, млн. руб.	Торговая площадь, тыс. кв.м.	Среднее число посетителей в день, тыс. чел.
	19,76	0,24	8,25
	38,09	0,31	10,24
	40,95	0,55	9,31
	41,08	0,48	11,01
	56,29	0,78	8,54
	68,51	0,98	7,51
	75,01	0,94	12,36
	89,05	1,21	10,81
	91,13	1,29	9,89
	91,26	1,12	13,72
	99,84	1,29	12,27
	108,55	1,49	13,92