Интервальные оценки. Доверительный интервал

 

Точечная оценка не совпадает (за исключением редких случаев) с истинным значением оцениваемого параметра, особенно при выборке малого объема. В этом случае целесообразно использовать интервальные оценки.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя частями – концами интервала.

Пусть найденная по данным выборки величина служит оценкой неизвестного параметра . Оценка определяет тем точнее, чем меньше , т.е. чем меньше в неравенстве , где .

Т.к. - случайная величина, то и разность - случайная величина. Поэтому неравенство при заданном может выполняться только с некоторой вероятностью.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки параметра называется вероятность , с которой оценивается неравенство .

Обычно задается надежность и определяется . Чаще всего надежность задается значениями от 0,95 и выше. Неравенство можно записать в виде: .

Доверительным интервалом называется интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

 

 

Доверительные интервалы для оценки математического

Ожидания нормального распределения

 

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение и известно ее среднее квадратическое отклонение . Требуется найти доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания по данным выборки объема с надежностью .

 

 

По данным выборки

			…
			…

 

, где

 

можно найти среднюю выборочную .

 

Известно, что средняя выборочная является несмещенной оценкой для математического ожидания . Т.о., доверительный интервал имеет вид

.

 

Точность оценки для нормального распределения определяется по формуле , где – значение аргумента функции Лапласа, получаемое из таблиц, с учетом того, что , – среднее квадратическое отклонение, – объем выборки.

Тогда доверительные интервалы примут вид:

.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

Таблица значений функции

 

0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица значений функции

 

x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)
0,00	0,0000	0,44	0,1700	0,88	0,3106	1,32	0,4066	1,76	0,4608
0,01		0,45		0,89		1,33		1,77
0,02		0,46		0,90		1,34		1,78
0,03		0,47		0,91		1,35		1,79
0,04		0,48		0,92		1,36		1,80
0,05		0,49		0,93		1,37		1,81
0,06		0,50		0,94		1,38		1,82
0,07		0,51		0,95		1,39		1,83
0,08		0,52		0,96		1,40		1,84
0,09		0,53		0,97		1,41		1,85
0,10		0,54		0,98		1,42		1,86
0,11		0,55		0,99		1,43		1,87
0,12		0,56		1,00		1,44		1,88
0,13		0,57		1,01		1,45		1,89
0,14		0,58		1,02		1,46		1,90
0,15		0,59		1,03		1,47		1,91
0,16		0,60		1,04		1,48		1,92
0,17		0,61		1,05		1,49		1,93
0,18		0,62		1,06		1,50		1,94
0,19		0,63		1,07		1,51		1,95
0,20		0,64		1,08		1,52		1,96
0,21		0,65		1,09		1,53		1,97
0,22		0,66		1,10		1,54		1,98
0,23		0,67		1,11		1,55		1,99
0,24		0,68		1,12		1,56		2,00
0,25		0,69		1,13		1,57		2,01
0,26		0,70		1,14		1,58		2,04
0,27		0,71		1,15		1,59		2,06
0,28		0,72		1,16		1,60		2,08
0,29		0,73		1,17		1,61		2,10
0,30		0,74		1,18		1,62		2,12
0,31		0,75		1,19		1,63		2,14
0,32		0,76		1,20		1,64		2,16
0,33		0,77		1,21		1,65		2,18
0,34		0,78		1,22		1,66		2,20
0,35		0,79		1,23		1,67		2,22
0,36		0,80		1,24		1,68		2,24
0,37		0,81		1,25		1,69		2,2
0,38		0,82		1,26		1,70		2,28
0,39		0,83		1,27		1,71		2,30
0,40		0,84		1,28		1,72		2,32
0,41		0,85		1,29		1,73		2,34
0,42		0,86		1,30		1,74		2,36
0,43		0,87		1,31		1,75		2,38

Продолжение приложения 2

 

x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)
2,40	0,4918	2,60	0,4953	2,80	0,4974	3,00	0,49865
2,42		2,62		2,82		3,20	0,49931
2,44		2,64		2,84		3,40	0,49966
2,46		2,66		2,86		3,60	0,499841
2,48		2,68		2,88		3,80	0,499928
2,50		2,70		2,90		4,00	0,499968
2,52		2,72		2,92		4,50	0,499997
2,54		2,74		2,94		5,00	0,499997
2,56		2,76		2,96
2,58		2,78		2,98

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Распределение Пуассона

l k	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	0,90484	0,81873	0,74082	0,67032	0,60653
	0,09048	0,16375	0,22223	0,26813	0,30327
	0,00452	0,01638	0,03334	0,05363	0,07582
	0,00015	0,00109	0,00333	0,00715	0,01204
		0,00006	0,00025	0,00072	0,00158
			0,00002	0,00006	0,00016
					0,00001
l k	0,6	0,7	0,8	0,9
	0,54881	0,49659	0,44933	0,40657
	0,32929	0,34761	0,35946	0,36591
	0,09879	0,12166	0,14379	0,16466
	0,01976	0,02839	0,03834	0,04940
	0,00296	0,00497	0,00767	0,01112
	0,00036	0,00070	0,00123	0,00200
	0,00004	0,00008	0,00016	0,00030
		0,00001	0,00002	0,00004
l k	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
	0,36788	0,13534	0,04979	0,01832	0,00674
	0,36788	0,27067	0,14936	0,07326	0,03369
	0,18394	0,27067	0,22404	0,14653	0,08422
	0,06131	0,18045	0,22404	0,19537	0,14037
	0,01533	0,09022	0,16803	0,19537	0,17547
	0,00307	0,03609	0,10082	0,15629	0,17547
	0,00051	0,01203	0,05041	0,10419	0,14622
	0,00007	0,00344	0,02160	0,05954	0,10445
	0,00001	0,00086	0,00810	0,02977	0,06528
		0,00019	0,00270	0,01323	0,03627
		0,00004	0,00081	0,00529	0,01813
		0,00001	0,00022	0,00193	0,00824
			0,00006	0,00064	0,00343
			0,00001	0,00020	0,00132
				0,00006	0,00047
				0,00002	0,00016
					0,00005
					0,00001