Геометрическая вероятность в пространстве

Геометрические вероятности в пространстве не имеют принципиального отличая от предыдущих геометрических вероятностей.

Практические замятия.

Задания 3-4.Вычислить вероятности. Задачи [1, C 30-31]

I.В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окра­шенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной. Отв. р = 0,1.

2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпа­дет четное число очков. Отв. р = 0,5.

1. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 др 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. Отв. р = 0.81.

2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположен­ных «в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт». Отв. р= 1/120.

3. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна нз следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно переме­шаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос». Отв. р=1/Л1= 1/360.

4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу куби­ков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик, будет иметь окрашенные грани: а) одну; б) две; в) три. Отв. а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008.

5. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем; б) не есть дубль. Отв. а) 2/9; б) 4/9.

6. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероят­ность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть. Отв. р=1/6⁵.

7. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги ока­жутся поставленными рядом. Отв. р = 7.2!-6!/8! = 1/4.

8. Библиотечка состоит нз десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги — по одному рублю н две книги — по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. Отв. p = Cj.Cj/C?₀:=l/3.

9. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обна­ружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

10. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Отв. 102 попадания.

11. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу постав­лена точка В(х), Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую, чем L/3. Предполагается, что веро­ятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. Отв. р = 2/3.

12. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в к руг квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квад­рат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его распо­ложения относительно круга. Отв. р = 2/я.

13. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 н 13 часами дня. Пришедший пер­вым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти веро­ятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Указание. Ввести в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу и принять для простоты, что встреча должна состо­яться между 0 и 1 часами.

Отв. Возможные значения координат: 0<х<1, 0 <y<!; благоприятствующие встрече значения координат: \у—х\< 1/4; P = 7/16.

Требования к знаниям умениям и навыкам Студент должен понимать постановку задачи по вычислению вероятности события. Знать свойства вероятности. Уметь вычислять вероятность наступления события по классической формуле том числе с применением элементов комбинаторики. Знать алгоритм вычисления геометрической вероятности.

Контрольные вопросы

1. Определение случайного явления.

2. Привести примеры испытаний.

3. Указать противоположные события для событий:

~ Спортсмен попал в мишень.

~ При бросании кубика выпала грань с числом 5.

4. Указать группу событий:

5. Указать группы событий испытаний:

~ Подбрасывается тетраэдр с пронумерованными гранями

~ Спортсмен стреляет по мишени

6. Провести примеры

~ совместимых событий

~ достоверных событий

~ противоположных событий

~ испытания, образующих группу из двух событий

7. Записать формулу Бернулли

8. Привести примеры геометрических вероятностей.

[1] Точнее, мера множества, которая является аддитивной функцией, заданной на этом множестве. Мера отрезка на прямой есть его длина, которая относится лебеговой мерам. Подробное описание процесса установления меры выходит за пределы данного раздела математики.