Выпуклость и вогнутость функции
Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутойна этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").
Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").
Рис. 4.5. Функция f1(x) вогнута на промежутке (a;b)
Рис. 4.6.Функция f1(x) выпукла на промежутке (a;b)
Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.
Рис. 4.7. Примеры точек перегиба
Рис. 4.8.Угловая точка не является точкой перегиба
Будем называть функцию возрастающей в точке x0, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.
Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.
Если f(x) > 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f(x) < 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.
Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5, – признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.
Рис. 4.9.Вогнутая функция. Тангенс угла наклона касательной возрастает
Рис. 4.10.Вогнутая функция. Тангенс угла наклона касательной убывает
Если x0 – точка перегиба функции f(x), то f(x0) = 0.
Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.
Если в точкеx0 выполняются условия:
1) f(x0) = 0; f(x0) < 0, тогда x0 – точка максимума;
2) f(x0) = 0; f(x0) > 0, тогда x0 – точка минимума;
3) f(x0) = 0; f(x0) = 0,тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x0 = 0 у функцииy = x4, но может его не быть, например в точке x0 = 0 у функции y = x5. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.
Рассмотрим пример из микроэкономики.
В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.
Это означает существование функции полезности TU аргумента Q –количества купленного товара. Введем понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Далее построим двумерную систему координат, откладывая по горизонтальной осиколичество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси – общую полезность TU, как это сделано на рисунке 4.11.
Рис. 4.11.
В этой системе координат проведем график функции TU = TU(Q). Точка Q0 на горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина Q –добавочный приобретенный товар. Разность TU = TU(Q0 + Q) – TU(Q0) добавочная полезность, полученная от покупки “довеска” Q.Тогда добавочная полезность от последней приобретенной порции (или единицы количества) товара вычисляется по формуле TU / Q (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 122). Эта дробь, как можно видеть, зависит от величины Q. Если здесь перейти к пределу при Q 0, то получится формула для определения предельной полезности MU: 
.
Это означает, чтопредельная полезность равна производной функции полезности TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции TU(Q). Понятие функции полезности и представление предельной полезности в виде производной этой функции широко используется в математической экономике.