Функцияны аырсыздытаы шегі

Анытама. Кезкелген ( ) саны шін андай да бір саны табылып, боланда орындалса, онда саны функциясыны шегі деп аталады жне трінде белгіленеді.

Анытама. саны шін, саны табылып, боланда орындалса, онда саны функциясыны шегі деп аталады жне трінде белгіленеді.

Анытама. шін, саны табылып, тесіздігін анааттандыратын тер шін тесіздігі орындалса, онда саны функциясыны шегі деп аталады жне трінде белгіленеді.

Ескерту: Жоарыдаы анытамалардан функциясы ретімен аланда интервалдарында аныталады деп есептеледі. Дербес жадайда, егер функциясы натурал сандар жиынында да аныталса, онда

Белгілеулері сан тізбегін анытайды. Ал рнегі былайша сан тізбегі шегіне кшеді. Функцияны нктедегі жне аырсыздытаы шектерін шартты трде ( сан немесе шексіздіктеріні біреуі) етіп белгілейік. Онда функция шегіні асиеттері мен тізбектер шегіні асиеттері бірдей болады. Мысалы:

1) Траты функцияны (тізбекті) шегі осы тратыа те,

2) Егер функцияны (тізбекті) шегі болса, онда ол жалыз болады.

Анытама. функциясы жиынында аныталып, шін саны табылып, ( ) тесіздігі орындалса, онда функциясы жиынында жоарыдан (тменнен) шектелген делінеді. Функция жоарыдан (тменнен) шектелсе, онда ол аралыында шектеулі. Мысалы,

а) функциясы аралыында шектеулі, себебі кезкелген шін ;

б) тізбегі шектеулі. , шектері бар боланда, функция интервалдарында шектеулі.

в) функциясы a нктесіні маайында шектеулі.

г) Шегі бар кезкелген сан тізбегі шектеулі.

Теорема. (а, ) интервалында функция спелі (кемімелі) болса жне осы аралыта жоарыдан (тменнен) С санымен шектелсе, онда , яни функцияны нктесінде сол жа ( нктесінде о жа) шегі табылады жне .

Жаттыу: Бл теореманы сан тізбегі шін келтірііз.

Шексіз аз жне шексіз лкен функциялар.

Анытама. Егер болса, онда тедігі орындалса, онда функциясы ( шамасы а мтыланда)шексіз аз шама (ш.а.ш.) деп аталады.

Анытама. Егер болса, онда функциясы -ы шексіз лкен шама (ш..ш.) деп атайды.

Теорема. Егер (ш.а.ш.) болса, болса, онда - функциясы -а ш..ш. болады. Бл теорема керісінше де аиат.

Шектер туралы негізгі теоремалар.Егер , , болса, онда

3.Кезкелген шін, жне болса, онда .

1-мысал. 1. . Шекті есептеу шін х-ті мнін ойанда т.с.с. аныталмаандытар пайда болады. Шекті есептеу деп осы аныталмаандытарды ашуды айтады.

2. .

3. .

4. .

дебиеттер: нег.[128-163], [173-181], 11 ос. [314-334].

Баылау сратар:

1. Фукцияны анытамасын берііз. Функцияны аныталу облысы дегеніміз не?

2. Та жне жп функцияларды анытамасын берііз.

3. Период жне периодты функциялар.

4. Функцияларды шектері туралы негізгі теоремаларды атаыз.

Дріс.

Дріс таырыбы:Бірінші жне екінші тамаша шектер.

Дріс жоспары:

§ Бірінші тамаша шек.

§ Екінші тамаша шек.

§ Шексіз аздарды салыстыру.

§ Функцияны зіліссіздігі.

§ Кесіндіде зіліссіз функцияны асиеттері.

§ дебиеттер.

§ Баылау сратары.

рамында тригонометриялы функциялар бар рнектерді шектерін есептегенде бірінші тамаша шекті олданады: . Длелдеу: Радиусы бірге те шебер аламыз. , сонда:

, мндаы

1-мысал.

2-мысал. .

Екінші тамаша шек: .

Мндаы е»2,718282… – иррационал сан.

3-мысал. Шекті есептеу керек

Шексіз аздарды салыстыру. Екі шексіз аз шамаларды салыстыру шін оларды атынасын арастырады. - ш.а.ш. болсын, яни жне .

1. Егер болса, онда мтыланда ш.а.ш.-ны азды реттері бірдей дейді.

2. Егер болса, онда мтыланда шексіз аз шамалар эквивалентті деп аталады жне ~ деп белгіленеді.

Мысал. шексіз аздар мтыланда эквивалентті, бл бірінші тамаша шекті асиетінен шыады.

Теорема. мтыланда ш.а. болсын, онда:

1. ; 2. ~ ;

3. ~ ; 4. ~ ;

5. ~ ; 6. ~ , ;

Теорема. Егер ш.а.ф. –ды олара эквивалентті функциялармен алмастырса, онда екі ш.а.ф. атынасыны шегі згермейді.

4-мысал. ,

себебi, ~ ~ ~ ~ .

Функцияны зіліссіздігі.Функцияны нктедегі зіліссіздігі ымын беру шін 3 шартты келтіреміз:

1. функциясы нктесінде аныталан (яни мні бар);

2. ( шамасы -ге мтыланда) боланда функциясыны аырлы шегі бар;

3. шегі функцияны нктесіндегі мніне те:

1анытама. Егер функциясы келтірілген ш шартты анааттандырса, онда оны нктесінде зіліссіз дейді. Функцияны нктесіндегі зіліссіздігіні анытамасыны формуласын былай жазуа болады: Функция нктесінде зіліссіз болса, онда оны графигін нктесі арылы зіліссіз сызуа (арындашты ааздан алмай) болады. Енді зіліссіздікті екінші анытамасын берейік. аргументіне сімшесін берсек, функциясы сімшесін алады. Ол формуласымен аныталады.

2анытама. Егер функциясы нктесінде аныталса жне тедігі орындалса, онда ол функцияны нктесінде зіліссіз дейді. зіліссіздікті осы екі анытамасы зара эквивалентті. Егер функциясы нктесінде зіліссіз болмаса, онда бл нкте функциясыны зіліс нктесі деп аталады. зіліс нктесіні екі трі бар. Егер функциясы нктесінде о жаты жне сол жаты шектері бар болып, біра олар зара те болмаса, онда нктесі функциясыны біріншітекті зіліс нктесі деп аталады. Егер о жаты жне сол жаты шектерді е болмаанда біреуі не шексіздікке те болып, не жо болса, онда нктесі функциясыны екіншітекті зіліс нктесі деп аталады. Егер нктесінде аырлы о жаты жне сол жаты шектер бар болып, біра олар осы нктедегі функцияны мніне те болмаса, онда нктесі функциясыны тзетілетін зіліс нктесі деп аталады.

5-мысал. функциясы шін нктесі екінші текті зіліс нктесі болады, себебі

Егер функциясы аралыыны рбір нктесінде зіліссіз болса, онда оны аралыында зіліссіз дейді. Егер функциясы аралыында зіліссіз болып, ал нктесінде о жатан (яни ), ал нктесінде сол жатан (яни ) зіліссіз болса, онда функциясын кесіндісінде зіліссіз дейді.