Kесіндіде зіліссіз функцияларды асиеттері

1. Егер функциясы кесіндісінде зіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде аырлы (шенелген)

2. Вейерштрасс теоремасы Егер функциясы кесіндісінде зіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде зіні е кіші жне е лкен мндерін абылдайды.

3. Больцано-Коши теоремасы Егер функциясы кесіндісінде зіліссіз жне жне , нктелеріндегі мндері ртрлі табалар абылдаса ( ), онда тедігі орындалатындай кесіндісіні е болмаанда бір нктесі бар.

дебиеттер:1 нег.[159-162], [164-169], [191-211], 11 ос. [335-358].

Баылау сратар:

1. Бірінші тамаша шек.

2. е саныны анытамасын келтірііз (екінші тамаша шек).

3. Функцияны нктедегі зіліссіздігіні анытамасын берііз.

4. андай нктелер функцияны зіліс нктелері деп аталады?

Дріс.

Дріс таырыбы:Бір айнымалы функцияларды дифференциалды есептеулері.

Дріс жоспары:

§ Функцияны туындысы.

§ Дифференциалдауды негізгі ережелері.

§ Крделі функцияны дифференциалдау.

§ Кері функцияны дифференциалдау.

§ Функция дифференциалы.

§ дебиеттер.

§ Баылау сратары.

Айталы, функциясы нктесінде жне оны маайында аныталан болсын.

Анытама. Аргумент -ті нктесіндегі сімшесі деп айырмасын атайды.

Анытама. функцияны нктесіндегі сімшесі деп айырмасын айтады.

Анытама.Егер функциясы нктесіні маайында аныталан жне болса, онда ол нктесінде зіліссіз деп аталады. Шындыында да .

Анытама. функциясыны нктесіндегі туындысы деп

аырлы шегін айтады.

Бл туынды мына символдарды бірімен белгіленеді: .

Егер функциясыны интервалыны рбір нктесінде туындысы болса, онда оны осы интервалда дифференциалданады дейді. Туындыны табу амалын дифференциалдау дейді.

Теорема. Егер функциясы нктесінде дифференциалданатын функция болса, онда ол бл нктеде зіліссіз болады.

Ескерту: теорема керісінше дрыс емес.

Туындыны геометриялы маанасы. Туындыны геометриялы маынасы: туындысы функциясыны графигіне нктесінде жргізілген жанаманы брышты коэффициенті болады. Осы жанаманы тедеуін былай жазады: .Туындыны механикалы маынасы. Егер айнымалысын уаыт деп есептеп, - функциясы денені жрген жолын сипаттаса, онда денені уаытындаы жылдамдыын білдіреді.

Дифференциалдауды негізгі ережелері.Туындыны анытамасын пайдаланып, кейбір элементар (арапайым) функцияларды туындыларын есептейміз.

1. Крсеткішті функция . Дербес жадайда .

2. Тригонометриялы функциялар .

Дл осылай .

2. Дрежелік функция .

Дербес жадайда, .

Теорема 1.(осындыны, кбейтіндіні жне атынасты дифференциалдау ережелері). Егер жне дифференцианалданатын болса, онда бл функцияларды осындысы, кбейтіндісі жне атынасы да (атынасты блімі ) осы нктеде дифференцианалданады жне мына формулалар орынды:

1. 2. 3. .

Крделі функцияны туындысы. функциялары зіліссіз жне дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда крделі функциясыны туындысы: . Сонымен .

1-мысал. туындысын табу керек. Функцияны былай жазамыз , мндаы . Сондытан .

2-мысал. туындысын табу керек. .

Кері функцияны туындысы. жне оан кері функциялары кесіндісінде зіліссіз жне дифференциалданатын болсын. Сонда кері функцияны туындысы: . Сонымен болады.

3-мысал. .

Мнда . .

4-мысал. .

Негізгі элементар функциялар туындыларыны кестесі

Осы кесте мен туындыны есептеу ережелеріні жрдемімен кез келген функцияларды туындысын табуа болады.

Параметр арылы берілген функцияны туындысы. функциясын кейде параметрлік трде жазан ыайлы болады

Онда .Сонымен параметр арылы берілген функцияны туындысы:

5-мысал. , табу керек. Шешімі:

Функцияны дифференциалы. функциясыны шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.

Онда функцияны сімшесі былай жазылады: . Осы тедікте екінші осылыш , ке араанда жоары ретті шексіз аз шама боландытан, бірінші осылыш ке эквивалентті шама болады.

Анытама.Функцияны туындысыны аргументті сімшесіне кбейтіндісін дифференциал деп атайды жне мына трде жазады: . Дербес жадайда, егер болса, онда , осыдан жне осыны пайдаланып дифференциалды формуласын былай жазуа болады: . Осыдан , яни туынды функцияны дифференциалыны аргумент дифференциалына блінген мніне те.

Дифференциалды есептеу ережесі.Айталы жне дифференциалданатын функциялар болсын,

1) , мндаы с –сан.

2) ,

3) , егер .

4) Егер функциясы нктесінде дифференциалданатын, ал нктесінде дифференциалданатын болса, онда крделі функция шін, . Бл ережені бірінші дифференциал формасыны инварианттыы деп атайды. Дифференциалды жуытап есептеуге олдануа болады. Айталы, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оны сімшесі:

, осыдан .

Егер нктесінде функцияны мні берілсе, онда: .

6-мысал. -ты жуытап есепте.

дебиеттер: 1 нег.[211-238], 11 ос. [359-375], [377-385].

Баылау сратар:

1. Туындыны анытамасын келтірііз. Оны механикалы жне геометриялы маынасы андай?

2. Кері функцияны туындысы туралы теорема. Кері тригонометриялы функцияларды дифференциалдау формулаларын жазыыз.

3. Функцияны дифференциалыны анытамасын келтірііз. Жуытап есептеуде

дифференциалды олдануы неге негізделген?

Дріс.

Дріс таырыбы:Жоары ретті туындылар мен дифференциалдар.

Дріс жоспары:

§ Жоары ретті туындылар.

§ Жоары ретті дифференциалдар.

§ Дифференциалдыесептеуформулалары.

§ Дифференциалды есептеуді негізгі теоремалары.

§ Лопиталь ережесі.

§ дебиеттер.

§ Баылау сратары.

берілген функциясыны бірінші немесе бірінші ретті туындысы, ал функцияны зі нлінші ретті туынды деп аталады.

Анытама. Функцияны –ші ретті туындысы деп оны ( -1)-ші туындысыны туындысын айтады , =1,2,3,…, егер олар бар болса, онда функциясы -рет дифференциалданатын функция деп аталады.

Мысал. функциясы берілген. Бірінші туындысы , екінші туындысы , шінші туындысы . Демек, , . Егер жне функциялары –рет дифференциалданатын болса, онда ( ), мына ережелер орынды: , .