Функцияны зерттеуді жалпы слбасы (схемасы) жне оны графигін салу

1. Функцияны аныталу облысын табу.

2. Функцияны графигіні координаттар стерімен иылысу нктелерін табу жне функцияны жптыын анытау.

3. Асимптоталарын табу. Функцияны аырсыздытаы жадайын зерттеу.

4. Функцияны тіректік экстремумын жне монотонды интервалын табу.

5. Функцияны графигіні дестік интервалдарын жне иілу нктелерін табу.

6. Функцияны графигін сызу.

Бл таырыпа есептер 2.3 пунктінде тжірибе сабата арастырылады.

дебиеттер: 1 нег.[262-280], 11 ос. [404-421].

Баылау сратар:

1. Функцияны экстремум нктелеріні анытамасын келтірііз.

2. Функцияны экстремумын бірінші туынды арылы табу.

3. Функцияны экстремумын екінші туынды арылы табу

4. Иілу нктесін табу.

5. Функцияны графигіні асимптотасын табу.

Дріс.

Дріс таырыбы:Аныталмаан интеграл.

Дріс жоспары:

§ Алашы функция.

§ Аныталмаан интеграл.

§ Аныталмаан интегралды негізгі асиеттері.

§ Аныталмаан интегралды негізгі кестесі.

§ Интегралдауды негізгі дістері.

§ дебиеттер.

§ Баылау сратары.

Анытама. Егер аралыында берілген функциясы шін

тедігі орындалса, онда функциясы функциясыны аралыындаы алашы функциясы деп аталады. Басаша айтанда, берілген функцияны алашы функциясын табу – оны туындысын табуа кері есеп болып саналады.

кез келген траты шама (константа), яни кез келген сан болсын. Егер функциясыны алашы функциясы болса, онда функциясы да оны алашы функциясы болады, себебі . функциясы функциясыны барлы алашы функцияларын анытайды.

Анытама. Егер болса, онда функциясын функциясыны аныталмаан интегралы дейді жне ол символымен белгіленеді.

Сонымен, мндаы интеграл белгісі, - айнымалысыны дифференциалы, -интеграл астындаы рнек. Берілген функцияны аныталмаан интегралын табу жолын осы функцияны интегралдау дейді.

Аныталмаан интегралдарды асиеттері

, мндаы кез келген сан.

5. , мндаы - кез келген сан.

Практикада интегралдау шін келесі интегралдар кестесін жата білген жн.

Аныталмаан интегралдарды негізгі кестесі

. 2.

. 3.

. Дербес жадайда,

. 4.

. 5.

. 6.

. 7.

. 8.

. 9.

. 10.

11.

. 12.

. 13.

. 14.

. 15.

. 16.

. 17.

. 18.

. 19.

Кестедегі кез келген интегралды тексеру шін тедікті о жаынан туынды алу керек. Интегралдауды негізгі дістері

1. Аныталмаан интегралда айнымалыларды алмастыру.Айнымалыны алмастыру дісі мына формулаа негізделген

Мндаы - берілген аралыта дифференциалданатын функция. Тиімді табылан айнымалыны алмастыру формуласы берілген интегралды жеіл интегралдайтын интеграла, ал кейбір жадайларда таблицалы интеграла келтіреді.

1- мысал. интегралын табу керек.

Ол шін алмастыруын жасаймыз. Сонда болады.

= .

Мнда интегралдауды соында бастапы - айнымалысына кшу керек.

Дифференциал астына енгізу дісі. Бл діс айнымалыны ауыстыру сияты жиі олданылады. Интеграл астындаы функцияны кбейткіштеріні біреуін белгісіні астына жазамыз да, оны жаа айнымалы ретінде арастырамыз. Еске сала кетейік, функциясын табасыны астына жазанда табасынан кейін функцияны алашы функциясы жазылады, яни .

Салдар. Айталы зіліссіз жне зіліссіз дифференциалданатын функциялар болсын, онда

2-мысал. . Бл формулада табасыны астына функциясын енгізіп деп жазды. Модуль табасын олданбаса да болады, себебі интеграл астындаы функция тек боланда аныталады. Дифференциал табасы астында кез келген функцияны алашы функциясына тратыны осып пайдалануа болады.

3- мысал. .

3. Бліктеп интегралдау дісі.Айталы, , -дифференциалданатын функциялар болсын. Онда тедігі орындалады. Немесе . Осы тедікті екі жаынан интеграл алайы, сонда . Осыдан

формуласын аламыз. формуласын бліктеп интегралдау формуласы дейді. Кейбір жадайда бліктеп интегралдау формуласын олдану арылы берілген интегралды алашыа араанда анарлым жеіл алынатын интеграла келтіруге болады.

4- мысал.

5 - мысал. .

дебиеттер: 1 нег.[357-374], 11 ос. [458-467].

Баылау сратар:

1. Алашы функцияны анытамасын берііз.

2. Аныталмаан интегралды анытамасын берііз.

3. Аныталмаан интерал кестесі.

4. Аныталмаан интегралда айнымалыны алмастыру.

5. Бліктеп интегралдау формуласын жазыыз.

Дріс.

Дріс таырыбы:Кейбір функцияларды интегралдау

Дріс жоспары:

· Квадрат шмшелігі бар функцияларды интегралдау.

· Рационал функцияларды интегралдау.

· арапайым блшектерді интегралдау.

· Кейбір иррационал функцияларды интегралдау.

· Тригонометриялы функцияларды интегралдау.

· дебиеттер.

· Баылау сратары.

Мына тмендегі интегралдарды табу дісін арастырайы жне .

) квадрат шмшелігіндегі коэффициентін жаша алдына шыарып, одан толы квадратты бліп аламыз;

) интеграла , алмастыруын енгіземіз;

) Оны екі интегралды осындысы етіп жазамыз. Сонда екі интегралымыз да кестелік интеграла келеді.

1- мысал.

Рационал функцияларды интегралдау.Рационал блшекті интегралдау деп, интегралын табуды айтады. Мндаы дрыс рационал блшек, яни . Егер болса, дрыс блшек деп, ал болса брыс блшек деп аталады. Брыс блшекті интегралдау шін алдымен алымын бліміне блу арылы оны кпмшелік пен дрыс блшекті осындысына жіктейміз. Мысалы, Одан рі арай тек дрыс рационал блшектерді интегралдауды арастырамыз.

Теорема.рбір дрыс рационал блшектімына арапайым блшектерді осындысы трінде жазуа болады:

1. 2. 3. 4. , мндаы А, В - натыкоэффициенттер; шмшелігіні наты тбірлері жо (яни ).

арапайым блшектерді интегралдауды арастырайы.

мнінде .

интегралдау дісі жоарыда арастырылан.

. , мндаы жне бліміндегі квадрат шмшелікті дискриминанты . Квадрат шмшеліктен толы квадрат бліп алып , , алмастыруын жасаймыз. Сонда интегралын аламыз жне оны екі интегралдарды осындысы трінде жазамыз. Бірінші интерал -ны дифференциал астына енгізу арылы интегралданады:

Ал екінші интегралды деп белгілеп, тменгідей есептейміз:

Бл формуланы реккуренттік формула деп атайды. Реккуренттік формула арылы ні арылы, ал ті арылы таба отырып, е соында ны арылы табамыз.

2- мысал. табу керек. осыдан . , . Сонымен блшегінде болсын. рбір кпмшелігін бірінші жне екінші дрежелі кпмшеліктерді кбейтіндісіне жіктеп жазуа болады: ,

мндаы бтін сандар. Сонда дрыс блшек элементар блшектерге тменгідей жіктелінеді :

мндаы наты сандар. Осы сандарды табу шін тедігіні о жаын орта блімге келтіреміз. Содан со тедіктегі екі блшекті блімін алып тастаса, екі жаында да кпмшелік шыады. Осы тедіктен бірдей дрежелі ті алдындаы коэффиценттерді теестіре отырып, алгебралы тедеулер жйесін рамыз. Алынан тедеулер жйесінен коэффиценттеріні мндерін тауып, оларды тедігіне оямыз. Осылай рационал блшекті жіктеуін табамыз. Осы дісті аныталмаан коэффициенттер дісі дейді.

3-мысал. интегралын есептеу керек. Интеграл астындаы функция брыс рационал блшек, сондытан алымын бліміне бліп дрыс блшекке айналдырамыз: Соы осылышты арапайым блшектерге жіктейміз:

Бдан, : ; : ; : , , . Демек, . Сонымен,

Кейбір иррационал функцияларды интегралдау.Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арылы рационал функцияны интегралына келуге болатын кейбір жадайларды арастырамыз. тріндегі интегралдар алмастыруы арылы рационал функцияны интегралына келеді.

4- мысал. интегралын табайы. -ті дрежесіндегі блшектерді орта блімі , олай болса берілген интегралды алу шін ауыстыруын жасаймыз.

арастырылан интеграл тріндегі интегралды дербес трі

болады. Мнда . Осы интегралды алмастыруы арылы рационал функцияны интегралына келтіруге болады.

Тригонометриялы функцияларды интегралдау.Бл пунктте біз интегралын табуды арастырамыз. Берілген интеграл мбебап алмастыруы арылы рационал функцияны интегралына келтіріледі. Шынында да

, , ,

, мндаы - рационал функция.

5- мысал. .

Бл дісті крсетілген кез келген интеграла олдануа болады, ал немесе айнымалыларыны дрежесі бірден жоары болса олайсыз лкен рнектер шыады. Ондай жадайларда келесі дістерді олдану керек.