Аныталан интегралды анытамасы. функциясы кесіндісінде аныталсын, мнда . Тменгі амалдарды орындаймыз.

1. нктелерімен кесіндісін элементар кесінділерге (бліктерге) блеміз:

| | • | • | • | • | • | • | • |

О

2. рбір , элементар кесіндіні ішінде жатан, кез келген бір нктесін аламыз жне осы нктедегі функцияны мнін есептейміз, яни шамасын табамыз.

3. Функцияны табылан мндерін сйкес элементар кесінділерді зындыына, яни кбейтеміз: .

4. Барлы осындай кбейтінділерді осындысын рамыз:

осындысы функциясыны кесіндісіндегі интегралды осындысы деп аталады. Элементар кесінділерді е лкен зындыын деп белгілейміз: .

5. мтыланда, яни мтыланда интегралды осындысыны шегін табамыз. Егер - интегралды осындысы шін аырлы шек бар болып, ол кесіндісін дербес бліктерге блу жолына жне нктелерін тадап алу тсіліне туелсіз болса, онда ол шекті функциясыны кесіндісіндегі аныталан интегралы деп атайды жне оны символымен белгілейді. Сонымен,

Мндаы санын интегралды тменгі шегі, ал санын — жоары шегі дейді. — интеграл астындаы функция, интеграл астындаы рнек деп аталады.

Егер саны бар болса, онда функциясы кесіндісінде интегралданатын функция деп аталады. Енді аныталан интегралды бар болуы туралы теореманы келтірейік.

Теорема (Коши). Егер функциясы кесіндісінде зіліссіз болса, онда оны осы аралыта аныталан интегралы бар. Егер функциясыны аралыында санаулы бірінші текті зіліс нктелері болса, онда бл функция аралыында интегралданады.

Аныталан интегралды анытамасынан шыатын оны кейбір асиеттері:

1. Аныталан интеграл зіні интегралдау айнымаласына туелді емес, ол тек интегралды шектері мен функциясынан туелді, яни ,

2. Егер болса, онда

3. Кез келген наты саны шін:

Аныталан интегралды асиеттері.Бл блімде интегралданатын функцияларды арастырамыз.

1. , мнда - наты сан.

2. .

3.

4. Егер тесіздігі орындалса, онда .

5. Егер кесіндісінде болса, онда .

6. Орта мн туралы теорема. Егер функциясы кесіндісінде зіліссіз болса, онда кесіндісінен тедігі орындалатындай саны табылады.

Ньютон – Лейбниц формуласы.Егер функциясы кесіндісінде интегралданатын болса, онда ол осы кесіндіні ішінде жатан кез келген кесіндісінде де интегралданады. , мнда функциясын арастыралы.

Теорема. Егер функциясы кесіндісінде зіліссіз болса, онда функциясы да кесіндісінде зіліссіз болады.

Теорема. функциясы кесіндісінде зіліссіз болсын. Онда

Салдар. кесіндісінде зіліссіз болан кез келген функциясыны осы кесіндіде алашы функциясы бар, ол функциясына те. Енді интегралды есептеуді негізгі формуласы Ньютон – Лейбниц формуласына кшелік.

Негізгі теорема. функциясы кесіндісінде зіліссіз жне

оны осы кесіндідегі алашы функциясы болсын. Онда

формуласы Ньютон- Лейбниц формуласы деп аталады. Ньютон-Лейбниц формуласы аныталан интегралды есептеу шін те олайлы рал. Оны олдану шін интеграл астындаы жатан функцияны бір алашы функциясын білу жеткілікті.

1-мысал. .