Лаплас трлендірілуі.

АРЖ зерттеу олданбалы математикалы дістерді оперативтті есептелуімен жеілдетеді. Мысалы, кейбір жйені функционирлеуді дефференциалды тедеуі келесі трде болады

, (3.1)

Мнда х жне у – кіріс жне шыыс шамалар. Егерде берілген тедеуде x(t) жне y(t) орнына X(s) жне Y(s) функциясын ойса жне айнымалы комплексті s ойылса, онда

жне , (3.2)

Онда шыыс дефференциалды тедеу нлдік шартында алгебралы тедеулерге тегеріледі.

a₂ s² Y(s) + a₁ s Y(s) + a₀ Y(s) = b₁ X(s) + b₀ X(s).

Мндай ДТ ден алгебралы тедеулерге туін Лаплас трлендірілуі деп атайды, формулалар (2.2) Лапласа трлендіру формулаларына сйкес ал алынан тедеулерді - операторлы тедеулер.

Жаа функциялар X(s) жне Y(s) бейнеленуі деп атайды x(t) жне y(t) Лаплас бойынша, ал x(t)жне y(t) наты болып табылады ол X(s) жнеY(s) атынасына сйкес болады.

Кері байланыс шін операторлы тедеулерден уаытаралытан функцияа ту шін келесі Лапласты кері трлендірілуідісті олданады. Кері Лапласты трлендірілуіді жалпы формуласы:

, (3.3)

мнда f(t) - наты, F(jw) - s = jw кезінде бейнелеу, j - бірлігі, w -жиілік.

Бл формула крделі, сондытан да арнайы кестелер келтірілген ( кесте. 1.1 жне 1.2), мнда кбінесе кездесетін F(s) пен f(t) наты функциялар келтірілген. Блар тура формуланы олдануа ммкіндік бермейді (2.3).

Кесте

Лаплас трлендіруі

Наты x(t)	Бейнеленуі X(s)
d-функция

t
t²
tⁿ
e^-^a^t
a^.x(t)	a^.X(s)

x(t - a)	X(s)^.e^-^a^s
	s^n.X(s)

Кесте

Лаплас кері трлендіруді формулалары (осымша)

Бейнелену X(s)	Натыx(t)
	a Î R, M Î R (a и М – тура сандар)	M^.e^-^a^t
a = a₁ + j^. a₂ M = M₁ + j^.M₂ (a и М - кешенді)	2^.e^-^a^1t.[M₁^.cos(a₂^.t) - M₂^.sin(a₂^.t)]

Кіріс сигналды згеру заы кбінесе функция болып табылады, оны табу ажет, ал кіріс сигнал бізге белгілі. Кейбір типті кіріс сигналы 2.3 блімінде айтылып кеткен. Мнда оларды бейнеленуі келтіріледі.

Біріншілік сатылы ркеттер келесі бейнеден трады X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

сызыты ркет X(s) = .

Мысал 5. Лаплас трлендіруді олдануымен ДТ шешу.

Егер де кіріс сигнал бірінішілік сатылы рекетті формасынан трса x(t) = 1, онда кіріс сигналды бейнеленуі X(s) = трде болады.

Бастапы ДТ трлендіруін енгізіп, X(s) оямыз:

s²Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s²Y + 5sY + 6Y = 2s + 12 ,

Y(s³ + 5s² + 6s) = 2s + 12.

Y шін тедеуді анытаймыз:

Алынан функцияны натысы бейнелеу мен наты кестеге сйкес келеді. Тапсырманы шешу шін блшекті арапайым блшекті осындысына блінеді де, блшекті блімі келесі трде болады (s + 2)(s + 3):

= = + + =