Екінші peтті исытар жене оларды канонды тедеулері

 

Жоары математкада екінші дрежелі тедеулермен аныталатын сызытарды екші pеттi исытар деп атайды. Олар негізінен шебер, эллипс, гипербола жне парабола деп аталады. Бл исытар техника мен ылым саласында иі кездеседі.

1. Шебер.Шебердеп аталатын берілген нктеден бірдей ашытыта жататын жазытытаы нктелерді геометриялы орындарын шенбер деп атайды (8-сызба).

С(х₀,у₀) -берілген нукте. Шеберді бойынан кез келген

жылжымалы М(х,у) нктесін алайык. Сонда СМ(х -х₀,у-у₀),

мндаы F₁ жне F₂ -фокус деп аталатын берілген центрі С нуктесінде жаткан радиусы R -ге те шеберді канонды тедеуі.

Егер шеберді центрі С координаттарды бас нктесінде

жатса, онда х₀ = у₀ = 0 .

Сондыктан : х² +у² = R²

2. Эллипс.Фокустар деп аталатын берілген екі нктеден ашытытарынь осындысы рашанда траты шама болатын жазытытаы нктелерді геометриялык орындарын эллипс деп атайды (9-сызба). Анытама бойынша F₁M + F₂M = 2a

нктелер,

М{х, у) -эллипсті бойындаы кез келген жылжымалы нкте,

2а-траты шама

 

Егер F₁F₂ = 2с десек, онда F₁(-C;0), F₂(C;0). Сонда:

 

Енді осы мндерді ойса:

Немесе

Егер а>с болса, онда а² —с²=b² болады. Сондытан эллипсті канонды тедеуі деп аталатын тедеуге келеміз:

 

Мндаы х пен у эллипсті кез келген жылжымалы нктесіні координаттары, а -эллипсті лкен жарты oci, b -онын кіші жарты oci.

Осьтер эллипске симметриялы, ал симметриялы осьтерді иылысатын нуктесі эллипсті цeнтpi болады.

атынасын эллипсті эсцентриситеті деп атайды жне оны деп белгілейді. Сонымен 6ipгe а > с боландьтан l < 1 немесе

Эллипсті лкен осіне перпендикуляр тузулерді ішінде 6ip тзуді эллипсті кші осінен ашытыты d рашанда а/l атынасына те траты шама болса, онда мндай тузудіэллипсті директрисасы деп атайды. Директрисаларды тендеу .Эллипс шін l < 1 боландьтан .

Сондытан эллипсті дериктрисалары оны сыртында жатады.

Егер a=b болса, онда шебер эллипсті дерпбес жадайы болады. Бл жадайда с=0, ендеше шеберді эксцентриситеті нлге те.

3. Гипербола.Фокустар деп аталатын берілген екі нктеден
ашытытарыны айырмасы рашанда траты шама болатын
жазытыктаы нктелерді геометриялы орындарын гипербола деп атайды.

4. Парабола. Фокус деп аталатын берілген нктеден жне директриса деп аталатын берілген тзуден ара ашытытары бірдей болатын жазытытарды нктелері геометриялык орындарын парабола дейді Берілген F нуктесіні координаталарын былай белгілейді

*

 

Координаталарды бас нктесінен Р/2 ашытытаы ординат осіне параллель берілген тузуді параболаны директрисасы дейді.

М(х,у) - параболаны бойындаы кез келген жылжымалы нкте.

Анытама бойынша

FM=ME

Екі нктені ара ашытыгынь формуласы бойынша

осы мндерді апарып ойып, шыан рнекті трлендірсек, параболаны канонды тедеуі шыады:

у²=2рх

мндагы р -берілген фокус пен директрисаны арасындаы ашыты, х пен у - параболаны бойындаы кез келген жылжымалы нуктені координатасы.

Параболаны эксцентриситеті:

Параболаны директрисасыны тедеуі:

 

Екінші ретті беттер

 

Екінші ретті беттер деп, координаталар жйесінде екінші дрежелі тедеулермен берілетін беттерді айтады.

Екінші ретті беттерді асиеттері техникада, рылыс негіздеріні конструкцияларында сонымен бірге кн сулесіні уатын от уатына айналдыру масатында олданылады.

Мысалы, шаылыстыру айналары, трлі прожекторлар параболоидты асиеттеріне, ал бір уысты гиперболоидты тзу сызыты жасаушылары болу асиеттерін рылыста олданады. Ал сфералы айналарды олданып, мірді трлі ажетіне пайдаланады.

1. Сфера.Бекрілген нктеден бірдей ашытыта орналасан

кеістіктегі нктелерді геометриялы орындарын сфералы немесе шар беті деп атайды .

 

 

Егер сфераны центрі С(a,b,c) нктесі жне оны бетіндегі кез келген нкте жылжымалы нктесі M(x,y,z) болса, онда анытама бойынша CM=R , R-сфераны радиусы.

Кеістіктегі екі нктені арасындаы ашытыты формуласы бойынша

немесе - сфераны канонды тедеуі.

Егер сфераны центрі координаталарды бас нктесінде жатса, a=b=c=0. Сонда тедеу мына трдежазылады:

\

 

2.Цилиндр.Цилиндр перпендикулчрлы имасындаы сызыты тріне арай трт трге блінеді: дгелек, эллипстік, гиперболалы, жне парболалы цилиндр болып, осыан сйкес цилиндр тік брышты координаталар жйесінде трт трлі тедеумен аныталады:

Бл трт тедеу жазытыта шеберді, эллипсті, гиперболаны жне паболаны кескіндейді, ал кеістікте дгелек, эллипстік, гиперболалы жне параболалы цилиндрлейді кескіндейді.

Сонымен цилиндр (цилиндрлік бет) дегеніміз шебер, элллипс, гипербола, параболаларды бойымен оларды жазытытарына перпендикуляр болып тетін тзу сызытарды здіксіз озалысынан шыатын екінші ретті беттер.

 

 

 

Осы шебер, эллипс, гипербола, жне парабола цилиндрлерді баыттаушылары, ал цилиндрді беттерінде жатан тзулер оларды жасаушылары деп аталады.

3.Конус.Конус деп берілген нктеден тетін жне баыттаушы исыты бойымен жылжитын жасаушы тзуді здіксіз озалысынан шыатын бетті айтады.

Конусты баыттаушысы эллипс, ал жасаушы тзуі координаталарды бас нктесінен тсін. Сонда конусты тедеуі:

болады.Мндаы z=c конусты XOY жазытыына параллель иып тетін жазыты. Ал егер a=b болса, онда конусты перпендикулярлы имасы шебер болады:

- айнымалы концсты тедеуі.

Егер a=b=c болса, онда мынандай конус шыады:

 

 

Тбесі координаталарды бас нктесінде апликата осіне симметриялы екінші ретті конусты бетті тедеуі.

Дл осындай алан екі оське симметриялы конусты бетті тедеулері мынандай болады:

 

4.Айналу беттері. Егер кеістікте бір сызы берілген осьті айналса, оны айналуынан бет п.б.

Айналушы сызыты формасына байланысты бет р трлі болады. Мысалы, егер шебер зіні диаметрі бойынша айналса, сфералы бет шыады, ал координаталар басынан тетін тзу OZ осін айналса, дгелек конус п.б. Сызыты айналатын осін айналу осі, ал пайда болан бетті айналу беті деп атайды.

Бізге YOZ жазытыында жатан L сызыы

тедеуімен берілсін. Осы сызыты OY осін айналанда пайда болан бетті тедеуін табу шін сол сызыты тедеудегі y – ті згертпей, z – ті рнегімен алмастыру керек. Сонда айналу бетіні тедеуі мынандай болады:

Баса осьтерді айналанда пайда болан беттерді де тедеулері осыан сас табылады. Яни, егер берілген сызы OZ осінен айналса, онда айналу бетіні тедеуі болады.

5. Айналу эллипсоиды. ш осьті эллипсоид.YOZ жазытыында тедеулерімен берілген эллипсті OZ осімен айналдыраннан шыан бетті айналу эллипсоид деп атайды. Оны тедеуі:

 

Егер b>c болса, онда ысыы, ал егер b<cболса, онда созыы айналу эллипсоид болады. Ал егер a=b=c болса, онда ол сфералы бет болады. Осы шыан айналу эллипсоидты деформацияласа, яни

 

десек, онда шыады.(бл ш осьті эллипсоидты тедеуі)

6. Бір уысты гиперболоид. Бізге YOZ жазытыында орналасан гипербола тедеуімен берілсін.

Осы гиперболаны OZ осінен айналдырса бір уысты гиперболоид деп аталатын айналу беті шыады. Оны тедеуі

болады.

 

Осы айналу гиперболоидын деформацияласа, яни

десек, онда мына трге келеді:

Осы тедеумен аныталатын бетті бір уысты гиперболоид деп атайды. Айнымалы бір уысты гиперболоидты бір уысты гиперболоидтан айырмашылыы оны XOZ жазытыына параллель жазытыпен имасы эллипс емес шебер болады.

7. уысты гиперболоид. Гиперболаны наты осінен айналаннан шыатын бетті екі уысты гиперболоид деп атайды.

Егер XOZ жазытыында жатан ; гиперболаны OX осінен айналдырса онда екі уысты айналмалы гиперболоидты тедеуі былай жазылады:

 

Осы шыан екі уысты гиперболоидты деформацияласа, онда осы трге келеді:

(екі уысты гиперболоидты тедеуі)

Екі уысты айналмалы гиперболоидты екі уысты гиперболоидтан айырмашылыы оны YOZ жазытыына параллель жазытыпен имасы шебер болады.

 

8. Айналу пороболоиды. Эллипстік параболоид.YOZ жазытыында жатан параболаны OZ осінен айналдыранда шыатын екінші ретті бетті айналмалы параболоид деп атайды. Оны тедеуі былайжазылады:

Шыан айналу параболоидты деформацияласа, яни десек, эллипстік параболоид деп аталатын екінші ретті беттік тедеуі:

шыады. Мндаы p>0, q>0.

 

9. Гиперболалы параболоид. Егер эллипстік параболоидты тедеуіні сол жаындаы екі мшені арасындаы табасын згертсек, яни онда:

тедеуіне келеміз. Мндаы p>0, q>0.

Осы тедеумен аеыталатын екінші бетті гиперболалы параболоид деп атайды.

Гиперболалы параболоидты трін анытау шін оны координат жазытытарымен жне осы координат жазытытарына параллель жазытытарындаы ималарын арастырамыз.

XOZ координат жазытытаындаы имасы парабола болады.

YOZ координат жазытыындаы имасы парабола болады.

 

XOZ координат жазытытаындаы имасыны тедеуі

болады.

 

Бл тедеулер XOZ жазытыындаы екі тзуді анытайды.

XOZ жазытытыына параллель жазытытаы имасы гипербола болады. Шынында да егер гиперболалалы параболидты z=h жазытыымен иса, имасында деген гипербола шыады. Осы ималарды кмегімен гиперболалы параболоидты трі аныталады.