Теорема.Элементар трлендірулер матрица рангісін згертпейді. 1 страница
Диагональ матрица
Егер квадрат матрицаны бас диагональдан тыс элементтері нлге те болса, онда ондай матрицаны диагональ матрица дейді.
6.Бірлік матрица?Барлы диагоналды элементтері бірге те болатын диагоналды матрица бірлік матрица деп аталады жне оны Е рпімен белгілейді,
. Барлы элементтері нолге те матрица нолдік матрица деп аталады.
7.шбрышты матрица дегеніміз не?Квадрат матрицаны негізгі диагоналіні астындаы немесе стіндегі элементтері нолге те болса, матрица шбрышты матрица деп аталады,
, 8.Матрицалара олданылатын амалдар?Матрицаны сана кбейту. 1. Матрицаны сана кбейту. Матрицаны сана кбейту шін оны барлы элементтерін сол сана кбейту керек:
Мысалы, 
матрицасын 
санына кбейтейік: .
Осыдан матрицаны барлы элементтеріні орта кбейткішін матрица алдына шыаруа болатынын аару иын емес.
2.Матрицаларды осу жне алу. 2. Матрицаларды осу жне алу. лшемдері бірдей матрицаларды ана осуа болады. А жне В матрицаларыны осындысы деп элементтері осы матрицаларды сйкес элементтеріні осындысы болатын, А + В матрицаны айтамыз: 
.
А матрицасынан В матрицасын алу шін А матрицасына В матрицасын -1-ге кбейтіп осу жеткілікті:A – B = A+(-1)B немесе А матрицасыны р элементінен В матрицасыны сйкес элементтері алынады. Мысалы А матрицасынан В матрицасын алайы:
3.Матрицаларды кбейту.3. Матрицаларды кбейту. Бірінші матрицаны тік жолдар саны мен екінші матрицаны жаты жолдар саны те болан жадайда ана екі матрицаны кбейтуге болады. лшемі mxk болатын А матрицасы мен лшемі kxn болатын В матриасы берілсін:
Осы екі матрицаны кбейткенде лшемі mxn болатын кбейтінді С матрица аламыз:
С матрицасыны 
элементі А матрицаны 
–жаты жол элементтерін В матрицаны 
–тік жолыны сйкес элементтеріне кбейтіп осана те болады: 
, 
. (1) Мысалы, 
матрицасы мен 
матрицасын кбейтейік. Бірінші матрица ш тік жолдан, ал екінші матрица ш жаты жолдан трандытан бл матрицаларды кбейтуге болады. Кбейтінді матрицаны лшемін анытайы:
, яни, 
. k=3 боландытан (1) формуланы олдананда ш осылыш болады: 
, 
. 
элементін табу шін формуладаы i=1, j=1 деп аламыз, сонда 
, яни А матрицаны 1-жаты жол элементтерін В матрицаны 1-тік жолыны сйкес элементтеріне кбейтіп осты. Осылай С матрицаны барлы элементтері табылады:
C= 
= 
= = 
.
осу жне кбейту амалдарыны мынадай асиеттері бар:
| 1) A+B=B+A | 5) (A+B)C=AC+BC |
| 2) (A+B)+C=A+(B+C) | 6)  (AB)=( A)B=A( B)
|
| 3) (A+B)= A+ B
| 7) A(BC)=(AB)C |
| 4) A(B+C)=AB+AC |
Бл асиеттер сандара жасалатын амалдар асиеттеріне сас. Енді матрицаны зіндік ерекшелігіне байланысты асиеттерін арастырайы.
8) Біріншіден, екі матрицаны АВ кбейтіндісі боланмен ВА кбейтіндісі болмауы ммкін. Мысалы, 
кбейтіндісі бар, біра 
кбейтіндісі жо, себебі бірінші матрицаны тік жолдар саны екінші матрицаны жаты жолдар санына те емес;
екіншіден, АВ жне ВАкбейтінділері бар боланмен, оларды лшемдері ртрлі болуы ммкін. Мысалы, 
жне 
кбейтінділер бар, біра лшемдері ртрлі: 
, 
; шіншіден, АВ жне ВАкбетінділер бар жне оларды лшемдері бірдей боланмен, жалпы жаыдайда, кбейтуді коммутативті заы орындалмайды, яни АВ 
BA.
Мыс: 
мен 
матрицалары берілген. АВ жне ВАкбейтінділерін табау керек. Шешуі. Берілген матрицалар лшемдері 2х2 квадрат матрицалар, оларды кбейтуге болады:
.
.
Кріп отыранымыздай АВ BA.
9) А-квадрат матрица болса, онда мына тедік орындалады: АЕ = ЕА = А.
9.Матрицаларды осу жне матрицаны сана кбейту амалдарыны асиеттері?лшемдері бірдей матрицаларды ана осуа болады. А жне В матрицаларыны осындысы деп элементтері осы матрицаларды сйкес элементтеріні осындысы болатын, А + В матрицаны айтамыз:
Матрицаны сана кбейту. Матрицаны сана кбейту шін оны барлы элементтерін сол сана кбейту керек:
Мысалы, матрицасын 
санына кбейтейік:Осыдан матрицаны барлы элементтеріні орта кбейткішін матрица алдына шыаруа болатынын аару иын емес.
1. Матрицаларды сана кбейтіндісі.
рбір матрицаны сана кбейтуге болады. Ол шін матрицаны р элементін сол сана кбейту керек.
Мысалы 
10. Матрицаларды кбейту амалыны асиеттері? Матрицаларды кбейту. Бірінші матрицаны тік жолдар саны мен екінші матрицаны жаты жолдар саны те болан жадайда ана екі матрицаны кбейтуге болады. лшемі mxk болатын А матрицасы мен лшемі kxn болатын В матриасы берілсін: Осы екі матрицаны кбейткенде лшемі mxn болатын кбейтінді С матрица аламыз:
С матрицасыны элементі А матрицаны –жаты жол элементтерін В матрицаны –тік жолыны сйкес элементтеріне кбейтіп осана те болады: , . (1) Мысалы, матрицасы мен матрицасын кбейтейік. Бірінші матрица ш тік жолдан, ал екінші матрица ш жаты жолдан трандытан бл матрицаларды кбейтуге болады. Кбейтінді матрицаны лшемін анытайы:
,яни, . k=3 боландытан(1) формуланы олдананда ш осылыш болады: , . элементін табу шін формуладаы i=1, j=1 деп аламыз, сонда ,яни А матрицаны 1-жаты жол элементтерін В матрицаны 1-тік жолыны сйкес элементтеріне кбейтіп осты. Осылай С матрицаны барлы элементтері табылады:
C= = = = .
осу жне кбейту амалдарыны мынадай асиеттері бар:
| 1) A+B=B+A | 5) (A+B)C=AC+BC |
| 2) (A+B)+C=A+(B+C) | 6) (AB)=( A)B=A( B)
|
| 3) (A+B)= A+ B
| 7) A(BC)=(AB)C |
| 4) A(B+C)=AB+AC | |
Бл асиеттер сандара жасалатын амалдар асиеттеріне сас. Енді матрицаны зіндік ерекшелігіне байланысты асиеттерін арастырайы.
8) Біріншіден, екі матрицаны АВ кбейтіндісі боланмен ВА кбейтіндісі болмауы ммкін. Мысалы, кбейтіндісі бар, біра кбейтіндісі жо, себебі бірінші матрицаны тік жолдар саны екінші матрицаны жаты жолдар санына те емес;
екіншіден, АВ жне ВАкбейтінділері бар боланмен, оларды лшемдері ртрлі болуы ммкін. Мысалы, жне кбейтінділер бар, біра лшемдері ртрлі: , ; шіншіден, АВ жне ВАкбетінділер бар жне оларды лшемдері бірдей боланмен, жалпы жаыдайда, кбейтуді коммутативті заы орындалмайды, яни АВ BA.
Мысал. мен матрицалары берілген. АВ жне ВАкбейтінділерін табау керек. Шешуі. Берілген матрицалар лшемдері 2х2 квадрат матрицалар, оларды кбейтуге болады:
.
.
Кріп отыранымыздай АВ BA.
9) А-квадрат матрица болса, онда мына тедік орындалады: АЕ = ЕА = А.
11. Екінші ретті анатауышты анытамасы жне есептелінілуі?Екінші ретті матрицаны 
анытауышы немесе екінші ретті анытауыш деп мынадай санды айтады: 
12. шінші ретті анатауышты анытамасы жне есептелінілуі. шінші ретті матрицаа 
шінші ретті анытауыш сйкес келеді:
7.ajjэлементіні миноры дегеніміз не?
n-ретті квадрат матрицаны i–жаты жолы мен j–тік жолын сызып тастааннан кейін пайда болан (n–1)-ретті анытауыты 
элементіні миноры деп атайды жне 
деп белгілейді.
шінші ретті марицаны 
элементіні миноры мынадай екінші ретті анытауыш болады: 
.
элементіні алгебралы толытауышы деп мынадай санды айтады: 
3-ші ретті мат-ны элементіні алгебралы толытауышы мына сан: 
Мысалы, 
матрицасыны бірінші жаты жолдаы элементтеріні миноры мен алгебралы толытауыштарын есептейік:
, 
, 
,
, 
,
, 
, 
.
шінші ретті анытауышты асиеттері. 1. Анытаушты жаты жолдарын оны сйкес тік жолдарымен орын алмастыраннан ол анытауышты сан мні згермейді. Анытауышты жаты жолдары мен тік жолдарыны орын алмастыру амалы оны транспозициялау деп аталады. 2. Егер анытауышты андай болса да бір жаты жолыны барлы элементтері нлге те болса, онда анытауышнлге те болады. 3. Егер анытауышты екі жаты жолын бірі мен бірін орныдарынан алмастырса, онда анытауыш табасы арама-арсы табаа ауады. 4. Егер анытауышты кез келген екі жаты жолы зара те болса, онда ол нлге те болады. 5. Егер анытауышты андай болса да бір жаты жолыны барлы элементтерін бір ана 
санына кбейтсек, онда анытауышты зі осы санына кбетіледі. 6. Егер анытауышты екі жаты жолыны элементтері пропорционал болса, онда мндай анытауыш нлге те болады. Егер анытауышты і-ші жаты жолыны элементтері екі осылыш арылы берілген болса, яни 
іj = 
іj + 
, ij=1,2,3онда анытауыш екі анытауышты осындысына те болады. Егер анытауышты андай болса да бір жаты жолыны элементтерін бір ана 
санына кбейтіп, баса бір жаты жолыны сйкес элементтеріне осса, онда бдан анытауыш шамасы згермейді.
13. 
Элементіні миноры дегеніміз не? 
квадрат матрицасыны 
элементіні миноры деп, осы элемент орналасан жол мен баанды сызып тастааннан шыатын 3-ші ретті анытауышты айтады жне оны 
деп белгілейді. Анытама.n-ретті квадрат матрицаны i–жаты жолы мен j–тік жолын сызып тастааннан кейін пайда болан (n–1)-ретті анытауыты элементіні миноры деп атайды жне деп белгілейді.
шінші ретті марицаны элементіні миноры мынадай екінші ретті анытауыш болады: .
14. Элементіні алгебралы толытауышы дегеніміз не? элементіні алгебралы толытауышы деп мынадай санды айтады:
3-ші ретті мат-ны элементіні алгебралы толытауышы мына сан:
Мысалы, матрицасыны бірінші жаты жолдаы элементтеріні миноры мен алгебралы толытауыштарын есептейік:
, , ,
, ,
, , .
15.Анытауышты асиеттері?1-асиет. Анытауышты жаты жолдарын скес тік жолдарымен алмастыраннан, яни транспонерлегеннен, анытауыш мні згермейді:
.
Тедікті дрыстыын анытауыштарды есептеу арылы тексеруге болады.
2-асиет.Анытауышты андай да бір жолыны орта кбейткішін анытауыш алдына шыаруа болады. шінші ретті анытауышты екінші жолындаы орта кбейткішті анытауыш алдына шыарамыз:
.
Тедікті дрыстыына берілген матрицаны екінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.
3-асиет.Анытауышты екі жолыны орнын ауыстыраннан анытауыш табасы арама-арсы табаа згереді.шінші ретті анытауышты бірінші жне екінші жолдарын алмастырайы:
Тедікті дрыстыын екінші анытауышты бірінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.
4-асиет. Егер анытауышты екі жолы бірдей болса, онда анытауыш мні нолге те. шінші ретті анытауышты бірінші жне екінші жолдары бірдей болсын:
=0.
Тедікті дрыстыын осы екі жолды орндарын алмастырып 3-асиетті олданып тек.болады.
5-асиет.Анытауышты бір жолын андай да бір сана кбейтіп баса жола осаннан анытауыш мні згермейді. шінші ретті анытауышты бірінші жолын -а кбейтіп екінші жола осайы:
.
Тедікті дрыстыын екінші анытауышты мынадай