Теорема.Элементар трлендірулер матрица рангісін згертпейді. 2 страница

+

анытауыштарды осындысы трінде жазайы. Сонда бірінші осылыш берілген анытауыш болады да, екінші анытауыш нолге те.

6-асиет.шбрышты матрицаны анытауышы диагональ бойындаы элементтерді кбейтіндісіне те:

.

Тедікті дрыстыын анытауышты бірінші тік немесе шінші жаты жол бойынша жіктеп тексеруге болады.

Осы асиеттер кмегімен жоары ретті анытауыштар есептеуді кп жеілдетуге болады. Анытауышты андай да бір жолында нерлым кп ноль болатындай етіп трлендіріп, сол жол бойынша жіктеп анытауыш реті тмендетіледі. Мысалы мынадай тртінші ретті

анытауышты есептейік.

Анытауышты шбрышты трге келтіреміз. Алдымен 5-асиет бойынша анытауышты бірінші жолын 1-ге кбейтіп шінші жола, (-1)-ге кбейтіп тртінші жола осайы (есепте крсетілген). Сонда анытауышты бірінші тік жолында элементтен басасы нолге айналады.

Енді осы асиетті пайдаланып элементіні астында тран сандарды нолге айналдырамыз. Соында элементіні астында тран сандарды нолге айналдырамыз. Анытауыш шбрышты трге келді. 6-асиет бойынша анытауыш мнін диагональдік элементтерді кбейтіп табамыз.

= =

 

= = .

16. Матрицаны рангі? Матрица рангі mxn лшемді А матрицаны бірнеше жаты жне тік жолдарын сызып тастап k лшеміді, k min(m,n), квадрат матрица алуа болады. Осы квадрат матрица анытауышы берілген матрицаны k лшемді минорыдеп аталады. матрицаны k-лшемді минорлар саны болады.

Анытама.Матрицаны нолге те емес минорларыны е лкен реті матрица рангісі деп аталады: r=r(A)= rangA .

1. матрицасыны рангісі оны лшемдеріні кішісінен артпайды: r(A) min(m,n).

2. Барлы элементтері ноль боланда ана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады.

3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес боланда матрица рангісі n–ге те болады.

Мысал. матрицаны рангісін есептейік.

Шешуі. Матрица лшемі 3х4 боландытан, оны рангісі 3-тен артпайды, r(A) min(3,4). Егер шінші ретті минорларды е болмаанда біреуі нолден згеше болса, онда матрица рангісі 3-ке те болады. шінші ретті минорлар матрицаны бір тік жолын сызып тастаанда пайда болады:

, , , .

шінші ретті минорларды брі нолге те боландытан, ранг 3-ке те бола алмайды. Енді екінші ретті минорларды ішінен (оларды саны ) е болмаанда бір нолге те емес минор тапса, матрица рангісі 2-ге те болады. Екінші ретті минорлар матрицаны бір жаты, екі тік жолын сызып тастаанда пайда болады. Айталы бірінші жаты жол мен бірінші жне екінші тік жолдарды сызып тастаанда пайда болатын мына минор: , сондытан r(A)=2.

Матрица лшемі артан сайын оны рангісін барлы нолден зге минорларды есептеу жолымен анытау иындайды. Матрица рангісін элементар трлендірулер дісімен табу ондай иындытардан тарады.

Теорема.Элементар трлендірулер матрица рангісін згертпейді.

Длелдеуі. Матрицаа элементар трлендірулер жргізгенде оны анытауышы не згермей саталады, не нолге те емес сана кбейтіледі. Яни, оны реті згермейді деген сз. Олай болса, нолден згеше минорларды немесе матрица рангісіні реті де згермейді.

Осы теореманы ескеріп, элементар трлендірулер жасап, берілген матрицаны барлы диагоналдік элементтері нолден згеше болатындай етіп сатылы трге келтіреміз:

,

мндаы r п. Осы шартты орындалуын матрицаны транстонерлеу арылы амтамасыз етуге болады. Сонда матрицаны r–ретті нолден зге миноры

бар болады да, матрица рангісі r-ге те болады, яни r(A)=r.

Матрицані рангісін есептеу

матрицасыны рангісін есептейік.

Шешуі. Элементар трлендірулер кмегімен матрицаны сатылы трге келтіреміз.

.Соы матрица сатылы трге келді жне онда нолге те емес шінші ретті минор бар екенін бірден круге болады:

. Сонымен матрица рангісі 3-ке те, r(A)=3.

17. Матрицаны трлендіру? Матрицаны райтын сандар матрица элементтері деп аталады. детте матрица латын алфавитіні бас ріптерімен, ал элементтері сйкес кіші ріптермен белгіленеді:

ысаша жазылуы:

Матрица элементіні бірінші индексі жаты жол нмірі, ал екінші индексі тік жол (баана) нмірін крсетеді. Мысалы, элементі екінші жаты жол мен шінші тік жол иылысында орналасан.

Бір ана жаты жолдан ралан матрицаны жол-матрица, ал бір ана тік жолдан ралан матрицаны баана-матрицадепатайды: - жол-матрица;

- баана матрица.

Жол матрица мен баана матрицаны кейде вектор деп те айтады.. Жаты жолдар саны мен тік жолдар саны те болатын матрица квадрат матрица деп аталады,

.

Квадрат матрицаны элементтері диагоналды элементтердеп аталады да, матрицаны негізгі диагоналінрайды. Ал элементтері осымша диагоналды элементтердеп аталады да, матрицаны осымша диагоналінрайды. Квадрат матрицаны негізгі диагоналіні астындаы немесе стіндегі элементтері нолге те болса, матрица шбрышты матрица деп аталады,

,

Диагоналды емес элементтеріні брі нолге те болатын квадрат матрица диагоналды матрица деп аталады,

.

Барлы диагоналды элементтері бірге те болатын диагоналды матрица бірлік матрица деп аталады жне оны Е рпімен белгілейді,

. Барлы элементтері нолге те матрица нолдік матрицадеп аталады.

18.Кері матрица? Кері матрицаны анытамасы

Кез келген сан шін мына тедігін анааттандыратындай кері сан табылады. Квадрат матрица шін де осындай ым енгіземіз. Анытама.Аквадрат матрица шін мына тедікті анааттандыратын матрица А матрицаныкері матрицасыдеп аталады.Кері матрицаны мына формуламен табады:

, мндаы -матрица анытауышы, ал -берілген матрицаны элементтеріні алгебралы толытауыштары, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n.

Кез келген квадрат матрицаны кері матрицасы бола бермейді. Теорема(кері матрица болуыны ажетті жне жеткілікті шарты). Матрицаны кері матрицасы болуы шін ол ерекше емес ( ) матрица болуы ажетті жне жеткілікті.

Мысал. матрицасыны кері матрицасын табу керек. Шешуі. Алдымен анытауышын есептейік.

= = .

, яни кері матрица бар. Енді элементтерді алгебралы толытауыштарын есептейік.

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Табылан мндерді формулаа ойып кері матрицаны табамыз.

. Кері матрицаны дрыс табыландыын тедігін тексеру арылы кз жеткізуге болады:

.

Берілген матрицаа кері матрицаны элементар трлендірулер дісімен де табуа болады. Бл діс матрицаа элементар трлендірулер олдануа сйенеді. Матрицаны элементар трлендірулері деп мынадай трлендірулерді айтамыз:

1) Матрицаны транспонерлеу;

2) Жолдарды орнын алмастыру;

3) андай да бір жолды барлы элементтерін нолден зге сана кбейту;

4) андай да бір жолды барлы элементтерін нолден зге сана кбейтіп баса жолды сйкес элементтеріне осу;

5) Барлы элементі ноль болатын жолды алып тастау.

Енді кері матрица табу ережесіне кшейік: Берілген матрицаны о жаына бірлік матрица жалап жазу керек. Сонда лшемді кеейтілген матрица пайда болады. В матрицаа А матрицасыны орнында бірлік матрица пайда болана дейін жаты жолдарына элементар трлендірулер жасалады. Нтижесінде бірлік матрицаны орнында кері матрица пайда болады.

Мысалы, жоарыдаы арастырылан матрицаны кері матрицасын осы діспен тауып крейік. Берілген матрицаны о жаына бірлік матрица жазып, элементар трлендірулер жргіземіз.

.

Соында бірлік матрицаны орнында пайда болан матрица кері матрица болады: . Ерекше емес матрицалар шін мынадай асиеттер дрыс болады:

1) , 2) ,

3) , 4) .

Соы , ..., тедеулеріндегі , ..., сандарыны е болмаанда біреуі нлден згеше болса, онда берілген тедеулер жйесі йлесімсіз, ал брі нолге те болса жйе йлесімді болады.

Жйені рангісі жйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жйе аныталмаан болатыны жоарыда айтылан. Айталы (6) жйе йлесімді жне r<n болсын. Егер коэффициенттерінен рылан анытауыш нолден згеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал баса n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды. Еркін айнымалылары нолге те болан кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.

1-мысал. Шешуі. Жйені кеейтілген матрицасын жазып, элементар трлендірулер жасайы:

.

Соы матрицаа сйкес келетін жйе жазайы:

Сонымен жйені шешімі табылды:

19. Жйені шешімі дегеніміз не?

Негізгі ымдар мен анытамалар. n белгісізді m тедеуден тратын жйе деп мынадай жйені айтады:

(1)

мндаы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - тедеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мшелері деп аталады. (1) тедеуді ысаша жазылуы мынадай: (i=1,2,…,m)

жйені бос мшелеріні брі нолге те болса, (i=1,2,…,m) жйе біртекті жйе деп аталады. Жйені рбір тедеуін тепе-тедікке айналдыратын

сандар тізбегі тедеулер жйесіні шешімі деп аталады. Осы шартты анааттандыратын барлы шешімдер шешімдер жиынын рады. Жйені шешімдер жиынын табу процесін жйені шешу дейді.

(1) жйені е болмаанда бір шешімі болса жйе йлесімді, ал шешімі болмаса йлесімсіз деп аталады. йлесімді жйені бір ана шешімі болса, жйе аныталан, ал шешімі бірден кп болса аныталмаан деп аталады. Енді (1) жйеге мынадай белгілеулер енгізейік:

, ,

А - жйе коэффициенттерінен рылан матрица немесе жйе матрицасы, Х - жйені бос мшелерінен рылан баана матрица, В - жйені бос мшелерінен рылан баана матрица. Осы белгілеулерді олданып (1) жйені былайша жазуа болады: АХ=В (3). (3) тедеу (1) жйені матрицалы жазылуы болып табылады. Егер жйе матрицасына бос мшелер матрицасын жалап жазса,

, жйені кеейтілген матрицасын аламыз.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызыты тедеулер жйесіні негізгі матрицасы мен кеейтілген матрицасыны ранглері те болса, онда жйе йлесімді болады.

Теорема бойынша жйе йлесімді болуы шін болуы керек. Бл кезде rжйе рангісі деп аталады.

йлесімді жйені рангісі жйедегі белгісіздер санына те болса (r=n), онда жйе аныталан болады, ал егер жйені рангісі жйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жйе аныталмаан болады. Мысалы, мынадай жйе арастырайы:

Жйені кеейтілген матрицасын жазып, элементар трлендірулер жасайы:

Жйе матрицасы мен кеейтілген матрицаны екінші ретті нолге те емес минорлары бар екенін кру иын емес жне . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жйе йлесімді. Жйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n боландытан жйе аныталмаан, яни шексіз кп шешімі бар.

20. андай жйе йлесімді деп аталады?Негізгі ымдар мен анытамалар. n белгісізді m тедеуден тратын жйе деп мынадай жйені айтады: (1)мндаы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - тедеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мшелері деп аталады. (1) тедеуді ысаша жазылуы мынадай: (i=1,2,…,m)