Теорема.Элементар трлендірулер матрица рангісін згертпейді. 3 страница

жйені бос мшелеріні брі нолге те болса, (i=1,2,…,m) жйе біртекті жйе деп аталады. Жйені рбір тедеуін тепе-тедікке айналдыратын

сандар тізбегі тедеулер жйесіні шешімі деп аталады. Осы шартты анааттандыратын барлы шешімдер шешімдер жиынын рады. Жйені шешімдер жиынын табу процесін жйені шешу дейді.

(1) жйені е болмаанда бір шешімі болса жйе йлесімді, ал шешімі болмаса йлесімсіз деп аталады. йлесімді жйені бір ана шешімі болса, жйе аныталан, ал шешімі бірден кп болса аныталмаан деп аталады. Енді (1) жйеге мынадай белгілеулер енгізейік:

, ,

А - жйе коэффициенттерінен рылан матрица немесе жйе матрицасы, Х - жйені бос мшелерінен рылан баана матрица, В - жйені бос мшелерінен рылан баана матрица. Осы белгілеулерді олданып (1) жйені былайша жазуа болады: АХ=В (3). (3) тедеу (1) жйені матрицалы жазылуы болып табылады. Егер жйе матрицасына бос мшелер матрицасын жалап жазса,

, жйені кеейтілген матрицасын аламыз.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызыты тедеулер жйесіні негізгі матрицасы мен кеейтілген матрицасыны ранглері те болса, онда жйе йлесімді болады.

Теорема бойынша жйе йлесімді болуы шін болуы керек. Бл кезде rжйе рангісі деп аталады.

йлесімді жйені рангісі жйедегі белгісіздер санына те болса (r=n), онда жйе аныталан болады, ал егер жйені рангісі жйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жйе аныталмаан болады. Мысалы, мынадай жйе арастырайы:

Жйені кеейтілген матрицасын жазып, элементар трлендірулер жасайы:

Жйе матрицасы мен кеейтілген матрицаны екінші ретті нолге те емес минорлары бар екенін кру иын емес жне . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жйе йлесімді. Жйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n боландытан жйе аныталмаан, яни шексіз кп шешімі бар.

21. андай жйе йлесімсіз деп аталады?Негізгі ымдар мен анытамалар. n белгісізді m тедеуден тратын жйе деп мынадай жйені айтады: (1)мндаы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - тедеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мшелері деп аталады. (1) тедеуді ысаша жазылуы мынадай: (i=1,2,…,m)

жйені бос мшелеріні брі нолге те болса, (i=1,2,…,m) жйе біртекті жйе деп аталады. Жйені рбір тедеуін тепе-тедікке айналдыратын

сандар тізбегі тедеулер жйесіні шешімі деп аталады. Осы шартты анааттандыратын барлы шешімдер шешімдер жиынын рады. Жйені шешімдер жиынын табу процесін жйені шешу дейді.

(1) жйені е болмаанда бір шешімі болса жйе йлесімді, ал шешімі болмаса йлесімсіз деп аталады. йлесімді жйені бір ана шешімі болса, жйе аныталан, ал шешімі бірден кп болса аныталмаан деп аталады. Енді (1) жйеге мынадай белгілеулер енгізейік:

, ,

, жйені кеейтілген матрицасын аламыз.

Теорема бойынша жйе йлесімді болуы шін болуы керек. Бл кезде rжйе рангісі деп аталады.

Жйені кеейтілген матрицасын жазып, элементар трлендірулер жасайы:

Жйе матрицасы мен кеейтілген матрицаны екінші ретті нолге те емес минорлары бар екенін кру иын емес жне . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жйе йлесімді. Жйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n боландытан жйе аныталмаан, яни шексіз кп шешімі бар.

22.Сызыты тедеулер жйесін шешу тсілдері:Крамер дісі:Бл діс жйедегі тедеулер саны мен белгісіздер саны те боланда, яни m=n, олдануа болады. Демек, жйе трі мынадай болады:

(4)

Жйедегі тедеулер саны мен белгісіздер саны те, онда жйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаны анытауышын деп белгілейік:

Крамер ережесі. -жйе анытауышы, ал - анытауышты j-тік жолын бос мшелермен алмастыраннан пайда болан анытауыш болсын. Сонда, егер болса жйені жалыз шешімі бар болады жне мынадай формуламен табылады:

(i=1,2,…,n) формуланы Крамер формуласы деп атайды.

Осы ережені олданып мынадай жйені шешейік

Шешуі. Алдымен анытауышты есептейміз,

.т (j=1,2,3) анытауыштарды есептейік

, ,

Енді Крамер формуласын олданып белгісіздерді табамыз:

, , .

Сонымен, берілген жйені жалыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жйе аныталан екен.

Матрицалы діс:Бл діс те жйедегі тедеулер саны мен белгісіздер саны те боланда, яни m=n, олдануа болады. Жйені матрицалы жазылуын

арастырайы:АХ

=В, мндаы, , .

Айталы А ерекше емес матрица болсын, яни матрица анытауышы нолге те емес, олай болса р уаытта кері матрицасы бар болады. Тедеуді сол жаынан кері матрицаа кбейтейік, АХ= В А=E болатындытан, ЕХ= В,кез келген матрицаны бірлік матрицаа кбейтіндісі сол матрицаны зіне те болатындытан, ЕХ=Х:Х= В. Сонымен, кері матрицалы діс бойынша жйені шешімін табу шін бос мшелерден ралан матрицаны жйе матрицасыны кері матрицасына кбейту керек екен.Жоарыда карастырылан жйені осы діс бойынша шешіп крейік.

Шешуі. боландытан, жйе матрицасы ерекше емес. Осы матрицаны кері матрицасын табамыз:

Енді Х= В тедікті олданып белгісіздерді табамыз:

Сонымен, , , шешімдері табылды.

Гаус дісімен шешу:n белгісізді m тедеуден тратын жйе арастырайы,

Гаусс дісі - жйедегі айнымалыларды трлендірулер кмегімен біртіндеп жойып, жйені сатылы трге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын діс. Гаусс трлендірулері мынадай:

1. Кез келген екі тедеуді орындарын ауыстырып жазу;

2. Кез келген тедеуді екі жаын нолден зге сана кбейту;

3. андай да бір тедеуді нолден зге сана кбейтіп, баса тедеуге сйкесінше осу;

4. 0=0 тріндегі тедеуді сызып тастау.

Гаусс трлендірулерін жйені зіне олдананнан грі оны кеейтілген матрицасына олданан тымды болады. Олай болса жйені кеейтілген матрицасын арастырайы,

. Осы матрицаны трлендірулер нтижесінде мынадай тргекелтіреміз:

Матрицаны элементтері арылы белгіленіп транымен, шын мнінде олар трлендірулер нтижесінде згерген. Бл белгілеулер жазуды ышамдау шін ана пайдаланылып отыр.

Соы матрицаа сйкес келетін тедеулер жйесі мынадай:

(6)

Соы , ..., тедеулеріндегі , ..., сандарыны е болмаанда біреуі нлден згеше болса, онда берілген тедеулер жйесі йлесімсіз, ал брі нолге те болса жйе йлесімді болады.

Жйені рангісі жйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жйе аныталмаан болатыны жоарыда айтылан. Айталы (6) жйе йлесімді жне r<n болсын. Егер коэффициенттерінен рылан анытауыш нолден згеше болса, онда айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал баса n-r айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды. Еркін айнымалылары нолге те болан кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.

1-мысал. Шешуі. Жйені кеейтілген матрицасын жазып, элементар трлендірулер жасайы:

Соы матрицаа сйкес келетін жйе жазайы:

Сонымен жйені шешімі табылды:

23. Векторды анытамасы.Басы А, соы В нктесі болатын баытталан кесінді вектор деп аталады. Оулытарда векторларды немесе , кейде тек алы ріптермен АВбелгілеу трлері кездеседі. Сол сияты векторларды бір ріппен де белгілей береді ( = , , а). векторыны зындыы деп АВ кесіндісіні зындыын айтады жне деп белгілейді. Басы мен соы беттесетін вектор нолдік вектор деп аталады, = жне зындыы нолге те.Бір тзуді не зара параллель тзулер бойында орналасан векторлар коллениар векторлар деп аталады. жне векторларыны осындысы «шбрыш» не «параллелограмм» ережесімен аныталады:

жне векторларыны - айырымы деп -а осанда

векторы алынатын = - векторын айтады.

векторыны сана кбейтіндісі деп зындыы болатын, баыты >0 боланда векторымен баыттас, <0 боланда векторымен арама-арсы баытта болатын векторын айтады. Суретте, = 2, =2 ; = -1, =- .

24. Векторды зындыыны формуласы.

Векторды зындыы оны координаталарыны квадраттарыны осындысынан алынан квадрат тбірге те: . жне векторлары координаталарымен берілген болса оларды осындысы мынадай трде аныталады: .Ал векторын сана кбейту мынадай трде аныталады: . жне векторларыны скаляр кбейтіндісі мынадай: