Жп жне та функциялар. 3. Жп жне та функциялар.

а) болса, - жп функция;

б) болса, - та функция.

Егер функцияны аныталу облысындаы кез келген х шін f(-x)=f(x)

тедігі орындалса функция жп деп, ал f(-x)=-f(x) тедігі орындалса функция та деп аталады. Мысалы, y=x²ⁿ, y=|x| функциялары жп, ал y=x²ⁿ⁺¹, функциялары та болады.

Жп функция графигі Оу осіне, ал та функция графигі О(0,0) – координаталар басына араанда симметриялы болады.

Жп функцияларды осындысы, айырымы, кбейтіндісі, бліндісі - жп функция болады.

Та функцияларды осындысы мен айырымы - та, ал кбейтіндісі мен бліндісі - жп функция болады.

Егер функция шін f(-x)=f(x) жнеf(-x)=-f(x)тедіктеріні екеуі де орындалмаса функция жп та, та та емес (бейтарап) болады. Мысалы, y=x²+х функциясы жп та, та та емес.

57. Периодты функциялар. Периодты функциялар. облысында аныталан фукциясы шін саны табылып, , , тедігі орындалса, онда периодты функция деп аталады.

Егер функцияны аныталу облысындаы кез келген х шін

f(x+Т)=f(x) тедігі орындалатындай Тсан табылса функция периодты деп аталады. Осындай Тсандарды е кішісі функцияны негізгі периоды деп аталады. Мысалы, y=sin(x), y=cos(x)(бларды негізгі периоды 2 ), y=tg(x), y=ctg(x) (бларды негізгі периоды ) - периодты функ.

4. Бірсазды (монотонды) функциялар. Егер функцияны аныталу облысындаы кез келген х₁, х₂ (х₁< х₂) мндер шін

f(х₁)< f(х₂) тесіздігі орындалса, функция спелі(3 а-сурет),

f(х₁) > f(х₂) тесіздігі орындалса, функция кемімелі(3 б-сурет),

f(х₁) f(х₂)тесіздігі орындалса, функция кемімейтін(3 в-сурет),

f(х₁) f(х₂) тесіздігі орындалса, функция спейтін (3 г-сурет)

деп аталады.

3 а-сурет 3 б-сурет 3 в-сурет 3 г-сурет

Егер андай да бір аралыта функция не тек спелі немесе тек кемімелі болса, оны осы аралыта монотонды (бірсазды) деп айтады.

58. Крделі функция.1. Шенелген функция. Егер функцияны аныталу облысындаы кез келген х шін андай да бір М наты сан табылып f(x)<M тесіздігі орындалса функция жоарыдан шенелген, ал f(x)>M тесіздігі орындалса функция тменнен шенелген деп аталады (2 а,б-сурет) .

Егер функцияны аныталу облысындаы кез келген х шін андай да бір М наты сан табылып |f(x)|<M тесіздігі орындалса функция шенелген деп аталады (2 в-сурет).

2 а-сурет 2 б-сурет 2 в-сурет

2. Жп жне та функция. Егер функцияны аныталу облысындаы кез келген х шін f(-x)=f(x)

тедігі орындалса функция жп деп, ал f(-x)=-f(x) тедігі орындалса функция та деп аталады. Мысалы, y=x²ⁿ, y=|x| функциялары жп, ал y=x²ⁿ⁺¹, функциялары та болады.

Жп функция графигі Оу осіне, ал та функция графигі О(0,0) – координаталар басына араанда симметриялы болады.

Жп функцияларды осындысы, айырымы, кбейтіндісі, бліндісі - жп функция болады.

Та функцияларды осындысы мен айырымы - та, ал кбейтіндісі мен бліндісі - жп функция болады.

Егер функция шін f(-x)=f(x) жнеf(-x)=-f(x)тедіктеріні екеуі де орындалмаса функция жп та, та та емес (бейтарап) болады. Мысалы, y=x²+х функциясы жп та, та та емес.

3. Периодты функциялар. Егер функцияны аныталу облысындаы кез келген х шін

f(x+Т)=f(x)тедігі орындалатындай Т сан табылса функция периодты деп аталады. Осындай Т сандарды е кішісі функцияны негізгі периоды деп аталады. Мысалы, y=sin(x), y=cos(x) (бларды негізгі периоды 2 ), y=tg(x), y=ctg(x) (бларды негізгі периоды ) - периодты функ.

4. Бірсазды (монотонды) функциялар. Егер функцияны аныталу облысындаы кез келген х₁, х₂ (х₁< х₂) мндер шін

f(х₁)< f(х₂)тесіздігі орындалса, функция спелі(3 а-сурет),

f(х₁) > f(х₂) тесіздігі орындалса, функция кемімелі(3 б-сурет),

f(х₁) f(х₂)тесіздігі орындалса, функция кемімейтін(3 в-сурет),

f(х₁) f(х₂) тесіздігі орындалса, функция спейтін (3 г-сурет)

деп аталады.

3 а-сурет 3 б-сурет 3 в-сурет 3 г-сурет

5. Кері функция. y=f(x) функциясыны кері функциясын табу шін алдымен х аргументті у айнымалы арылы рнектейміз, х=g(у), одан кейін, туелсіз аргумент х деп ал ал туелді айнымалы у деп белгілеу алыптасандытан, алынан рнектегі х пен у орындарын алмастырамыз, у=g(х). Пайда болан g(х) функция берілген f(x) функцияа кері функцияболады.

зара кері функцияларды графигі y=x (бірінші жне шінші декартты брыштарды биссектрисасы) тзуіне араанда симметриялы болады.

4-сурет

Мысалы,

4-сурет

функциясыны кері функциясын табау керек (4-сурет). Шешуі. Алдымен тедеудегі х аргументті у айнымалы арылы рнектеу шін х-ке атысты шешеміз:

осыдан .

Енді алынан рнектегі х пен у орындарын алмастырамыз: .Сонда берілген ф-а кері функция болады.

Берілген функцияны аныталу облысы оан кері функцияны мндер жиыны болады да, мндер жиыны кері функцияны аныталу облысы болады.Аралыта монотонды сетін немесе монотонды кемитін функцияларды ана кері функциялары табылады.

6. Крделі функция. y=f(g(x)) трінде берілген функцияны крделі функция дейді. Кейде крделі функцияны мынадай трде де береді: y=f(u) мндаы u=g(x). Бл жадайда u - аралы айнымалы, ал х -туелсіз аргумент болады.

Мысалы, ф-сы крделі функция. Оны , мндаы трінде жазуа болады.

7. Айын емес трде берілген функция. Егер функция F(x,y)=0, яни y айнымалыа атысты шешілмеген трінде, берілсе функция айын емес трде берілген дейміз. Жоарыда арастырылан функцияны айын емес трде былай жазамыз: .

59. Кері функция.Кері функция. y=f(x) функциясыны кері функциясын табу шін алдымен х аргументті у айнымалы арылы рнектейміз, х=g(у), одан кейін, туелсіз аргумент х деп ал ал туелді айнымалы у деп белгілеу алыптасандытан, алынан рнектегі х пен у орындарын алмастырамыз, у=g(х). Пайда болан g(х) функция берілген f(x) функцияа кері функцияболады.

4-сурет

Мысалы,

4-сурет

осыдан .

Енді алынан рнектегі х пен у орындарын алмастырамыз: .Сонда берілген ф-а кері функция болады.

60. Айындалмаан функция. Айындалмаан функция жне оны туындысы.

Айталытедеуі берілсін. Мнда х-тен туелді функция. Бл жадайда айындалмай берілген функция дейді.(8.3) формуланы пайдаланып (8.9) тедеуді шыарамыз. Осыдан

(8.10) айындап берілмеген функцияны туындысы.

Мысалы: тедеуі берілсін. Мнда онда