Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ымы, біржаты шектер

Анытама.Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын анааттандыратын барлы х шін тесіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясыны х аргумент х₀-ге мтыландаы шегі деп аталады да, былай жазылады: .Анытамадаы тесіздікті ашса, мынадай ос тесіздік аламыз: . интервалды нктесіні -маайы дейді. Сол сияты тесіздікті ашса: . интервалды А нктесіні -маайы дейді.

y А+ y=f(x) A s c1BLAQItABQABgAIAAAAIQCt1jxQCwMAAJIGAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9j LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQDrcxdj3AAAAAkBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAGUFAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAbgYAAAAA " path="m,1230l,e" filled="f"> A+ 0 x0- x0 х0 + x

Енді анытаманы сурет бойынша айтса: Алдын ала берілген, санына саны табылып, аргумент мндері нктесіні -маайына тиісті боланда функцияны сйкес мндері А нктесіні -маайында жатса, А саны f(x) функциясыны х аргумент х₀-ге мтыландаы шегі деп аталады.

Мысал. ндіріс орны шыаратын затты бір данасыны баасы y пен оан деген сраныс x (мы дана) арасындаы байланыс мынадай атынаспен аныталан:

.

Шешуі. (190; 210) интервалыны ортасы А=200 теге, олай болса =10. Шек анытамасындаы тесіздігін олданайы: . Осы тесіздікті трлендіріп ышамдаса мынадай тесіздік аламыз: .

Соы тесіздікті мынадай трге келтіріп жазса, есеп сраына жауап беруге болады: Затты бір данасыны баасыны 200 тегеден ауытуы 10 тегеден артпауы шін, ндіріс орны нім клеміні згеруін 0,6 мы данадан асырмауы керек екен.

Айталы жне функцияларыны жадайда жне шектері бар болсын.

7. Екі функцияны алгебралы осындысыны шегі шектерді алгебралы осындысына те болады, яни

8. = .

9. Екі функцияны кбейтіндісіні шегі шектерді кбейтіндісіне те болады, яни

= .

Салдар. =С , мндаы С - const.

10. Екі функцияны атынасыны шегі шектерді атынасына те болады (рине, егер блімдегі функция нолден згеше болса), яни = .

11. Мысал. функциясыны жадайдаы шегін табу керек.

12. Шешуі. ысаша айтса шек есептеу керек. Функция шегіні асиеттерін олданып есептейік: . функциясыны жадайдаы шегі 4 болады екен.

Сурак1-ші тамаша шек

Теорема. функциясы x=0 нктеде аныталмаан, біра жадайда шегі бар жне Осы шекті бірінші тамаша шекдеп атайды.

42-суракБірінші тамаша шек салдары:

1) ,

2) ,

3) .

Мысал.а) .

б) .

Сурак Екінші тамаша шек

Теорема. функциясыны жадайда шегі бар жне

65. Бірінші жне екінші тамаша шектер.Теорема. функциясы x=0 нктеде аныталмаан, біра жадайда шегі бар жне Осы шекті бірінші тамаша шекдеп атайды.

1) ,

2) ,

3) .

Мысал.

а) .

б) .

Теорема. функциясыны жадайда шегі бар жне

Осы шекті екінші тамаша шекдеп атайды. Мндаы иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.1) ,a=e боланда ;

2) ,a=e боланда ;

3) Мысал. а) екенін крсет

Шешуі. деген білгілеу енгізейік. Осыдан . Жне де кезде . Енді шек есептесек .б)

66. Функцияны зіліссіздігі. зілу нктелеріні трлері. Анытама. функциясыны жадайда шегі функцияны сол нктедегі мніне те болса, яни , функция нктесіндезіліссіз деп аталады.

Егер .

Сонда функция зіліссіздігіні анытамасын былай да айтуа болады: Берілген нктеде аргументті аырсыз аз сімшесіне функцияны да аырсыз аз сімшесі сйкес келсе, яни

функция нктесінде зіліссіз деп аталады. функциясы андай да бір аралыты зіліссіз болуы шін, ол сол аралыты рбір нктесінде зіліссіз болуы керек.

зіліссіз функция асиеттері.

1. функциясы нктесінде зіліссіз, ал функциясы нктесінде зіліссіз болса, крделі функциясы нктесінде зіліссіз болады жне .

2. Нктеде зіліссіз функцияларды алгебралы осындысы, кбейтіндісі жне атынасы (бліміндегі функция нолден зге боланда) зіліссіз функция болады

Анытама. функциясыны жадайда шегі функцияны сол нктедегі мніне те болмаса, яни , функция нктесінде зілісті функция деп, ал нктені функцияны зіліс нктесі деп атайды. Біржаты шектер ымын енгізейік.

Айталы жне , онда деп жазады, ал осы жадайдаы шекті функцияны сол жаты шегі деп атайды. Дл осылайша функцияны о жаты шегі де аныталады. Функцияны сол жаты жне о жаты шектерін біржаты шектер дейді.

Анытама.Функцияны нктесінде зара те емес аырлы біржаты шектері бар болса, нктесі функцияны І-текті зіліс нктесідеп аталады. Кейде оны аырлы секіріс деп (10а-сурет) атайды.

Анытама.Функцияны нктесіндегі аырлы біржаты шектерді е болмаанда біреуі жо болса, нктесі функцияныІІ-текті зіліс нктесідеп аталады

Мысал. а) функциясы нктесінде зіліссіздікке зертте.

Шешуі.

,

яни сол жаты шегі –1, ал о жаты шегі 1, аырлы сандар, з-ара те емес, олай болса нктесі І-текті зіліс нктесі болады .

б) функциясын зіліссіздікке зертте.

Шешуі. Функция аралыында аныталан. нктесіндегі біржаты шектерді табайы.

,

яни сол жаты шегі 0, ал о жаты шегі шексіздік. Олай болса нктесі ІІ-текті зіліс нктесі болады (10б-сурет).

в) функциясын зіліссіздікке зертте.

Шешуі. Функция аралыында аныталан. нктесіндегі біржаты шектерді табайы.

,

яни сол жаты де, о жаты шегі де шексіздік. Олай болса нктесі ІІ-текті зіліс нктесі болады

67. Функцияны туындысы. Функция туындысы

Кп жадайда функция мнін білумен атар аргументті згерісіне байланысты функцияны згеру жылдамдыын білу де маызды болады.y=f(x) функциясын арастырайы (1-сурет). Осы функция кесіндісінде аныталан жне зіліссіз болсын. Кез келген шін айырма х аргументті нктесіндегі сімшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, = x = + .Ал айырма f(x) функциясыны нктесіндегі сімшесі деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, = = .

2-суретте крсетілген y=f₁(x) жне y=f₂(x) функцияларды арастырайы. Аргумент мні шамаа згергенде бл функцияларды мндері де белгілі бір шамаа згереді. Суретте f₂(x) функцияны мні f₁(x) функцияа араанда кп згереді (седі).

Аргумент мні бірдей шамаа згерген кездегі функцияларды згерістерін салыстыру шін функцияны згеріс жылдамдыы ымын енгізеді. Оны орташа жылдамды дейді де, функция згерісіні аргумент згерісіне атынасымен анытайды:

Орташа жылдамды х₀ нктесіне ана атысты арастырылмай, аргумент згерісінен де байланысты болады. Функция жылдамдыын аргумент згерісінен байланыссыз арастыру шін функцияны нктедегі жылдамдыын арастырады. Функцияны нктедегі жылдамдыын анытау шін х-ті х₀ аргументке шексіз жаындатады, немесе . Осы кезде зіліссіз функция згерісі нолге жаындайды, яни . Нолге шексіз жаындайтын функция згерісіні нолге шексіз жаындайтын аргумент згерісіне атынасы функцияны х₀нктедегі згеріс жылдамдыын береді. Функцияны х₀нктедегі осы згеріс жылдамдыын f(x) функциясыны х₀нктедегі туындысы деп атайды:

.

Анытама. Функция сімшесіні аргумент сімшесіне атынасыны аргумент сімшесі нолге мтылан кездегі шегі функция туындысы деп аталады. детте оны немесе деп белгілейді:

68. Функцияны дифференциалы.Функция шегіні анытамасына сйеніп туынды табу формуласын мынадай трде кшіріп жазуа болады: ,мндаы

Анытама.Функция сімшесіні сызыты блігіфункция дифференциалыдепаталады да, dyдеп белгіленеді. Сонымен, Мысал ретінде y=x функциясыны дифференциалын табайы: .Демек, аргумент дифференциалы оны сімшесіне те екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай трде жазамыз: (4)

Егер аргумент сімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция сімшесі мен дифференциалы жуы шамамен те болады, яни . Трлендірейік, . Осыдан, (5). (5) формуламен функцияны мнін жуытап есептейді. Нерлым аз болса, сорлым формула длірек болады.Функцияны туындысын алуды –функцияны дифференциалдаудейді.(а;в) интервалыны рбір нктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді. Мынадай тжырым дрыс болады: Егер f(x) функцисы х₀ нктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нктеде зіліссіз болады.

Туындыны геометриялы манасы.y=f(x) функциясы

х₀нктесінде дифференциал- дансын. Осы функцияны атынасы брышты тангенсіне те. жадайда . жадайда М₀М има функция графигіне х₀ нктесінде жргізілген жанамаа айналады. Ал tg жанаманы (тзуді) брышты коэффициенті, яни k= tg . Сонымен, туындыны геометриялы манасы: туынды дегеніміз y=f(x) функция графигіне х₀ нктесінде жргізілген жанаманы брышты коэффициенті: k= tg = (2). Сонда y=f(x) функция графигіне х₀ нктесінде жргізілген жанама тедеуі мынадай трде жазылады: у - = (x-x₀)

69. Жоары ретті туындылар мен дифференциалдар.Функция сімшесіні аргумент сімшесіне атынасыны аргумент сімшесі нолге мтылан кездегі шегі функция туындысы деп аталады. детте оны немесе деп белгілейді:

Дифференциалдау ережелері.u=u(x) жне v=v(x) функцияларды райсысы берілген х нктесінде дифференциалданатын болса, онда бл функцияларды осындысы(айырымы), кбейтіндісі жне атынасы (v(x) 0) сол нктеде дифференциалданады, жне мына формулалар дрыс болады:

1) 2) , C=const 3)

4) 5). f(u(x)) крделі функция туындысы: .

6) y=f(x) функциясына кері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы: .

7) Айын емес трде берілген функция, F(x,y)=0, туындысы: .

8) Дрежелі-крсеткіштік функция туындысы. Алдымен берілген тедеуді екі жаын логарифмдейік, .

Екі жаынан туынды аламыз, .

Сонымен, .

9) Жоары ретті туынды. туындыны функцияны 1-ретті туындысы дейді. 1-ретті туындыдан алынан туынды функцияны 2-ретті туындысы деп аталады да, деп белгіленеді. Сонымен, . Осылайша 3-ретті, т.с.с. n–ретті туындыларды анытауа болады,

, …, .

Функция сімшесіні сызыты блігіфункция дифференциалыдепаталады да, dyдеп белгіленеді. Сонымен, Мысал ретінде y=x функциясыны дифференциалын табайы: .Демек, аргумент дифференциалы оны сімшесіне те екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай трде жазамыз: (4)

Егер аргумент сімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция сімшесі мен дифференциалы жуы шамамен те болады, яни . Трлендірейік, . Осыдан, (5). (5) формуламен функцияны мнін жуытап есептейді. Нерлым аз болса, сорлым формула длірек болады.

Функцияны туындысын алуды –функцияны дифференциалдаудейді.(а;в) интервалыны рбір нктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді. Мынадай тжырым дрыс болады: Егер f(x) функцисы х₀ нктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нктеде зіліссіз болады.

70. Лопиталь ережесі.f(x) жне g(x) функциялары ( ) жадайда нолге немесе шексіздікке мтылсын. Егер оларды туындыларыны атынасыны шегі (аырлы не аырсыз) бар болса, функциялар атынасыны да шегі бар болады жне мына атынас орындалады: . Лопиталь ережесін олданып ектерді есмептейік.

1.

2.

3. шінші мысалда Лопиталь ережесін бірден олдануа келмейді. Сондытан, алгебралы трлендіру кмегімен тріндегі аныталмаандыты немесе тріндегі аныталмаандытара келтіреміз. Осы масатпен х² блімні бліміне тсірілді.

4. . Айталы деп белгілеп, тедеуді екі жаын логарифмдейік. Тедеудіожаынесептейі

71. Шексіз аздарды салыстыру.Екі шексіз аз шамаларды салыстыру шін оларды атынасын арастырады. - ш.а.ш. болсын, яни жне .

1. Егер болса, онда мтыланда ш.а.ш.-ны азды реттері бірдей дейді.

2. Егер болса, онда мтыланда шексіз аз шамалар эквивалентті деп аталады жне ~ деп белгіленеді.

Мысал. шексіз аздар мтыланда эквивалентті, бл бірінші тамаша шекті асиетінен шыады.

Теорема. мтыланда ш.а. болсын, онда:

1. ;

2. ~ ;

3. ~ ;

4. ~ ;

5. ~ ;

6. ~ , ;

Теорема.Егер ш.а.ф. –ды олара эквивалентті функциялармен алмастырса, онда екі ш.а.ф. атынасыны шегі згермейді.

Мысал. ,

себебi, ~ ~ ~ ~

72. Функцияны экстремумыны ажетті шарты.х₀ нктесіні - маайы табылып, (х₀- х₀+ ), осы маайдаы барлы х х₀ шін f(x)>f(х₀) тесіздігі орындалса, х₀ нктесі f(x) функциясыны минимум нктесі деп, ал f(x)<f(х₀) тесіздік орындалса, х₀ нктесі f(x) функциясынымаксимум нктесідеп аталады.

Функцияны минимум жне максимум нктелерінэкстремум нктелерідеп атайды. Осы нктелердегі функция мндерін функция экстремумдарыдейді.

Экстремумны бар болуыны ажетті шартын Ферма теоремасы береді.

Ферма теоремасы. х₀ нктесі y=f(x) функциясыны экстремум нктесі болып жне осы нктедегі функция туындысы бар болса, онда =0.Бл теореманы геометриялы манасы: теорема шартын анааттандыратын нктеде функция графигіне жргізілген жанама абсцисса осіне параллель болады.

Экстремумны бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нктесінде зіліссіз жне андай да бір - маайында функция туындысы бар болсын (х₀ нктесінде туынды болмауы ммкін). Онда,

1) егер х аргумент х₀ нкте арылы ткенде табасын онан теріске згертсе, онда х₀ нкте функцияны максимум нктесі болады;

2) егер х аргумент х₀ нкте арылы ткенде табасын терістен оа згертсе, онда х₀ нкте функцияны минимум нктесі болады;

3) егер х аргумент х₀ нкте арылы ткенде табасын згертпесе, онда х₀ нкте функцияны экстремум нктесі емес.

73. Функцияны экстремумыны жеткілікті шарты. Теорема (экстремумні жеткілікті шарты). Егер нктесінде функциясыны туындысы нлге те болса жне нктесінен ткенде табасын згертсе, онда нктесі экстремум нктесі болады: 1) егер таба «плюс»-тен «минус»-ке згерсе, онда – максимум нктесі; 2) егер таба «минус»-тен «плюс»-ке згерсе, онда – минимум нктесі болады.

2-мысал. функцияны экстремумге зерттеп, су жне кему аралытарын анытау керек. Функция туындысы , осыдан , кдікті нктесін табамыз. нктесінде функцияны туындысы болмайды, сондытан ол да кдікті нкте. Интервалдар тсілімен f '(x)-ті табаларын анытаймыз. Функция барлы нктелерде зіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша максимум нктесі, ал минимум нктесі. (–¥, 0) жне интервалдарда функция седі, ал интервалда кемиді

74. Функцияны ойыстыы жне дестігі Анытама. Егер интервалында дифференциалданатын исыыны барлы нктелері сол исыа жргізілген жанамадан жоары орналасса, онда онда исыты осы аралыта ойыс (дестігі тмен араан) дейді, ал исыыны барлы нктелері сол исыа жргізілген жанамадан тмен орналасса, онда исыты осы аралыта дес (дестігі жоары араан) дейді. исыты ойыс жне дес блігін бліп тратын нктені иілу нктесі деп атайды.

Теорема. функциясы интервалында екі рет дифференциалданатын болсын. Егер осы интервалды рбір нктесінде 1) болса, онда функцияны графигі бл интервалда дес болады; 2) болса, онда функцияны графигі бл интервалда ойыс болады

4-мысал. гиперболасы (0, +¥) интервалында ойыс болады, себебі , ал (–¥, 0) интервалында дес, себебі .

75. Функцияны графигіні асимптотасы.у= тедеумен берілген исыты арайы. Аргументі х не плюс шексіздікке , не минус шексіздікке мтыланда берілген функция мынадай сызыты функцияа мтылуы ммкін. Сызыты функция тзуді кескіндейтіні бізге белгілі. Егер болса, онда тзуді х плюс, минус шексіздікке мтыландаы у= исыты асимптотасы деп атайды. Бл асимтотаны клбеу асимптота дейді. Ал егер онда тзуді у= исыты горизонталь асимтотасы дейді. Ал егер (5.36) болса, онда х=х ₀ тзуді у= функция графигіні тік асимптотасы деп аталады. Егер тзуі , у= функция графигіні, клбеу асимтотасы болса, онда немесе бл арадан

(5.37) тедікті былай да жазуа болады

(5.38) жне (5.39) тедіктерді орындалуынан мынадай ортындыа келеміз: егер тзу мына у= исыты клбеу асимптотасы болса, онда (5.38) жне (5.39) тедіктер орындалады. Керісінше , егер (5.38) жне (5.39) тедіктер орындалса, онда тзу берілген функция графигіні асимптотасы болады.

76. Аныталмаан интеграл анытамасы жне асиеттері.f(х) функциясыны алашы функцияларыны жиыны оны аныталмаан интегралы деп аталады жне деп белгіленеді,мндаы - интеграл белгісі; f(х) – интеграл астындаы функция; f(х)dx - интеграл астындаы рнек. Сонымен, =F(x)+C,

мндаы F(x) – алашы функция, C –ерікті траты. Мысалдаы, f(x)=3x²функциясыны алашы функциясы F(x)=x³ боландытан, анытама бойынша .

Берілген функцияны алашы функциясын табу амалы функцияны интегралдау деп аталады. Функцияны интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал.

Интеграл анытамасынан мынадай асиеттер шыады.

1. .2. .3. =F(x)+C.4.Берілген аралыта f(x) жне g(x) функцияларыны алашы функциялары бар болса, онда f(x)+g(x) функциясыны да алашы функциясы бар болады жне .

5. . 6.Егер = F(x)+C болса, онда = F(ax+b)+C.

7.Егер интеграл астындаы функцияны алымы блімні туындысы болса, онда интеграл блімні абсолют шамасыны натурал логарифміне те, яни , мндаы u=u(x).Аныталмаан интегралдар кестесі:

	= C		= x+C
	= +C, x>0,		=ln|x|+C, x 0
	= +C,		= +C
	=sinx+C		=-cosx+C
	=tgx+C,		=-ctgx+C,
	=arcsinx+C, -1<x<1		=arcsin +C, -a<x<a
	=arctgx+C		= artg +C
	= ln +C		ln +C

77. Аныталмаан интегралды есептеу тсілдері.Аныталмаанинтеграласиеттері.Интеграланытамасынанмынадайасиеттершыады.1. .2. .3. = F(x)+C. 4. Берілгенаралыта f(x) жне g(x) функцияларыныалашыфункцияларыбарболса, онда f(x)+g(x) функциясыныдаалашыфункциясыбарболадыжне5. . 6. Егер = F(x)+C болса, онда = F(ax+b)+C. 7. Егеринтеграластындаыфункцияныалымыблімнітуындысыболса, ондаинтегралблімніабсолютшамасынынатураллогарифмінете, яни ,мндаы u=u(x).Аныталмаанинтегралдаркестесі: