Дес жиындаы тегіс бейнелеуді асиеті

Еселі интегралдарда айнымалыны алмастыруда тегіс бейнелеуді кейбір асиеттері ажет болады. Функция компактылы лшемді облысында аныталан жне да интегралданатын болсын. мына интегралды білдіретін болсын

.

жне жиындарыны ішкі нктелеріні арасындаы зара бірмнді сйкестікті таайындайтын, жиынындаы лшемді компактыны бейнелеуін арастырамыз. -де аныталан функцияны жйесімен берілген бейнелеуді ескереміз. Бл функцияны райсысы -де барлы зіліссіз дербес туындылы болады деп есептейік.

Ескерту. 1) Функция -де аныталан исысызыты координата деп аталады.

2) Бейнелеу -ді зара бірмнділік шарты: облысыны ішкі нктелері шін , облысыны рбір нктесінде осы бейнелеуді якобиандары нлден згеше боланда ана анааттандырылады(кері бейнелеу туралы теорема). Облыстаы тегіс бейнелеу туралы тжырымды рамыз жне длелдейміз.

Теорема 12. дес жне тйы жиын жне жиынында тегіс функция болсын. Сондай-а жне нктелері -ге тиісті болсын. Онда мынадай нктесі табылады да, болады.

Длелдеуі. Бір айнымалылы функциясын арастырамыз:

Мнда кесіндісіндегі тегіс функция.

Олай болса, оан шектеулі сімшені Лагранж формуласын олдануа болады. Онда мынадай , саны табылады да, болады. Функция крделі функция -дан жне крделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша мынаны аламыз:

мнда . Длелденді.

Теорема 13. - D облысындаы D₀ дес компакты тегіс бейнелеуге болады. Онда мынадай саны табылады да, кез-келген нктелері шін

тесіздігі дрыс болады. Мндаы -евклидтік метрикадаы (лшемдегі) вектор зындыы.

Длелденуі. Теорема 12-ден кезінде мынаны аламыз.

Мндаы жне интервалыны кейбір саны. Коши тесіздігін олданып, мынаны аламыз:

.

компакт жне функциясы -де зіліссіз боландытан, ол бл компактіде кейбір тратысымен шектеледі. Осыны жне санды тесіздікті олданып, аламыз, мндаы . Длелденді.

Бейнелеу -ді Якоби матрицасы арылы белгілейік: нктесінде .

Анытама 17. Вектор -ті сімшесіні сызыты бейнелеуі деп бейнелеуді дифференциалын айтады жне символымен белгіленеді. - вектор.
Теорема 14. дес компактіні тегіс бейнелеуі жне болсын. Онда келесі біралыпты шекті орны бар кезінде

. Басаша айтанда, мынадай кезінде санды функция табылады да, барлы шін тесіздігі дрыс болады.

Дллдеуі: жне векторларыны -шы координатасын арастырамыз. Анытама бойынша , ал Теорема 12 бойынша кейбір кезінде мынаны аламыз: . Олай болса, . Енді бейнелеуіні дербес туындысы компактіде зіліссіз боландытан, онда -де оны біралыпты зіліссіздігі ретінде мынаны аламыз:

, мндаы тек ана - ке туелді жне кезінде . Бдан Коши тесіздігі олданып мынаны аламыз: , олай болса, , рі кезінде .

Длелденді.

Еселі интегралдара айнымалыны ауыстыру формуласы

Жордан бойынша лшемді Риманны ос интегралы

Анытама 15: Жордан бойынша лшенетін, шектелген D облысыны функциясын Риманны жалпыланан ос интегралы деп I санын айтады, егер кез-келген шін мынадай саны табылып, рбір блінуі шін шартымен тесіздігі орындалса.

Жалпыланан ос интегралды база бойынша шек ретінде арастыруа болады, Бл базаны символымен белгілейміз. Ол шартымен аныталан жалауынан рылады. Шындыында да, функциясы жиынында аныталан, ал оны база бойынша шегі жне ол D обылысы бойынша жалпыланан ос интеграл болады.

, , болсын. Онда Дарбуды жоары жне тменгі осындысын келесі рнекке сйкес анытаймыз:

жне омега осындысын рнегімен анытаймыз.

Кейбір P тіктртбрышы шін болсын.

деп йарып , барлы Р тіктртбрышын да функциясын анытаймыз.

Анытама 16 : Егер функциясы Р тіктртбрышында Риман бойынша интегралданатын болса, онда функциясыны Р бойынша J ос интегралы функциясыны D жиыны бойынша Риман ос интегралы деп аталады, яни анытама бойынша болады.

Теорема 6: Жалпыланан ос I интегралыны бар болуы шін, J интегралыны бар болуы ажетті жне жеткілікті, сонымен брге онда I=J.

Длелдеуі:

1. Тіктртбрыш P жне J интегралы бар болсын. Онда интегралыдану критерийіне байланысты , кез-келген шін, мынадай Т бліну табылады да, . Т бліну тіктртбрыштарынан трады. деп аламыз. Онда D жиыныны блінуін аламыз. жиындаы функциясыны тербелісі -даы оны тербеліснен аспайды, сондытан аламыз, яни интегралдану киртерийіне байланысты жалпыланан I интегралы табылады. Осыан сас, тесіздігін алуа болады, сондытан . Дарбуды тменгі осындысы шін сас тесіздіктерден аламыз. Осы тесіздіктерден, I=J шыады. ажеттілігі длелденді.

2. Шектелген лшемді D жиыны бойынша жалпыланан I интегралы бар болсын. D-ны райтын, Р тіктртбрышы бойынша функциясыны I интегралыны бар болатынын длелдеу керек. Интегралдану критерийінен, мынадай табылады да, аламыз.

рбір r=1,.. t шін, жиыны лшемді, сондытан . Олай болса, тіктртбрышынан рылан, мынадай арапайым F фигурасы табыладыда, кем дегенде бір , r=1,…t шекарасыны нктесін райтын, барлы осынды ауданы -нен аспайды, яни .

F шекараны тзу сызыты кесіндісін Р тіктртбрышыны абырасымен иылысанша созамыз. Осы тіктртбрышты Т блінуін аламыз. P/F- а жататын тіктртбрыштарды омега-осыдысына кірісі, -нан аспайды. F-те жататын сондай тіктртбрыштарды -а кірісі -нан аспайды. Олай болса,

.

Бдан тіктртбрыш бойынша функцияны интегралдану критерийіне байланысты, J интегралыны бар болатыны шыады. Осыан сас, Дарбуды жоары осындысы шін талылап, мына тесіздікті аламыз: Олай болса, Еркін трде о санын тадауымыза байланысты бдан -ді аламыз. Дарбуды тменгі осындысы шін баалаудан арама-арсы тесіздігін аламыз. Сонымен, I=J. Длелденді.