Исысызыты интегралды асиеттері

траты шама болсын.Онда Шынында да, кез келген T блінуі шін боландытан шама болса, онда Бдан болатыны шыады.

Теорема 27.( Риман интегралы арылы исысызыты интегралды мнін есептеу).

g(x,y) функциясы L-де зіліссіз болсын.Онда исысызыты интегралдар табылады жне сйкесінше

те.Длелденді.

Алдымен интегралын арастырамыз. интегралы шін интегралды осынды ,исысызыты интегралды интегралды осындысынан - ны орнына онда кейбір кезінде шамасыны труымен ерекшеленеді, яни

нктесінде алынан жне t айнымаланы сімшесіне жауап беретін исыты доа зындыыны дифференциалы.Ары арай,Стильтес интегралыны анытамасына жгінуге болады: мндаы жне сонымен бірге интегралдарды тедігін длелдеуді аятауа болар еді, біра біз осы фактыны тікелей длелдеуін береміз.[a,b] кесіндісіндегі туындысыны зіліссіздігіне байланысты онда оны біралыпты зіліссіздігін аламыз.Сонда кез келген нктелері шін аламыз,рі Бдан g(x,y) функциясы L компактысында зіліссіз боландытан,ол онда шектелген,яни мынадай табылады да ,кез келген шін болады.

интегралды осындысын трлендіріеміз .Мынаны аламыз:

Мндаы .

кезде боландытан,онда бл жне бірмезетте жинаталатынын жне бір жне шегі болатынын білдіреді.Длелденді.

Теорема 27. исысызыты интегралдарды мнін есептеуді мбебап дісін береді.Осы теореманы салдарынан исысызыты интегралдарды Риман интеграла жай кшуінен алынады.

Салдар 1.Келесі тедік дрыс:

мндаы L исыыны (x,y) нктесіндегі жанама векторы ; жне - Ox жне Oy координат остері бойынша баытталан ,бірлік орттар.

Салдар 2.Егер кез келген нктесі шін тесіздігі дрыс болса,онда аламыз.

Салдар 3. тесіздігі орындалады.

Салдар 4.Егер g функциясы L исыында зіліссіз болса,онда мынадай нктесі табылады да, болады, мндаы - L исыыны зындыы.Бірінші жне екінше текті интегралдарды мндері параметрлеуді тадаудан туелді емес , йткені одан оларды анытауды интегралды осындысынан туелді емес.Дербес жадайда , интегралы А жне B нктесіні айсысы басы,ал айсысы L исыыны соы екендігіне туелді емес (бл жадайда параметрлеуді ,мысалы , атысымен анытауа болады),Сонымен бірге , тедігіні орны бар ,яни интегралды мні L исыын айналып ту бет баытын тадаудан туелді.

L исыыны екі параметрлеуін арастырамыз:

жне – бл [а , b] кесіндісіні [а , b] кесіндісінде тегіс бейнелеуі болсын.

Онда , аламыз. туындысыны [a,b] кесіндісіні барлы жерінде бір жне тек сол ана табаа ие болатынын , атап тейік . арсы жадайда , Вейерштрасс теоремасы бойынша мынадай нктесі табылады да , болады . Біра , онда жне L исыыны ерекше нктесі бар , яни ол ерекшеленген болады , ол негізінде ол блай емес .

бейнелеуі кезінде [a ,b] кесіндісіні шектік нктелері , кезінде [a ,b] кесіндісіні шектік нктелеріне кшетін боландытан , . Шынында да , Лагранж теоремасынан кейбір кезінде аламыз . Олай болса , , ал бл , болатынын білдіреді . Ары арай Теорема 27 жне Риман интегралындаы айнымалыны алмастыру туралы теореманы пайдаланамыз . Келесі тедіктер тізбесін аламыз :

жадайында аламыз . Алдыы пайымдауды айталап , бл жадайда бір параметрлеуден баса параметрлеуге кшу кезінде келесі тедікті дрыстыын аламыз: .

лшемділігі екіден жоары кеістіктегі исысызыты интеграл шін сас асиеттерді орны бар . Мысалы , шлшемді жадайда мндаы

Мысал . 1)Эллипс бойынша , функциясынан I-текті интегралдарды есептеу керек .

.

2) екінші текті интегралды (1.1) нктесіне жргізілген тзусызыты

кесінді бойымен жне осы нктелерді осатын параболасыны доасы бойынша есептеу керек . Бірінші жадайда (y=x) мынаны аламыз:

.Екінші жадайда

ос интегралдан айталанана ауысу

ос жне айталанан интегралдарды тедігі туралы теореманы райы.

Теорема 7. Функция тіктртбрыш , -де интегралданатын болсын. Сол сияты бір айнымалылы у-ті функциясыны ке-келген бекітілген мні шін, кесіндісінде у бойынша интегралданады жне . Сонда мына формуланы орны бар:

яни ос интеграл айталанан интеграла те. Длелдеуі.

Тіктртбрыш Р-ны кез-келген T=T_p блінуі шін.

тесіздігін аламыз, мндаы жне мен k=1, …,m;

l=1, …,n шамаларыны дадылы маынасы бар.

Бекітілген кезінде бл тедікті -ден -ге дейін у бойынша интегралдаймыз. Сонда

Бл тесіздікті l бойынша арстырамыз.

Соы тесіздікті -а кбейтіп жне оны к бойынша осып, мынаны аламыз:

Мндаы V(x)-I₁ кесіндісіні Т блінуіні белгісі. Одан баса

Функция Р-да интегралданатын боландыан, онда кез-келген саны шін, мынандай саны табылады да, шартымен рбір Т бліну шін , болады. Бліну бліну жбынан рылан: T(x)-Ox осі бойынша, T(y)- Оу осі бойынша. Бліну T(x) ретінде шартымен кез-келген блінуді алуа болады. Бліну T(x) –ты кез-келген белгісін аламыз. I₁ кесіндісіні V=V(x) саталан блінуін аламыз.

А жне сандарыны екеуі де зындыы -а те бір кесіндіде жатады жне . Бл тесіздік шартымен кез-келген саталан бліну шін дрыс. Олай болса, мына тедікті орны бар:

Длелденді.

Кез-келген лшенген D жиыны бойынша интегралдау жадайы арастырыланнан айырмашылыы аз. Тіктртбрыш Р D-ны амтитын болсын. Сонда анытама бойынша

болады, мндаы функциясы D жиынында g функциясымен сйкес жне D-ны сыртында , шін у нктелеріні жиынын E(x) арылы белгілейміз. E(x) жиыны кесінділеріні шектеулі санынан трады. Сонда егер , мндаы

Формуласыны орны бар жне ол теорема 7-ні тжырымын жалпылайды.

ос интегралды негізгі асиеттері

-Жордан бойынша лшенетін жиын жне , , функциялары арстырылатын жиындаы Риман бойынша интегралданады. Онда келесі асиеттер орынды болады.

1) Мына тедіктер дрыс:

a)

б) , (сызыты асиеті).

2) g₁ жне g₂ функциялары D-да интегралданатын болсын, онда g₁g₂ D-да интегралданады.

3) D-да тесіздіктері дрыс болсын. Бл жадайда:

a) (монотонды асиеті)

б) D-да сондай-а интегралданатын болсын. Онда

в) , болсын. Онда мынадай m<c<M, c саны табылып,

(орта туралы теорема)

4) .

Бл тжырым Жордан лшеміні жне жалпыланан ос интеграл анытамалаыны эквиваленттілігінен шыады.

5) Егер болса, онда D- да шектелген кез-келген функциясы шін

Длелденуі: Функция D жиынында шектелген боландытан, онда мынадай M>0 саны табылады да, барлы нктелері шін тесіздігі орындалаы. 3), 1) жне 4) асиеттерден мынаны аламыз:

. Длелденді.

6) Облыстар D₁ жне D₂-ні орта ішкі нктелері жо болсын. Онда (аддитивтілік асиеті)

Длелденуі: Стандартты тіктртбрыш D₁ жне D₂ амтитын болсын. Онда анытама бойынша

Мндаы:

Бдан жне интегралды сызыты асиетінен мынаны аламыз:

Длелденді.

7) Егер жне функцияларыны мндері D₁ жиынында ана айырмашылыы болса, рі онда

Длелденуі.Шындыында да,

Лебег критерийі

Теорема 21.(Лебег критерийі). Шектелген функциясы Р тіктртбрышында Риман бойынша интегралданады, сонда тек сонда ана, егер оны зіліс нктелеріні D жиыныны Лебегтік нлдік млшері бар болса.

Длелдеуі: ажеттілігі. Теорема 20 бойынша D(1/n) жиыныны кез-келген натурал n саны шін ,лебегтік нлдік млшері бар болады. Бдан Лебегтік млшері нлге те дегенді аламыз.

ажеттілігі:Кез-келген шін болады. Сондытан, егер млшер болса, онда . Теорема 20 дан функцияны тіктртбрышында интегралданатыны шыады. Длелденді.

Теорема 22. Функция тіктртбрышта интегралданатын болсын. жне функциясы кесіндісінде зіліссіз болсы. Онда функциясыны зіліссіздік нктсі болады. Олай болса, g функциясыны зіліс нктесі зіліс нктесі болуы ммкін. Сондытан зіліс нктесіні жиыны нлдік млшеден жиынны ішкіжиыны ретінде Лебегті нлдік млшері болады.(Лебег критерийі бойынша зіліс нкте жиыныны млшері нлге те). Длелденді.

Потенциалды жне соленоидалды векторлы

Анытама 21. Егер мынадай скалярлы функциясы табылады, болса, онда векторлы рісі облысында потенциалды, ал функциясыны зі онда векторлы рісіні потенциалы деп аталады. Егер шамасын, нктесінде сынамалы нктелік бірлік массасына сер ететін кш ретінде арастырса, онда потенциалы осы нктелік массаны шексіздіктен нктесіне орын ауыстыруы бойынша жмысты маызы бар болады. Шынында да, исыы бастапы нктесімен жне айнымалы нктесімен берілген болсын. арылы осы исыты доасыны зындыын, ал арылы оан нктесінде жргізілген бірлік жанама векторды белгілейміз. Сонда кшіні сынамалы массасыны орын ауыстыруы бойынша .
Анытама 22. Тйы контуры бойынша векторлы рісіні циркуляциясы деп шамасын айтамыз. Алдыы рнектен контуры бойынша кшіні жмысы шін мынаны аламыз, яни кез келген тйы тзетілген контур бойынша потенциалды рісті циркуляциясы нлге те.
Теорема 12. Дес облысында тегіс векторлы ріс потенциалды болуы шін, мына эквиваленттік шарттарды біреуіні орындалуы ажетті жне жеткілікті:
1) кез келген блікті-тегіс тйы исыы шін ;
2) .
бейнелеуі шін, анытамаа байланысты мына тедікті орны бар:
.
Анытама 23. Егер мынадай векторлы рісі табылады, болса, онда векторлы рісі соленоидалды (немесе трубалы), ал векторлы рісі рісіні векторлы потенциалы деп аталады.
Теорема 13. -дес компакт болсын. Векторлы рісі соленоидалды болуы шін -ны барлы нктелері шін, тедігіні орындалуы ажетті жне жеткілікті. Длелдеуі.
ажеттілігі. рісі соленоидалды, олай болса . Кез келген векторлы рісі шін тедігі дрыс боландытан, облысында аламыз. ажеттілігі длелденді.
Жеткіліктілігі. Енді облысында болсын. Мынадай векторлы рісі табылады, болатынын длелдейік. векторлы рісіне сйкестікке дифференциалды форманы оямыз
, . Сонда -даы шарты, -даы шартына эквивалентті. Ал тедігін анааттандыратын векторлы рісіні бар болу шарты, мынадай дифференциалды форма табылады, болатынын білдіреді. формассын мына трде арастырамыз:
.
екенін длелдейік. Тедіктен мынаны шыарамыз: . Форманы сызытылыына байланысты тек ана бір осылышты арастыру жеткілікті. Сонда . деп йарып, мынаны аламыз:
.
Одан рі, олданамыз, яни . Сонда,
.
Бдан . болсын. болатынын длелдеу жеткілікті. форманы анытамасынан мынаны аламыз:
Длелденді.
Мысал. -кейбір дес Жордан бойынша лшемді компакт болсын жне . Кез келген бекітілген нктесі шін жне кез келген нктесінде радиус-векторды анытаймыз:
, жне облысыны клеміні элементін мына трде аламыз: . облысында векторлы рісі берілген болсын. Онда векторлы рісіні кштік рісін келесі формула бойынша анытауа болады: . Кез келген нктесінде кштік аныталады. жадайында рісін беретін интеграл тегіс функцияны кдімгі Риманны ш еселі интегралын береді. Егер де болса, онда осы интеграл меншіксіз болады жне оны жинатылыы салыстыру ережесімен шыады (бл шін облысын центрі нктесінде орналасан жне радиусы шарлы абаттара , шартымен блуге болады. Кез келген нктесі шін тедігіні орны бар екенін, яни теорема 13-ке байланысты рісі облысында соленоидалды болатынын крсетеміз. Шынында да, егер - тікбрышты координат жйесінде координат стері бойынша баытталан орттар, болса, онда

Бдан

Олай болса,

яни рісі облысында соленоидалды болады. Енді кезінде рісіні векторлы потенциалы векторлы рісі болатынын яни рісі

трінде берілетінін крсетейік. Интеграл астындаы функцияны тегістігіне байланысты операторын олдану барысы тртібін жне ш еселі интегралды ауытыруа болады. Сонда, длелдеу жеткілікті. Шынында да мынаны аламыз:
мндаы функциялары жоарыда аныталан.

Риман критерийі

Стокс формуласы

Грин формуласы тек жазы жадайда ана емес, сондай а ш лшемді кеістік шін де дрыс.Оны Стокс формуласы деп айтады.

Т4. Д-бл бейнелеуі кезіндегі жазы дес Д жиыны бейнесі, рі оны координаттары екі рет зіліссіз дифференциалданатын функция болатын ,

-тегі тегіс згешеленбеген кеістік болсын.

исыы жиыныны бліктік –тегіс шекаралары болатын Д бетіні –тегіс шекарасы болсын. шекараларын бадарлау параметрлеуге жауапты. Сондай-а P,Q,R-D-даы тегіс функциялар.

Сонда мына формула дрыс:

Беттік интегралды сызытылыына байланысты интегралы жадайын арастыру жеткілікті, яни формуласын длелдейік.

- Д бетін параметрлеуі болсын. рі . Бдан баса, облысыны шекарасында бліктік-тегіс параметрлеуі , берілген исыындаы параметрлеуін анытайды. исысызыты интегралды рнегі туралы теоремаа байланысты аныталан интеграл арылы мынаны аламыз: . Сол теорема бойынша соы интеграл мынаан те: Грин формуласын К интеграла олданамыз. Осы шін бірінші дифференциалды инварианттылы формаларын жне функциясыны екінші дербес туындысын олданамыз. Мынаны аламыз:

Олай болса ,

Мнда жазы облысыны жоары жаы бойынша , екінші текті беттік интеграл ретінде арасытырылады. Біра параметрлеу кезінде S жне екі интеграл да бір жне сол рнекті береді. Осыан кз жеткізу шін, жне рнегіндегі жашаны ашу жеткілікті, тек мнда деп есептейміз. Тпкілікті мынаны аламыз, яни S жне бір жне сол ос интеграла келтіріледі. мндаы ,

Сонымен K=S тедігі длелденді. Длелденді.

Тек интегралдау шектеріне ана туелді исысызыты интегралдар

Тіктртбрышта шектелген функцияны Риман бойынша интегралдануы

Теорема 1. Шектелген функциясы -де интегралданан болуы шін, мына эквивалентті шарттарды біреуіні орындалуы ажетті жне жеткілікті:

1)

2)

3)

Длелдеуі: Алдымен функцияны интегралдану эквиваленттік шартыны 1) шартын длелдейік.

ажеттілігі болсын. Бл кез келген шін, мынадай табылып, кез келген лестірілген блінуі шін шартымен орындалады, яни (*)

Еркін лестірілген блінуді шартымен арастырамыз. Ол шін мынаны аламыз: Онда (*) тесіздігінен шыады. Олай болса жне мндері зындыы бір кесіндісінде жатады, яни мына тесіздік орындалады: .

Егер деп алса, онда мынаны аламыз: кез келген шін мынадай саны табылып, рбір бліну кезінде шартымен орындалады, яни атынасы орынды. ажеттілігі длелденді.

Жеткіліктілігі. шегініні шартынан шегіні шыатынын длелдеу керек.

Алдымен, екеніне кз жеткізейік. Лемма 6-дан кез келген блінуі шін, аламыз. Олай болса, кезінде . траты сан боландытан, жне . кезінде длелдеу алды. Еркін трде о санын алайы. шегіні бар болу шартынан мынадай санын табуа болады, шартымен барлы бліну шін тесіздігі орындалады. Біра, онда осы блінуді кез келген белгісі шін мынаны аламыз:

, яни зындыы -ден аспайтын, екі жне нктелері кесіндісінде жатады. Бл осы нктелеріні арасындаы ашытыта -ден аспайды деген сз, сондытан , кез келген лестірілген бліну шін болады. Олай болса, длелденді.

Сонымен, Теорема 1-ді 1) шарты Риман бойынша функцияны интегралдану шартымен эквивалентті. Енді 1,2 жне 3 шарттарды эквиваленттілігін длелдейік. Ол шін мына йарымдар тізбелеріні дрыстыына кз жеткізейік:

а) Егер болса, онда екенін длелдеу керек. Біра бл 1) шартты жеткіліктілігін длелдеу кезінде таайындалан.

б) Алдымен, болатынын длелдейік. саны -ны тменгі жаы ендеше Лемма 6-дан аламыз. жиыныны наты тмен жаы екенін длелдейік. Ол шін еркін санын аламыз. Сонда Дарбу осындысыны анытамасынан мынадай жне блінулері табылып, ; аламыз. блінуін аламыз. Сонда, ; Бдан шыады, яни . Олай болса, длелденгеннен жне 2) шарттан аламыз. Сонымен, б) йарымы длелденді.

в) Егер болса, онда болатынын длелдеу керек. Кез келген шін , мынадай бліну табылып, . жне стері бойынша блінулеріні жбы блінуге сйкес блінулеріні нктелер санын арылы белгілейміз. Сонан, -да шектелген боландытан мынадай табылып, барлы шін, . Тіктртбрыш -ны е лкен абырасыны зындыын арылы белгілейміз. Енді -ді оямыз. шартымен кез келген блінуін аламыз. Сонда блінуі шін, болады, йткені блінуіні саталуы , яни шамасын жоарыдан баалауа кшеміз. мндаы , йткені . Сонымен бірге , мндаы

символы осынды жбы бойынша жргізілетінін білдіреді. бліну (немесе ) блінуді тіктртбрышы индекстерімен кішірек тіктртбрыштара жіктеледі. Басаша айтанда, мынадай жбыны немесе кесіндісіні ішінде кем дегенде бір немесе блінуіні нктесі жатады.

шамасын жоарыдан баалау жеткілікті. символы осынды жбы бойынша жргізілуін білдіреді жне кесіндісіні ішінде кем дегенде бір блінуді нктесі табылатынын, ал айнымалысы блінумен аныталатын барлы ммкін мндерді абылдайды. Дл осылай символы аныталады. Баалау кезінде келесі тесіздіктерді пайдаланамыз:

Онда,

.

Олай болса в) йарымы д&