Жиынтыты тізбектер жне оларды негізгі асиеттері

 

Монотонды тізбектер саны. е- саны.

e саны. функциясыны шегі

Жалпы мшесі трінде берілген сан тізбегіні шегін e саны деп атайды, яни . e-саны иррационал сан жне оны жуы мнімынадай e =2.71828128.... .

Теорема. . (**)

(**)-формуласын 2-ші тамаша шек деп атайды.

Егерде (**) формулада десек, онда х®¥ Þ a®0 (a¹0) болады да, ол формуланы былай жазуа болады: . e-cанын пайдаланып шыарылатын кейбір шектерді келтірейік:

1) .

2) e .

3) .

3') .

4)

5)

6)

 

Егерде шегін жне болан жадайда есептеп шыару керек болса, онда тріндегі аныталмаанды алар едік.

Бл секілді аныталмаандытарды ашу шін, берілген функцияны негізі мен дреже крсеткішін мына формуланы олдану ммкін болатындай етіп трлендіру керек .

Мысалы.

.

Осыдан, , жадайда, мына формула табылады (бл жерде зіліссіз функциялардыкомпозициясыны зіліссіздігіпайдаланылды).

Мысал келтірейік,

.

Ескерту. Егер логарифмдерді негізін e деп алса, мндай логарифмдер натуралдылогарифмдер, не неперлік логарифмдер делінеді. Непер (1550-1617)- логарифм кестелерін алашы жасаушыларды бірі.

Егер х=ey болса, y-ті х саныны натуралды логарифмі дейді, y=lnx деп жазады (y=logex деуді орнына).

Бір санны онды логарифмі мен натуралды логарифмдеріні байланысын былай табады.

Егер y=lgx, не х=10y болса, оны е негізінде логарифмдесек lnx=y×ln10, .

Егер десек, lgx=М×lnx болады. М-ауысу модулі деп аталады.

Осылайша, егер санны натуралды логарифмі белгілі болса, онда оны онды логарифмін ауысу модуліне кбейту арылы табады.

 

 


Функцияны шегі.

Анытама. функциясы нктесіні бір тірегіндегі нктелерде аныталсын делік. Егер рбір e>0 шін dо саны табылып, x -ті тесіздігін анааттандыратын барлы мндерішін, мына тесіздік орындалса, шамасы -ті -а мтыландаы функциясыны ( нктесіндегі ) шегі деп аталады.

Осы анытамадаы шамасыны функцияны аныталу облысына кіруішарт емес, біра -а мейлінше жаын нктелердіфункцияны аныталу облысына кіруішарт.

Егер шамасы -а мтыланда, функциясыны мні -а мтылса, оны былайша жазатын боламыз

.

Анытамадаы жне шамалары сан болуы да, не ±¥ болуы да ммкін.

Егер -ны шамасы символдарыны бірі болса, - шексіз лкен деп аталады, мны былай жазамыз

.

Егер рбір e>0 шін саны табылып, лкен боланда тесіздігі орындалса, деп жазамыз.

Егер -ны шамасы символдарыны бірі болса, деп жазамыз.

Ендіфункцияны шегіні геометриялы маынасын анытайы. Айталы делік. Блай деу, берілген e>0 шін d>0 саны табылып, тесіздіктерін анааттандыратын барлы шін тесіздігі орындалады деген сз.

Басаша айтанда: аргумент x-ті тесіздіктерін анааттандыратын барлы мндеріне сйкес келетін ¦(x) функциясыны барлы мндері тесіздігін анааттандыруы тиіс. b-саны функциясыны х шамасы -а мтыландаы шегі дегенді геометрияда былай тсіндіруге болады. тзулер шектеген алап андай болса да, нктесіні тірегіне маайын салуа болады (яни d>0 саны табылады). Олай болса, абсциссалары тесіздіктерінанааттандыратын исыыны барлы нктелері

, тзулері шектеде жатады (тек абсциссасы -а те нкте ана алапа енбей алуы ммкін). Функция шегіні анытамасындаы d>0 саны e санына туелді, жалпы айтанда e згерсе d да згереді . Бірнеше мысалдар арастырайы.

1) болатынын крсету керек.

Алдын ала e>0 саны берілсін. Оан сйкес -ті

(*)

тесіздігін анааттандыратын барлы мндері шін

(**)

тесіздігі, яни тесіздігі орындалатын d>0 санын табайы. Ал (*)-дан тесіздігі шыады. Демек,

. (***)

(**) мен (***)-дан мына орытындыа келеміз: егер d санын d(5+d)=e тендігін анааттандыратын етіп алса, (*) тесіздігіорындалысымен (***) да орындалады.

Сонымен, екендігі длелденеді.

2) екендігін длелдеу керек.

Алдын ала e>0 cаны берілген делік. Сонда аргумент тесіздігін анааттандырысымен тесіздігіорындалатындай N санын іздеуіміз керек.

Ал, . Cондытан боланда тесіздігі орындалады. Бдан . Демек, егер деп алса, боланда тесіздігіорындалатыны, яни болатыны айын.

Ескерту. Егер функциясы шамасына мтыланда, x-ті -а мтылуы тек -дан кіші мндер абылдау арылы ана болса, былай жазып , ді функцияны нктесіндегі сол жаты шегі дейді.

Егер х тек -дан лкен мндер абылдайтын болса, былай жазып , -ні функцияны нктесіндегі о жаты шегі дейді.

Ескерту. Егер аргумент х-ті берілген аныталу облысындаы барлы мндері шін тесіздігіорындалатындай М саны табылса, функциясы арастырылып отыран облыста шектелген деп аталады. Егер ондай М саны табылмаса функция берілген облыста шектелмеген делінеді.

Функцияны шегі

Анытама. функциясы нктесіні бір тірегіндегі нктелерде аныталсын делік. Егер рбір e>0 шін d о саны табылып, x -ті тесіздігін анааттандыратын барлы мндері шін, мына тесіздік орындалса, шамасы -ті -а мтыландаы функциясыны ( нктесіндегі ) шегі деп аталады.

Осы анытамадаы шамасыны функцияны аныталу облысына кіруі шарт емес, біра -а мейлінше жаын нктелердіфункцияны аныталу облысына кіруі шарт.

Егер шамасы -а мтыланда, функциясыны мні -а мтылса, оны былайша жазатын боламыз

.

Анытамадаы жне шамалары сан болуы да, не ±¥ болуы да ммкін.

Егер -ны шамасы символдарыны бірі болса, - шексіз лкен деп аталады, мны былай жазамыз

.

Егер рбір e>0 шін саны табылып, лкен боланда тесіздігі орындалса, деп жазамыз.

Егер -ны шамасы символдарыны бірі болса, деп жазамыз.

Ендіфункцияны шегіні геометриялы маынасын анытайы. Айталы делік. Блай деу, берілген e>0 шін d>0 саны табылып, тесіздіктерін анааттандыратын барлы шін тесіздігі орындалады деген сз.

Басаша айтанда: аргумент x-ті тесіздіктерін анааттандыратын барлы мндеріне сйкес келетін ¦(x) функциясыны барлы мндері тесіздігін анааттандыруы тиіс. b-саны функциясыны х шамасы -а мтыландаы шегі дегенді геометрияда былай тсіндіруге болады. тзулер шектеген алап андай болса да, нктесіні тірегіне маайын салуа болады (яни d>0 саны табылады). Олай болса, абсциссалары тесіздіктерін анааттандыратын исыыны барлынктелері , тзулері шектеген алапты ішінде жатады (тек абсциссасы -а те нкте ана алапа енбей алуы ммкін). Функция шегіні анытамасындаы d>0 саны e санына туелді, жалпы айтанда e згерсе d да згереді . Бірнеше мысалдар арастырайы.

1) болатынын крсету керек.

Алдын ала e>0 саны берілсін. Оан сйкес -ті

(*)

тесіздігін анааттандыратын барлы мндері шін

(**)

тесіздігі, яни тесіздігі орындалатын d>0 санын табайы. Ал (*)-дан тесіздігі шыады. Демек,

. (***)

(**) мен (***)-дан мына орытындыа келеміз: егер d санын d(5+d)=e тендігін анааттандыратын етіп алса, (*) тесіздігіорындалысымен (***) да орындалады.

Сонымен, екендігі длелденеді.

2) екендігін длелдеу керек.

Алдын ала e>0 cаны берілген делік. Сонда аргумент тесіздігін анааттандырысымен тесіздігіорындалатындай N санын іздеуіміз керек.

Ал, . Cондытан боланда тесіздігі орындалады. Бдан . Демек, егер деп алса, боланда тесіздігі орындалатыны, яни болатыны айын.

Ескерту. Егер функциясы шамасына мтыланда, x-ті -а мтылуы тек -дан кіші мндер абылдау арылы ана болса, былай жазып , ді функцияны нктесіндегі сол жаты шегі дейді.

Егер х тек -дан лкен мндер абылдайтын болса, былай жазып , -ні функцияны нктесіндегі о жаты шегі дейді.

Ескерту. Егер аргумент х-ті берілген аныталу облысындаы барлы мндері шін тесіздігіорындалатындай М саны табылса, функциясы арастырылып отыран облыста шектелген деп аталады. Егер ондай М саны табылмаса функция берілген облыста шектелмеген делінеді.

Шексіз аз шама жне оны асиеттері

Анытама. Егер не болса, функциясы не x®¥ боланда шексіз аз шама делінеді.

Шекті анытамасына сйеніп, жоарыдаы анытаманы былайша тжырымдауа болады: алдынала берілген кез-келген жеткілікті аз e>0 саны шін тесіздігі орындалатынx -ты мндері шін тесіздігі орындалатындай d саны табылса, a(x) шексіз аз шама делінеді (x® ).

Мысалы.

1) функция a(x)=(x-2)2, x шамасы 2-ге мтыланда шексіз аз шама, йткені .

2) функция a(x)= , х®¥ боланда шексіз аз шама, йткені .

Теорема. Егер функциясы b санымен шексіз аз шама a-ні осындысына те болса, яни y=b+a болса, lіm y=b (x®a не х®¥) болады. Керісінше, егер болса, деп жазуа болады. Мндаы a шексіз аз шама.

Теорема. Егер шамасы -а мтыланда a(x) нольге мтылса, y= шексіз лкен шамаа мтылады.

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) шексіз аз шамаларды алгебралы осындысы шексіз аз шама болады.

Теорема. Шексіз аз шама a(x)-ты шектелген g(x) функциясына кбейтіндісі (x® , x®¥) шексіз аз шама.

Салдар. Егер lіm a(x)=0, lіm b(x)=0 болса, lіmab=0.

Салдар. Егер lіm a(x)=0, c=const болса, lіm ca=0.

Теорема. Егер lіma(x)=0, lіmb(x)¹0 болса a(x)·b-1(x)-шексіз аз шама болады.

 

Шектер туралы негізгі теоремалар

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) функцияларды осындысыны шегі сол функцияларды шектеріні осындысына те

lіm(u1+u2+. . .+u k) = lіm u1+lіm u2+. . .+lіm u k .

Теорема. Бірнеше (саны шектеулі) айнымалы шамалардыкбейтіндісіні шегі сол шамаларды шектерінікбейтіндісіне те:

lіm(u1u2. . .u k)=lіm u1lіm u2. . . lіm u k .

 

Теорема. .

Теорема. Егер u(x), жне v(x) функцияларыны сйкес мндері мына тесіздіктерін анааттандырса жне u(x) пен v(x) функциялары не -да бір b санына мтылса, онда -те сол шекке мтылады.

Теорема. Егер шамасы -а (не ¥-ке) мтыланда теріс емес функциясы шегіне мтылса, онда -нольден кіші болмайды.

Теорема. Егер демелі айнымалы шама шектелген шама, яни болса, онда бл айнымалы шаманы шегі бар, яни болады жне ол .

Кемімелі айнымалы шама шін де осыан сас теорема орындалады.

функциясыны шегі

функциясы да тріндегі аныталмаандыты береді.

Теорема. . (*)

(*) формуласын 1-ші тамаша шек деп атайды.

 

 

Есеп шыаранда, бізге ажет болатын маызы зор бірнеше шектерді (бірінші тамаша шекті кмегімен длелденетін) келтірейік:

1) .

 

2) .

3) .