Пайданылан дебиеттер

1.біласымова А. жне т.б. Математиканы оытуды териясы мен дістемесі. А, Білім. 1998 ж

2. Бидосов . Математиканы оыту методикасы. (Жалпы методика). А, Мектеп. 1989ж

3. Рахымбек Д. жне т.б. Орта мектепте математиканы оыту дістемесіне арналан оу ралы. Ш, 2003

 

24-лекция.

Математикалы есептер

Жоспары:

1. Есепті математиканы оытудаы орны жне міндеттері

2. Математикалы есеп жне оны трлері;

3. Есепті шыара ойылатын талаптар

 

1. Есепті математиканы оытудаы орны жне міндеттері

Математикада ылым ретінде есептен пайда болан жне есеп арылы дамиды. Тариха жгінсек, е кне математикалы ескерткіштер Ринд жне Мскеу папирустарында есептер арастырылып, оларды шыару жолдары берілген. Есеп шыару мтаждыын ммкіндіктер теориясы, ойындар теориясы, информатика теориясы т.б. дамыды.

Мектеп математикасын есепсіз ру ммкін емес.

Ресейдегі алашы “Арифметика” авторы Л.Ф.Магницкий арифметикалы трт амалды осуа арналан есептер жйесін растыран. “Масатты трде рылан есептер дістемесін” сынушы ататы педагог-математик С.И.Шохор-Троцкий йді “барлы трт брышына есеп ойылуы керек” деген. Осы кезедегі крнекті діскер-алым П.М.Эрдинев: “Барлы дістеме есеп шыару дістемесіне шоырлануы керек”, – дейді.

Математикалы есеп оушыларды ымдарды, теорияны жне математика дістерін мегеруді тиімді де, айырбасталмайтын ралы болып табылады. Оушыларды ойлау абілеттерін дамытуда, оларды трбиелеуде, біліктіліктері мен дадыларыны алыптасуында, математиканы практикамен байланысын крсетуде есепті алатын орны те зор.

Математиканы оытудаы басты масаттара жетуге есеп – басты ызметші болып табылады. Сондытан математика сабатарыны жарты уаыты есеп шыаруа арналады. рбір мектеп бітіруші оушы орта есеппен 15000-дай есеп шыарады екен. Ал соларды кпшілігі жоары жне арнаулы орта оу орындарына тусу емтихандарында математикадан берілген тапсырмаларды шыара алмай жатады. Бл лі де мектеп математикасын оытуда есеп шыаруа кіл аз блініп отырандыыны длелі.

Есепті негізгі міндеттері: оыту, трбиелеу, дамыту жне баылау болып табылады. Барлы есептер оыту міндетін орындайды. Басаша айтанда, кез келген есепті шыаранда оушы математикалы білім алады, шыару біліктілігі алыптасады, дадыа ие болады, яни математикалы білім дегейі жоарылайды. Кбінесе р есеп зіні мазмны арылы трбиелік міндетін атарады. Мысалы, оам дамуыны р трлі кезедеріне байланысты, есеп мазмны да згеріп отырады. Бір кезедерде есептер жинаы кпестерді сауда-саттыын, арзана сатып алу, керісінше ымбата сату, марлы ойындарында ту т.с.с. мазмнды болды. азіргі оулытарда есеп мазмны оушыларды жоары моральды асиеттерін алыптастыруа, ылыми кзарастарын дамытуа, интернационалды жне патриотты рухта трбиелеуге негізделген. Оушыларды есеп мазмны арылы ана трбиелеп оймайды, оларды есеп шыаруа йретуде трбиелеу болып саналады. Есеп шыару оушыларды сйлеу мдениетіне, мінез-лыны алыптасуына, табандылыа, шыншылдыа, бастаан істі аяына дейін жеткізу, иындыты жее білу сияты асиеттеріні трбиеленуіне ыпалын тигізетіні аян.

Есеп оушыларды логикалы ойлау, кеістікті елестету, жеке бас абілеттерін дамытуа бірден-бір себепші болатын басты рал болып табылады. Оушыларды білімін, біліктілігін жне дадысын анытауды баылау міндеттері де кбінесе есепке жктеледі.

2.Математикалы есеп жне оны трлері

Есеп шыару – ерекше жмыс, длірек айтса ой жмысы. Ал кез келген жмысты дрыс атару шін, оны неден тратыны жне оны орындау шін андай рал, діс керек екендігін алдын ала анытап алу ажет. Кез келген есеп шарттардан жне талаптардан ралады.

Есеп: Тікбрышты шбрышты катеті 5м-ге те, ал оны гипотенузадаы проекциясы 3м. Гипотенузаны жне екінші катетті тап. Есеп шарттарын былай бліп крсетуге болады.

а) Тікбрышты шбрыш; ) бір катеті 5м-ге те; б) белгілі катетті гипотенузадаы проекциясы 3м-ге те. Есеп талабы: а) гипотенузасын жне; ) екінші катетті табу керек. Есеп шартында ымдар, атыстар, теориялар амтылады. Есеп талабы “длелде”, “есепте”, “сал”, “зертте”, “анша болады” т.с.с. сздермен айтылады. Есеп шыару дегеніміз не? Мысалдар арастырайы:

 

а) (1)

 

кпмшелігін кбейткіштерге жікте. Шыару:

1) осуды ауыстырымдылы жне терімділік задары негізінде берілген (1) кпмшелігін былай жазуа болады:

 

(2)

 

2) Орта кбейткішті жаша алдына шыару ережесі бойынша (2)-ні басаша жазса:

(3)

3) Осы ережені таы бір олданса, (3)-ден

(4)

4) ысаша кбейту формуласын пайдаланса

Сонымен

Есеп талабына жауап айтарылады, есеп шыарылады.

) шбрыш абыралары 13, 14, 15 болса, оан сырттай сызылан шеберді радиусын тап.

Шыару: 1) Герон формуласы бойынша

2) формуласы бойынша

шыады.

3) Сан мндерін орнына ойса

Крсетілген есептерді шыару кезінде, брыннан белгілі андай да болмасын задылытарды есеп шартына олдана отырып, есепті талабына жауап ізденіліп отыр. Яни, есеп шыару дегеніміз – математиканы жалпы задылытарын (анытамалар, аксиомалар, теоремалар, задар, формулалар), есеп шартына немесе оны салдарына белгілі бір ретпен олдана отырып, есеп талабына жауап беру болып табылады. Сонымен есеп шыару, оны шартына белгілі бір математикалы ережелерді сйкес трде олдана отырып, талабына арай жылжитын ой озалысы. Есеп арастырылатын объектілеріне байланысты – практикалы жне математикалы болып екіге блінеді. Яни есепте арастырылатын объектіні бірі наты шын зат болатын болса, ол практикалы есеп. Мысалы, Жер радиусы 6370 км, ал одан 4 км жоары биіктікте шып бара жатан тікшатан аншалыты алыс жер круге болады? Есепте арастырылатын объектілер таза математикалы болса, ол математикалы есеп. Мысалы, М нктесінен жргізілген июшы шеберді А жне В нктелерінде ияды, сол нктеден жргізілген жанама шеберді С нктесінде жанайды. болатындыын длелде.

Теоремаа байланысты стандартты жне стандартты емесесеп трлері белгілі. Дайын ережелерді кмегімен шыарылатын есеп стандартты есеп делінеді де, ал шыару жолдары дайын ережелер арылы табыла оймайтын есеп – стандартты емес есеп болады. Мысалы. 1. Егер болса, арифметикалы прогрессияны алашы алты мшесін жаз (стандартты есеп). 2. Арифметикалы прогрессияны тртінші мшесі 4-ке те. Прогрессия айырымыны андай мнінде оны алашы ш мшесіні ос-остан алан кбейтінділеріні осындысы е кіші мнге ие болады (стандартты емес)? Есеп талабына арай: а) есептеу, ) длелдеу, б) зерттеу, в) салу есептеріне блінеді. Есептеуге арналан есептерге: рнек мнін табу, функцияны мнін есептеу, кесіндіні зындыын, фигураны ауданын табу, брыш шамасын анытау т.с.с. жатады.

андай да болмасын йарымны аиаттылыына кз жеткізу немесе йарымны жаландыын тексеру не белгілі бір былысты дрыстыын тсіндіру – длелдеу есептері.

Теоремаларды барлыын да длелдеу есептеріне жатызуа болады.

“ саны жай сан ба, рама сан ба?”

“андай трапецияны диагоналы оны орта сызыын те ш блікке бледі”. “а жне b-ны андай мндерінде

тедіктері орынды” т.с.с. есептері зерттеуге арналан есептер. Зерттеу кптеген есептер шыару кезінде кездеседі: нктелерді геометриялы орны, тедеулер мен тесіздіктерді шешім сандарыны аншалыты болуы т.с.с.

Белгілі бір ралдар жрдемімен берілген шарттарды анааттандыратын фигуралар салу – салу есептерін райды. Есеп шыаруа кіріспес брын, оушыларды есеп трін анытап алуа йрету – басты талаптарды бірі болып табылады.

зіні ала ойан дидактикалы масаттарына арай есептерді ш трге блуге болады:

1)танымды есептер:блар арылы жаа білім алынады; 2) машытану есептері: блар арылы орныты білім дадылар алыптасады; 3) шыармашылы ойлауды ажет ететін дамыту есептері.Таным есептерін жаа материалдар туде, оытуды проблемалы жне эвристикалы дістерін олдануда шыару керек. Бл дидактика талаптарына сай келеді, сондытан математиканы оып-йрену барысында кеінен олданылады. Алайда мектеп математикасында е кп тараан есеп трлері жаттыу есептері болып табылады, олар математикалы білімдерді олдануда сапалы жне берік дадылар алыптастыра отырып, математикалы теорияларды саналы трде мегеруге ыпал етеді.

Жаттыу жне танымды есептерді шыарумен шектелу, оушыларды эвристикалы, шыармашылы ойлауын дамытуды толы амтамасыз ете алмайды. Сондытан бл масатты жзеге асыруа математикалы, логикалы, интуициялы, тапырлы т.б. абілеттер араласатын арнайы іріктелген есептер шыарып отыруды маызы аса зор.

Шешу кезінде андай ойлау тріні басым болуына байланысты есептерді алгоритмдік, жартылай алгоритмдік жне эвристикалы деп шартты трде шке блуге болады. Танымды есептер негізінен жартылай алгоритмдік, дамытушы-эвристикалы есептерге жатады. Формула немесе ереже бойынша шыарылатын есептер алгоритмдік жне жартылай алгоритмдік болып келеді.

3. Есеп шыаруа ойылатын негізгі талаптар

Есеп шыаруа тмендегідей талаптар ойылады:

а) атесіз шыару; ) негіздеу (длелдеу), б) толы шыару; в) ммкіндігінше тиімді жолмен шыару; г) есепті аттау (оформление).

а) “Есеп атесіз шыарылу керек”.

Бл негізгі талап. Оушылар есеп шыару кезінде алгоритмдік, логикалы, сызбалы, терминологиялы, шындыты брмалау сияты ателер жіберуі ммкін. Енді оушылар жиі жіберетін ателіктерді крсетелік.

– алгоритмдік ателіктер.

5=–5 екендігін длелдеу. Екі жаын квадраттаймыз, сонда 25=25

немесе

 

1=1 – логикалы ателік.

Бйір жатары квадраттар болатын алты брышты дрыс призманы ішінен тменгі табаныны абырасы мен жоары табаныны оан арсы жатан абырасы арылы жазыты жргізідер. Осы има тік тртбрыш ретінде салынса, ол сызбалы ате.

“Бйір жаыны апофемасы”, “шеберді ауданы” т.с.с. – терминологиялы ателіктер.

Есеп: “Моторлы айы зен аысымен 42 км жне аыса арсы 20 км жол жріп жне оан 5 са уаыт жмсады. Егер зен аысыны жылдамдыы 2 км/са болса, айыты з жылдамдыы андай?”.

Есеп тедеуін ру арылы шыарылды. Тедеу тбірлері 2/5 жне 12 есеп жауабы ретінде алынса, онда шындыты брмалау ателігі жіберілгені. Себебі, айы жылдамдыы зен жылдамдыынан арты болуы тиіс, яни 2/5 есеп шартын анааттандырмайды. Жауабы: 12 км/са.

) Есеп шыару кезеіні р сатысы міндетті трде негізделіп, длелденіп отыруы ажет. Яни рбір жаа ой орытындысы андай тжырымнан туындалады, не себепті олай деп пайымдауа хаымыз бар сратара мият жауап берілуі керек.

Мысал. ыры а-а те кубты тменгі табаныны іргелес абыраларыны ортасынан жне жоары табаныны олармен бір жаында жатпайтын екі іргелес абыраларыны орталары арылы жазыты жргізіліген. иманы ауданын тап.

Шешуі:

шешуі дрыс боланмен, имадаы алтыбрыш неге дрыс екендігін длелдеп крсету керектігі туындайды (15-сурет).

Немесе “дрыс шбрышты пирамиданы бйір ырлары табан жазытыымен зара те брышын жасайды. Егер пирамиданы бйір ыры b болса, онда оны биіктігі неге те болатынын тап”.

Осы пирамиданы тбесі табана алай проекцияланатынын длелдемей есепті рі арай шыару туралы сз болмаанда болар еді.

б) Тедеуді бір шешімі дрыс табылды делік, ал оны лі екі шешімі бар. Бірден тсінікті, есеп толы шыарылан жо, немесе кейде иррационал тедеулерді шешкенде бгде тбірлер пайда болуы ммкін. Егер табылан шешімдерді брін тедеу тбірі десек, есеп толы шыарылмааны. Зерттеулерге арналан есептерде (сіресе, геометриялы) ммкін болатын барлы жадайлар арастырыланда ана, есеп толы шыарылды деп айта аламыз.

в) Есеп ммкіндігінше тиімді, тымды жолмен шыарыланы жн. Мысал ретінде 11-сынып геометриясындаы (А.В.Погорелов) есепті арастырайы. “шбрышты пирамиданы бйір ырлары зара перпендикуляр, оларды райсысы b-а те. Пирамида клемін табыдар” (16-сурет).

Берілгені:

Табу керек:V_{пирамида} – ?

Шешуі:Пирамиданы аударып, табаны ретінде SBC шбрышын арастырса, есеп лдеайда оай шыарылады:

Мысал. тесіздігіні шешімін табу сынылса, детте

шыару былай жргізіледі:

одан рі интервалдар дісі олданылады. Есепті сызбалы тсілмен шыару, тиімді жолды бірі болар еді (17-сурет).

Жауабы: (-1;0) (1;+)

г) Есеп шыару кезедерін дрыс аттау да есепке жктелетін талаптарды бірі болып саналады. Есеп шыару кезедері ыса да нсалы, тсінікті, сызбалар атесіз, дл т.б. болуы ажет. Геометриялы есептер шыаруда есеп мазмнына сйкес аыла онымды сызба салынуы керек. Есеп шарттары, талабы айын крсетілуі тиіс. Шыару жолдары ыса трде, ажет символикаларды пайдаланып жазылуы керек. р жаа таырыпа есептер шыарыланда, ммкін болатын жазу лгісі беріліп, ілгеріде соны мият саталуын адаалаан жн. Логарифмдік тедеуді шыару кезедеріні жазу лгісін сыналы:

Тексеру (1)

(1)-ге ойса, 1) – шын

 

2) – жалан

Жауабы: х=-1

Сратар:

1. Есепті математиканы оытудаы орны жне міндеттері

2. Математикалы есеп жне оны трлері;

3. Есепті шыара ойылатын талаптар