Формула интегрирования по частям

Неопределенный интеграл

 

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x).

Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) – первообразная для f(x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).

Доказательство: (F + C) = F + C = f + 0 = f

По определению F+C – первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g(x) = 0.

Доказательство: Так как g(x) = C, справедливы равенства: g(x) = C = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g(x) = 0 при всех x(a;b), то g(x) = C на (a;b).

Доказательство: Пусть g(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1(a;b). Тогда для любой точки x(a;b) по формуле Лагранжа имеем g(x) – g(x1) = g()(x x1). Так как (x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g() = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C –число.

Доказательство: Возьмем производную от разности G F: (G F) = G – F = f f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C – число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b)называется неопределенным интегралом и обозначается f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F(x) = f(x) соответствует формула f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

 

Таблица 5.1.Неопределенные интегралы

1) dx = x + C 7) cosx dx = sinx + C
2) xdx=(1) 8)
3) 9)
4) exdx =ex+C 10)
5) axdx =axlogae+C (1) 11)
6) sinx dx=-cosx + C 12)

 

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

 

Таблица 5.2.

1) ( f(x) dx )=f(x); 4) d f(x)=f(x)+C ;
2) f (x) dx= f(x)+C ; 5) kf(x)dx=kf(x) dx;
3) d f(x) dx= f(x)dx; 6) (f(x)+g(x))dx= f(x) dx+g(x) dx ;
7. Если f(x) dx = F(x) + C, то f(ax+b) dx = (a 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

Замена переменной в неопределенном интеграле

 

Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула f((t))(t) dt = f(x) dx, где x = (t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.

Примеры. 1. I = cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.

.

. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.

 

. Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и

.

. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и

.

Формула интегрирования по частям

 

Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv) = uv + vu

Отсюда следует (uv)dx = (uv + vu )dx = uv dx + vu dx

Или uv dx = uv – uv dx .

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x)

Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры. 1. I = x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается: I = x sinx – sinx dx = x sinx + cosx + C. I = (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv.

Тогда du = (2x – 3) dx; . .

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; , и окончательно получаем:

 

;

 

В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

.

Представим дробь в виде суммы двух дробей: и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства получим систему уравнений

 

с решением . Отсюда следует: .

Полученный интеграл в обиходе обычно называют «высоким логарифмом». Метод, которым он был найден, называется методом «неопределенных коэффициентов». Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.