ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОКРАТНЫХ

НАБЛЮДЕНИЙ

При однократных измерениях оценку погрешности производят на основе класса точности используемых средств измерений.

Получаемый при этом предел допускаемой погрешности СИ неполно характеризует качество измерений, т. е. остается неизвестным закон распределения вероятностей погрешностей и не ясно, какая из составляющих систематическая с или случайная доминируют в сумме

 

= с + (1.1)

 

Для того, чтобы оценить случайную погрешность и определить более точно усредненный результат измерения проводят многократные наблюдения и статистическую обработку их.

Структура погрешности в каждой точке шкалы СИ полностью характеризуется плотностью распределения вероятностей. Определение оценки плотности распределения вероятностей (гистограммы) требует проведения нескольких сотен измерений.

В практике чаще всего имеют дело с нормальным распределением.

Результаты наблюдений, являющихся случайными величинами X, распределены по нормальному закону (закону Гаусса), если их плотность вероятностей имеет вид

(1.2)

где – дисперсия; – математическое ожидание.

Для решения многих задач не требуется знания функции и плотности распределения вероятностей, а вполне достаточными характеристиками случайных погрешностей служат их простейшие числовые характеристики: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Числовые вероятностные характеристики погрешностей, представляющие собой неслучайные величины, теоретически определяются при конечном числе опытов. Практически число опытов всегда ограничено, поэтому реально пользуются числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные характеристики и называют оценками характеристик. Определение оценок числовых характеристик может быть выполнено по значительно меньшему числу наблюдений N (порядка 10-30).

Пусть при измерении величины А N раз получен ряд значений х1, х2, х3, ... хn. Если число измерений N достаточно велико, то за истинное значение измеряемой величины принимают наиболее достоверное значение - среднее арифметическое (действительное)

(1.3)

 

Зная среднее арифметическое значение, можно определить отклонение результата единичного измерения от среднего значения

 

(1.4)

 

Это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонения результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) погрешности однократного измерения равно

 

(1.5)

 

В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)

 

(1.6)

 

где - оценка средней квадратической погрешности Х ряда из N измерений.

При оценке результатов измерений пользуются понятием предельно допустимой (максимальной) погрешности ряда измерений

 

Dмакс=3s (1.7)

 

Рассмотренные оценки результатов измерений, выражаемые одним числом, называют точечными оценками. Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное значение измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более, чем на . Это можно записать в виде

 

(1.8)

 

Вероятность называется доверительной вероятностью или коэффициентом надежности, а интервал значений от х - до х + — доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности

 

(1.9)

 

где ta (N) - табулированный коэффициент распределения Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности и числа измерений N

Результат измерения записывается в виде

 

А = ± ; (1.10)

 

Доверительный интервал при заданной вероятности имеет вид:

(1.11)

 

 


Приложение

Таблица 1

  Исходные данные к задаче 1    
Номер ва-рианта Номинальный диаметр d, м Дли-на соп-ряжения L, м L/d Угло-вая ско-рость вращения w, рад/с Нагруз-ка на опоре R, Н Марка масла Шероховатость  
Цапфа (вал), мкм Вкладыш (отверстие), мкм  
m50, нс/м2  
Rzd RzD  
0,048 0,062 1,3 Т22/0,019 1,6 3,2  
0,1 0,12 1,2 Т22/0,019 4,0 1,6  
0,08 0,12 1,5 Т46/0,04 2,5 1,6  
0,15 0,18 1,2 Т22/0,019 4,0 1,6  
0,15 0,18 1,2 И-30А/0,027 2,5 1,3  
0,12 0,12 Т46/0,04 4,0 1,6  
0,18 0,27 1,5 Т22/0,019 10,0 10,0  
0,16 0,19 1,2 И-50А/0,045 10,0 6,3  
0,09 0,1 1,1 Т57/0,05 3,2 2,5  
0,11 0,11 И-30А/0,027 6,3 3,2  
0,17 0,17 Т22/0,019 10,0 10,0  
0,01 0,015 1,5 Т22/0,019 0,4 0,5  
0,012 0,018 1,5 Т22/0,019 0,5 0,8  
0,016 0,024 1,5 Т22/0,019 0,8 0,3  
0,016 0,027 1,5 Т22/0,019 0,8 1,3  
0,02 0,03 1,5 Т22/0,019 0,8 1,3  
0,04 0,06 1,5 И-30А/0,027 1,6 3,2  
0,045 0,054 1,2 И-30А/0,027 3,2 6,3  
0,05 0,075 1,5 И-30А/0,027 3,2 6,3  
0,06 0,09 1,5 И-30А/0,027 3,2 6,3  
0,063 0,095 1,5 И-30А/0,027 3,2 6,3  
0,032 0,048 1,5 Т22/0,019 1,6 3,2  
0,04 0,06 1,5 И-30А/0,027 1,6 3,2  
0,05 0,065 1,3 И-30А/0,027 1,6 3,2  
0,048 0,062 1,3 И-30А/0,027 1,6 3,2  
0,05 0,07 1,5 И-30А/0,027 1,6 3,2  
0,042 0,063 1,5 Т22/0,019 1,6 3,2  
0,056 0,073 1,3 И-30А/0,027 1,6 3,2  
0,056 0,073 1,3 И-30А/0,027 1,6 3,2  
0,042 0,063 1,5 Т22/0,019 1,6 3,2  

 


Таблица 2 Исходные данные к задаче 2  
№ ва-ри-анта Номи-нальный диаметр сопряжения D, м Внут-ренний диаметр вала d1, м Наружный диаметр втулки D2, м Длина сопряжения l, м Крутящий момент, Мкр, нм Вал Отверстие
Материал Ed, Па sТd, Па md Rzd Материал ED, Па sТD Па mD RzD
0,090 0,06 0,15 0,06 Ст 45 2·1011 35,5·107 0,3 3,2 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 1,6
0,080 0,04 0,1 0,06 Ст 45 2·1011 35,5·107 0,3 Сч 28 1·1011 28·107 0,25 6,3
0,120 0,06 0,16 0,08 Ст 45 2·1011 35,5·107 0,3 Сч 12 1·1011 12·107 0,25
0,240 0,12 0,26 0,05 Ст 30 2·1011 29,4·107 0,3 Сч 28 1·1011 28·107 0,25
0,100 0,05 0,15 0,1 Ст 40 2·1011 30·107 0,3 6,3 Сч 28 1·1011 28·107 0,25 3,2
0,110 0,05 0,16 0,06 Ст 45 2·1011 35,5·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 3,2
0,200 0,1 0,25 0,05 Ст 30 2·1011 29,4·107 0,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25
0,150 0,075 0,2 0,05 Ст 30 2·1011 29,4·107 0,3 Сч 12 1·1011 12·107 0,25 6,3
0,060 0,03 0,12 0,05 Ст 45 2·1011 35,5·107 0,3 6,3 Сч 28 1·1011 28·107 0,25 3,2
0,160 0,08 0,21 0,07 Ст 45 2·1011 27,4·107 0,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25
0,180 0,01 0,40 0,015 Ст 25 2·1011 27,4·107 0,3 1,6 АЖ 9-4 0,9·1011 27,4·107 0,35 3,2
0,020 0,012 0,042 0,018 Ст 30 2·1011 31,4·107 0,3 1,6 АЖ 9-4 0,9·1011 27,4·107 0,35 3,2
0,024 0,016 0,046 0,024 Ст 35 2·1011 33,3·107 0,3 1,6 АЖ 9-4 0,9·1011 27,4·107 0,35 3,2
0,026 0,016 0,048 0,027 Ст 40 2·1011 35,3·107 0,3 3,2 АЖ 9-4 0,9·1011 27,4·107 0,35 6,3
0,030 0,02 0,052 0,03 Ст 45 2·1011 26·107 0,3 3,2 АЖ 9-4 0,9·1011 27,4·107 0,35 6,3
0,080 0,12 0,06 Ст 20 2·1011 26·107 0,3 2,5 Ст 20 2·1011 20·107 0,3 3,2
0,100 0,18 0,08 Ст 20 2·1011 29,4·107 0,3 3,2 Ст 20 2·1011 29,4·107 0,3 6,3
0,120 0,16 0,1 Ст 30 2·1011 31,4·107 0,3 3,2 Ст 30 2·1011 31,4·107 0,3 6,3
0,160 0,2 0,12 Ст 35 2·1011 33,3·107 0,3 3,2 Ст 35 2·1011 33,4·107 0,3 6,3
0,180 0,22 0,15 Ст 40 2·1011 18·107 0,3 6,3 Ст 40 2·1011 36,4·107 0,3
0,250 0,21 0,29 0,045 Ст 18 1·1011 36,3·107 0,25 6,3 Ст 45 2·1011 26,4·107 0,3 6,3
0,320 0,26 0,38 0,06 Ст 45 2·1011 36,3·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 6,3
0,360 0,3 0,42 0,07 Ст 45 2·1011 27,4·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 6,3
0,320 0,26 0,38 0,067 Ст 45 2·1011 36,3·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 6,3
0,350 0,28 0,41 0,075 Ст 45 2·1011 36,4·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 8·107 0,25 6,3
0,300 0,25 0,35 0,06 Ст 45 2·1011 35,4·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 6,3
0,360 0,3 0,42 0,055 Ст 45 2·1011 36,4·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 6,3
0,350 0,28 0,41 0,45 Ст 45 2·1011 36,5·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 6,3
0,280 0,22 0,33 0,082 Ст 45 2·1011 36,3·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 6,3
0,300 0,25 0,35 0,045 Ст 45 2·1011 36,2·107 0,3 6,3 Сч 18 1·1011 18·107 0,25 6,3

Исходные данные к задаче 3

Номер наблюдения Номер варианта
Показания измерительного средства, мкм
-0,15 +0,01 -0,12 +0,05 -0,20 +0,18 +0,32 -0.06 -0,15 +0,20 -0,25 -0,30 -0,20 -0,08 +0.12 +0,05 -0,03 +0,08 +0,18 +0,15 +0,05 +0,15 +0,05 -0,30 -0,03 -0,25 -0,18 +0,07 -0,08
-0,18 +0,15 -0,18 +0,25 -0,25 +0,01 +0,40 -0.18 -0,25 +0,25 -0,32 -0,25 -0,12 -0,02 +0.08 +0,18 -0,08 +0,05 +0,20 +0,09 +0,28 -0,45 -0,30 -0,30 -0,05 +0,05 +0,09 +0,18 -0,12
-0,12 +0,25 -0,08 +0,27 -0,15 -0,10 +0,18 -0.25 -0,32 +0,18 -0,45 -0,08 -0,15 +0,15 +0.20 +0,16 -0,05 -0,02 +0,22 +0,07 +0,20 -0,28 -0,08 -0,25 -0,18 -0,06 +0,06 +0,20 -0,10
-0,03 +0,18 +0,10 +0,12 -0,03 -0,25 +0,12 -0.05 -0,40 +0,03 -0,52 +0,05 -0,05 +0,18 +0.15 +0,25 -0,12 -0,06 +0,28 +0,10 +0,18 -0,35 -0,12 -0,27 -0,22 -0,12 +0,03 +0,20
+0,01 +0,07 +0,20 +0,03 +0,05 -0,18 +0,01 -0.08 -0,28 +0,08 -0,38 +0,01 -0,17 +0,25 +0.22 +0,30 -0,18 -0,01 +0,20 +0,05 +0,14 -0,32 -0,18 +0,15 -0,12 -0,16 +0,18 +0,25 -0,08
-0,05 -0,08 +0,25 -0,08 +0,15 -0,06 -0,15 +0.10 -0,35 -0,07 -0,36 -0,06 -0,20 +0,30 +0,25 +0,22 -0,15 +0,08 +0,25 +0,12 +0,20 -0,09 -0,15 +0,15 +0,1 +0,03 -0,02 +0,19 +0,06
+0,02 -0,15 +0,15 -0,02 +0,22 -0,16 -0,03 +0.18 -0,17 -0,22 -0,20 -0,22 -0,25 +0,22 +0,20 +0,28 -0,22 +0,12 +0,33 +0,08 -0,02 +0,07 +0,25 +0,18 +0,20 +0,12 +0,33 +0,12
+0,01 +0,01 -0,17 +0,01 -0,25 -0,20 +0.22 -0,05 -0,30 -0,11 -0,12 -0,05 +0,36 +0,18 +0,32 -0,20 +0,05 +0,38 +0,05 -0,03 +0,02 +0,28 +0,20 +0,06 +0,05 -0,04 +0,24 +0,18
-0,02 +0,08 +0,03 -0,20 +0,17 -0,30 -0,12 +0,32 +0,08 -0,12 -0,17 -0,25 +0,02 +0,20 +0,03 +0,25 -0,12 +0,01 +0,24 +0,02 +0,08 +0,12 +0,30 +0,25 +0,18 +0,10 -0,06 +0,20 +0,22
-0,08 +0,03 -0,10 -0,05 +0,02 -0,18 -0,02 +0,25 +0,018 -0,36 -0,08 -0,15 +0,05 +0,25 -0,05 +0,32 -0,02 -0,12 +0,20 -0,03 +0,15 +0,16 +0,20 +0,23 +0,25 -0,20 -0,07 +0,15 -0,20
-0,12 -0,10 -0,27 +0,12 -0,06 -0,35 +0,42 +0,27 -0,42 +0,03 -0,16 +0,06 +0,16 -0,18 +0,36 +0,10 -0,21 +0,16 -0,08 +0,28 +0,20 -0,09 +0,31 +0,20 -0,25 -0,12 +0,10 -0,15
-0,1 -0,15 -0,42 +0,25 -0,09 -0,42 +0,11 +0,48 +0,32 -0,55 +0,08 -0,03 +0,15 +0,02 -0,16 +0,18 +0,12 -0,22 +0,10 -0,02 +0,20 +0,24 +0,25 +0,27 +0,37 +0,40 +0,02 -0,02 -0,10
-0,08 -0,25 -0,35 +0,28 -0,18 -0,30 +0,13 +0,55 +0,36 -0,40 +0,10 +0,12 +0,18 -0,12 -0,05 0,20 +0,02 -0,18 -0,02 -0,05 -0,40 +0,01 +0,35 +0,28 +0,40 +0,35 +0,22 -0,12
-0,15 -0,20 -0,18 +0,35 -0,22 -,22 +0,08 +0,30 +0,42 -0,18 +0,22 +0,25 +0,25 -0,08 +0,03 +0,16 +0,08 -0,20 -0,12 -0,32 +0,02 +0,20 -0,08 +0,32 +0,30 +0,30 -0,05
-0,03 -0,12 -0,05 +0,40 -0,40 -0,18 -0,05 +0,25 +0,38 -0,16 +0,18 +0,27 +0,28 -0,02 -0,08 +0,02 +0,06 -0,25 -0,05 -0,15 -0,30 +0,20 -0,07 -0,09 +0,30 -0,25 -0,01 -0,07 +0,20
+0,5 -0,10 +0,08 0,32 -0,32 -0,05 -0,17 +0,18 +0,30 -0,05 +0,15 +0,15 +0,15 +0,05 +0,10 +0,12 -0,18 -0,07 -0,17 +0,20 -0,15 -0,10 +0,14 +0,27 +0,30 -0,06 -0,08 +0,25
+0,08 -0,15 +0,25 +0,30 -0,18 -0,06 +0,02 +0,35 +0,12 +0,25 +0,05 +0,05 -0,10 -0,09 -0,02 +0,18 -0,15 -0,08 -0,15 +0,03 -0,08 -0,17 +0,18 +0,21 +0,35 +0,07 -0,12 +0,21
+0,01 -0,02 +0,03 +0,42 -0,20 +0,03 +0,03 -0,10 +0,22 +0,05 +0,16 -0,08 -0,07 -0,18 -0,22 -0,05 +0,21 -0,08 -0,12 -0,21 -0,20 +0,20 +0,14 +0,19 +0,12 +0,40 +0,02 +0,05 +0,22
-0,05 +0,05 -0,17 +0,50 -0,37 +0,15 +0,20 -0,12 +0,20 +0,27 +0,30 -0,15 +0,02 -0,27 -0,24 -0,02 +0,25 -0,10 -0,02 -0,18 -0,10 -0,06 +0,19 -0,04 +0,08 -0,35 -0,04 -0,01 -0,07
-0,08 +0,15 -0,05 +0,28 -0,15 -0,02 +0,25 -0,18 +0,25 +0,08 +0,42 -0,27 -0,10 -0,30 -0,16 +0,05 +0,27 -0,12 +0,05 -0,20 +0,45 +0,02 +0,22 -0,06 +0,10 +0,28 -0,08 +0,02 -0,05
-0,02 +0,01 -0,08 +0,25 +0,07 -0,25 +0,18 -0,05 +0,12 -0,02 +0,25 -0,35 -0,20 -0,35 -0,25 +0,15 +0,20 -0,05 -0,01 -0,16 +0,25 -0,22 -0,32 +0,12 -0,02 +0,25 -0,06 +0,07 +0,11
+0,08 -0,08 +0,10 +0,22 +0,22 +0,32 +0,24 -0,01 +0,07 -0,16 +0,12 -0,32 -0,25 -0,32 -0,28 +0,08 +0,30 -0,02 -0,03 -0,15 +0,35 -0,16 -0,27 +0,13 -0,20 -0,03 -0,07 -0,02 +0,18
+0,1 +0,03 +0,12 +0,17 +0,25 -0,28 +0,35 +0,07 +0,17 -0,22 +0,10 -0,42 -0,30 -0,40 -0,22 +0,10 +0,38 -0,08 +0,02 -0,20 -0,28 +0,40 -0,22 +0,20 -0,22 +0,02 +0,04 -0,05 +0,22
+0,3 +0,08 +,20 +0,25 -0,35 -0,35 +0,40 +0,05 +0,25 -0,27 +0,22 -0,40 -0,32 -0,42 -0,32 +0,01 +0,32 -0,10 +0,07 -0,22 -0,30 +0,35 -0,35 -0,02 -0,15 +0,07 +0,10 -0,02 +0,25
-0,1 +0,12 +0,27 +0,15 +0,30 -0,22 +0,27 +0,08 +0,30 -0,25 +0,16 -0,45 -0,28 -0,38 -0,35 -0,05 +0,40 -0,06 +0,02 -0,16 -0,25 +0,35 +0,40 +0,25 -0,20 +0,08 +0,14 -0,07 +0,27

ЛИТЕРАТУРА

 

Основная

1. Белкин И.М. Допуски и посадки / И.М. Белкин. М.: Машиностроение, 1992.

2. Болдин А.А. Основы взаимозаменяемости и стандартизации в машиностроении / А.А. Болдин. М.: Машиностроение, 1984.

3. Дунин-Барковский И.В. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения / И.В. Дунин-Барковский. М.: Изд-во стандартов, 1987.