Мысалды арастырайы.

Бірінші заводта р 100 электр шамынан орта мнімен аланда 90 –стандартты, екіншісінен -95, шіншісінен - 85 ндіріледі. Сйкесінше берілген ауданны дкеніне тсетін барлы электршамнан 50, 30 жне 20% заводты німін райды. Стандартты электршамыны сатып алуа болатыныны ытималдыын табыыз.

Шешуі:

Ізделінді оианы A деп, ал бірінші, екінші жне шінші заводтарда шыарылан электршамыны оиасын сйкесінше , , деп белгілейік. Шарт бойынша мына оиаларды ытималдыы белгілі: , , жне оларды райсысына атысты А оиасыны шартты ытималдыы:

 

, , .

 

Бл бірінші, екінші жне шінші заводтарда дайындалан стандартты электршамын сатып алу ытималдыы.

A ізделінді оиасы,егер K оиасы – электршам бірінші заводта шыарылан жне стандартты ( яни В₁ жне A), немесе L оиасы – электршам екінші заводта шыарылан жне стандартты (яни В₂ жне A), M оиасы – электршам шінші заводта шыарылан жне стандартты (яни В₃ жне A).

Ытималдытарды осу теоремасын пайдаланып, мынаны шыарамыз:

 

 

.

 

Ытималдытарды кбейту теоремасын пайдаланып, мынаны шыарамыз:

 

 

 

орытынды формула – толы ытималды формуласыны дербес жадайы болып табылады.

Теорема. Толы тобын райтын йлесімсіз оиаларды біреуі крінеді деген шартпен пайда болатын А оиасыны ытималдыы оны шартына сйкес келетін осы оиаларды райсысыны ытималдытарыны кбейтінділеріні осындысына те:

 

.

Бейес формуласы.

 

Берілген ауданны дкеніне тсетін электршамыны сапасы жне саны алдындаы мысалда келтірілген шарттан аныталады. Электршамдарды шыару орнын жне оларды ытималдытарын есептейтін ммкін болжамдарды крсетііз.

 

Стандартты болып шыан электршам бірінші, екінші, шінші заводтарда шыарылуы ммкін.

 

, осыдан

 

,

 

мндаы - толы ытималды формуласы.

 

Онда

 

.

 

 

 

 

.

 

 

Бейес формуласы:

 

 

.

 

Дріс №3.

Таырыбы: «Туелсіз тжірибелер. Бернулли формуласы.»

«Лапласты локальды жне интегралды теоремасы».

 

Бернулли формуласына келетін есепті арастырайы.

Кездейсо алынан 5 блшектерді екеуі стандартты болатындыыны ытималдыын тап, егер р блшекті стандартты болатыныны ытималдыы 0,9-а те болса.

 

Шешуі:

Кездейсо алынан шар стандартты деп болжамдап алынан А оиасыны ытималдыы , оны стандартты емес екендігіні ытималдыы . Ізделінді оиа (оны В арылы белгілейміз), егер алашы екі блшек стандартты, ал алан шеуі стандартты емес болса болады. В оиасы сонымен атар, егер 1-ші жне 3-ші блшектер стандартты, ал аланы стандартты емес болса да болады. В оиасыны болуыны баса да ммкіндіктері бар. Оларды брі де кездейсо алынан бесеуіні андай да бір орын алатын екеуі стандартты болуымен сипатталады. Сондытан, В оиасыны орындалу ммкіндіктеріні жалпы саны бесеуінен екеуі йлесімді боландаы санына те, яни: .

Ытималдытарды кбейту теоремасы бойынша р ммкіндікті ытималдыы бес кбейткішті кбейтіндісіне те, оларды екеуіні стандартты болатыны 0,9-а, стандартты емес болатыны 0,1-ге те, яни ытималдыын райды. Крсетілген 10 ммкіндіктер йлесімсіз оиа боландытан, деп белгіленген В оиасыны ытималдытарын осу теоремасы бойынша мынаан те:

 

.

 

Есепті шешіміні орытындысын осылай трлендіруге болады:

 

р тжірибеде А оиасы болатындыыны р ытималдыы траты болса, n туелсіз тжірибелерінде А оиасы дл k рет болатынны ытималдыы мына формула бойынша есептеледі: , Мндаы .

 

ауыстырып, мынаны шыарамыз:

 

 

.

 

 

Мысал .

Тиын 8 рет латырылды. Оны 6 рет жалау жаымен тменге арап тсетініні ытималдыы андай?

Шешуі:

n=8, k=6, p=0,5, q=0,5

 

.

Егер тжірибелер саны лкен болса, ал тжірибеде оианы кріну ытималдыы те аз болса, онда жуы формуласын олданады:

P_n(k)= ,

 

Мндаы

 

,

 

k – туелсіз тжірибелерде оианы кріну саны. Берілген жадайда кездейсо шама Пуассон заы бойынша лестірілген делінеді.