Лестіру функциясыны асиеттері.

 

1) лестіру функциясыны мні мына кесіндіде жатады [0;1]:

 

 

2) F(x) – кемімейтін функция, яни F(x₂) F(х₁), егер x₂>x₁.

 

 

Салдар 1. Х кездейсо шамасыны абылдайтын мні (a;b) интервалыны ішінде жату ытималдыы осы интервалдаы лестіру функциясыны сімшесіне те:

 

 

=F(b)-F(a)

 

 

Салдар 2: Х здіксіз кездейсо шамасыны тек ана бір мн абылдайтыны ытималдыы 0-ге те.

 

3) Егер Х здіксіз кездейсо шамасыны ммкін мндері (a;b) интервалында жататын болса, онда 1) F(x)=0 егер x a;

 

2) F(x)=1 егер x>b.

 

Салдар 3. Егер Х здіксіз кездейсо шамасыны ммкін мндері барлы х осінде жататын болса, онда келесі шектер тура:

 

F(x)=0,

F(x)=1

Мысал.

Х здіксіз кездейсо шамасыны лестіру заы берілді:

 

х
р	0,06	0,056	0,053	0,050	0,781

Есепті шарты бойынша Х зіліссіз кездейсо шамасыны лестіру функциясыны графигін салыыз:

Шешуі:

Х кездейсо шамасы 1-ден кем мн абылдамайды. Осыдан, , онда оиа Х<х – ммкін емес, ал оны ытималдыы нлге те. Сондытан Х кездейсо шамасыны кез келген мнінде лестіру функциясыны мні нлге те.

Кез келген ос тесіздікті анааттандыратын х шін 1<x 2, F(x) функциясыны абылдайтын мні 0,06 - а те. Егер мысалы, x=1,2, онда F(x) оиасыны ытималдыы x<1,2.

Х кездейсо шамасы 1,2 кем мн бір ана жадайда абылдайды: 1-ге те мн 0,06 длдікпен алынады.

Кез келген ос тесіздікті анааттандыратын х шін 2<x 3, F(x)=0,06+0,056=0,116.

 

Мысалы.

х=3. Онда F(3) х<3 оиасыны ытималдыын рнектейді.

Ол екі жадайда болуы ммкін: Х-ті мні 1-ге те (ытималдыы 0,06), немесе мні 2-ге те (ытималдыы 0,056)

Ытималдытарды осу теоремасын пайдаланып, крсетілген F(x) функциясыны мнін х=3 боланда табамыз:

 

 

F(x) =

 

лестіру функциясыны графигі:

 

 

 

Ытималдыты тыызды функциясы, асиеттері.

Егер Х кездейсо шамасыны лестіру функциясы F(X) – тан алынан бірінші туындыны лестіру тыыздыы деп атайды:

 

f(x)=F X).

 

 

Бл анытамадан лестіру функциясы лестіру тыыздыына алашы функция болады.

 

F(x)=

 

 

лестіру тыыздыы f(x) –ті дифференциалды функция деп атайды.

 

Здіксіз кездейсо шаманы берілген интервала тсетініні ытималдыы туралы теорема.

Х кездейсо здіксіз шамасы (a,b) интервалында жататын мндер абылдайтындыыны ытималдыы шектері а дан b – а дейінгі лестіру тыыздыынан алынан аныталан интеграла те.

 

 

P(a<X<b)= .

 

 

Геометриялы дегеніміз: Х кездейсо здіксіз шамасы (a,b) интервалында жататын мндер абылдайтындыыны ытималдыы Ох осімен жне f(x) лестіру исыымен жне x=a, x=b тзулерімен шектелген исы сызыты трапецияны ауданына те.

 

лестіру тыыздыыны асиеттері:

1) лестіру тыыздыы –теріс емес функция:

 

f(x) 0

 

2) Шектері (- ) (+ ) те лестіру тыыздыынан алынан меншіксіз интеграл бірге те:

 

=1

 

 

«лкен сандар заы. Бернулли теоремасы».

 

Чебышев тесіздігі

Брын байалан, кейбір белгілерді санды сипаттамаларыны орта арифметикалы мні (лшемдерді орытындысы ж.т.б.) осындай біртекті былыстарды лкен саны кп емес тербелістерге шыраан. Орта мнін айтанда былыстара тн задылы бар, онда р трлі факторлар сері зара жойылады, олардаы баылауларды орытындысы кездейсо болып алады. Теориялы тілде бл орта мнні тртібін тек лкен сандар заы арылы тсіндіруге болады, кездейсо былыстар арылы жалпы шарттар орындалатын болса, онда арифметикалы ортаны орнытылыы аиат оиа. Осы шарттар лкен сандар заыны маызды мазмнын райды.

лкен сандар заы сйлемдерді жиынтыы, орта арифметикалы мнні кездейсо шамаларды жеткілікті кптеген сандарыны траты шамадан ауытуы - оларды математикалы ктімдеріні орта арифметикалы мндеріні андай да бір берілген кішкентай >0 артпайды.

 

 

,

 

 

мндаы - Х кездейсо шамаларды математикалы ктімі.

 

Чебышев теоремасы трінде берілген лкен сандар заын арастырайы.

 

 

Чебышев теоремасы

 

Егер Х₁,Х₂…Х_n кездейсо шамаларды дисперсиясы бір С траты шамасымен шектеулі болса, ал оларды саны жеткілікті лкен болса, онда берілген >0 саны андай кіші болса да, осы кездейсо шамаларды оларды математикалы ктімінен ауытуы абсолюттік шамасы бойынша андай да бір санынан артпайды, бірге жаын болады.

 

 

 

 

Чебышев теоремасы негізінде статистикадаы тадамалы діс рылан, шаын кездейсо тадаманы салыстыранда зерттелетін объектерді тгел жиынтыы алынады. Кішкентай матаны уысын аланда тгел матаны сапасы туралы айтылады. Днні сапасын, оны кішкентай дндерінен байап круге болады.

n туелсіз тжірибелерді райсысында А оиасыны кріну ытималдыы Р-а те. Оианы крінуіні салыстырмалы жиілігі андай болатынын алдын ала айтуа болмайды. Якоб Бернуллиді (1713ж) длелдеген «лкен сандар заы» атты жне ытималдытар теориясыны ылым ретінде басталуына ммкіндік берген теоремасы осы сраа жауап бере алады.

 

Бернулли теоремасы.

Егер n туелсіз тжірибелерде А оиасыны кріну ытималдыы Р траты боланда, онда бірге жаын салыстырмалы жиілігіні Р ытималдыынан ауытуыны ытималдыы абсолюттік шамасы бойынша аз болады, егер тжірибелер саны жеткілікті лкен болса.

Дріс №6.

Таырыбы: «Математикалы статистика пні. Тадамалы діс».