СОЖ сабатара дістемелік нсаулар

- таырып

- масаты

- ткізу трі

- тапсырмалар, сратар

Семинар №1.

Таырыбы: «Ытималдытар теориясы. Негізгі ымдар, оиалар, оларды трлері».

Сабаты масаты:Ытималдыты классикалы анытамасыны формуласына ерекше кіл аударыдар, йткені ытималды теориясыны кп есептерін шыаранда кілті болып есептеледі. Сонымен атар комбинаторика формулаларымен теру, орналастыру, алмастыру терминдерін еркін олдана білу ажет.

 

Семинар сратары:

1. Ытималдыты классикалы анытамасы.

2. Ытималдыты статистикалы анытамасы.

3. Комбинаторика формулалары .

4. Геометриялы ытималды

Тапсырма:

1) Телефон номерін теріп жатанда абонент бір цифра мытып алады, жне оны кездейсо тереді. Керек цифраны тергеніні ытималдыын тап

Жауабы: .

2) Жшікте 15 бйымдар бар, оны 10 боялан. Жинатаушы кездейсо 3-ін алады. Алынан бйымдар боялан болатыныны ытималдыын табыыз.

Жауабы: .

3) Жшікте 100 бйымдар бар, оны 10 жарамсыз. Кездейсо 4 бйым алынан. Алынан бйымдарды ішінде: а) жарамсыз жо; б) пайдалысы жо екеніні ытималдыын табыыз.

Жауабы: а) 0,65

б) 0,00005.

 

4) Ойын “сйегі” (кубигі) латырылды. Жп пай саны тсетініні ытималдыы андай.

Жауабы: 0,5.

5) Жшіктен 1-ден бастап 100-ге дейін нмерленген жетондар суырылан. Бірінші алынан жетонны нміріні ішінде 5 цифрасы болмайтындыыны ытималдыын тап:

Жауабы: 0,81.

6) апты ішінде 5 бірдей кубиктер бар. р кубикті барлы жаында мына ріптерді біреуі жазылан: о, п, р, с, т. Бір сызы бойында жатан жне бір-бірден алынан кубиктерден «спорт» сзін оып шыуа болатындыыны ытималдыын тап.

Жауабы: .

 

7) Барлы жатары боялан куб, бірдей лшемді 1000 кубиктерге блінген, олар содан со араластырылан. Кездейсо алынан кубикті боялан жатары а) бір; б) екі; в) ш болатыныны ытималдыын табыыз. Жауабы: а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008.

8) 100 блшегі бар йымнан техникалы баылау блімі 5стандартты емес блшек тапан. Стандартты емес блшектерді шыуыны салыстырмалы ытималдыын тап

Жауабы: 0,05.

9) Жазытыта радиустары сйкесінше 5 жне 10 см-ге те екі шебер сызылан. Кездейсо лкен догелекке латырылан нкте шеберлер арасындаы саинаны ішіне тсетіні ытималдыын табыыз. Нктені жазы фигураны ішіне тсетініні ытималдыы фигураны ауданына пропорционал жне оны орналасуына туелді емес.

Жауабы: 0,75.

10) Радиусы R-а те дгелек ішіне нкте латырылан. Дгелекке іштей сызылан: а) шаршыны; б) дрыс шбрышты в) дрыс алтыбрышты ішінде нкте болатыныны ытималдыын тап. Нктені дгелек блігіні ішіне тсу ытималдыы осы блікті ауданына пропорционал жне оны дгелек арылы орналасуына туелді емес.

 

дебиеттер:3,6,7,12,14,18,23

Семинар №2.

Таырыбы: «Ытималдытарды кбейту жне осу теоремалары».

Сабаты масаты: A+B, A B, оиаларын айыра білу, шыаранда ытималдытарды осу жне кбейту теоремаларыны олданылуын айыра білу.

Семинар сратары:

1.Ытималдытарды осу теоремалары

2. Оиаларды толы тобы.

3. Шартты ытималды..

4. Ытималдытарды кбейту теоремалары.

5. Толы ытималды формуласы, Бейес формуласы

Тапсырма:

1) Жшікте 4 а, 5 ызыл, 8 жасыл жне 3 кк шарлар бар. Шарларды араластырып біреуін алып шыарады. Алынан шар боялан болатыныны ытималдыын табыыз:

Жауабы: .

2) Цехта 2 тасымалдаушы жмыс істейді. райсысыны тотаусыз жмыс істейтініні ытималдыы t уаыт ішінде 0,9-а те. Тасымалдаушылар бір-бірінен туелсіз жмыс істейді. t уаытта

а) е болмаса бір тасымалдаушы;

б) екеуі де;

в) ешайсысы да емес;

г) тек ана бір тасымалдаушы тотаусыз жмыс істейтініні ытималдыын тап:

Жауабы: а) 0,99; б) 0,81; в) 0,01; г) 0,18.

3) рылы туелсіз жмыс істейтін ш элементтен трады. Бірінші, екінші жне шінші элементтерді тотаусыз жмыс істейтін ытималдыы сйкесінше 0,6; 0,7 жне 0,8 -ге те. t уаытыны ішінде

а) тек ана бір элемент;

б) тек екі элемент;

в) барлы шеуі де тотаусыз жмыс істейтініні ытималдыын тап:

Жауабы: а) 0,188; б) 0,452; в) 0,336.

4) 100 лотерей билетіні ішінде 5 тысты. Кездейсо алынан 2 билетті тысты болатыныны ытималдыын тап:

Жауабы: .

5) Екі жшікте блшектер бар: біріншіде 10 (оны 3 стандартты), екіншісінде 15 (оны 6 стандартты). р жшіктен кездейсо бір-бір блшектен алынады. Екеуі де стандартты болатыныны ытималдыын тап:

Жауабы: 0,12.

6) Теледидар студиясында 3 телекамера бар. р камера шін берілген уаытта осылып траныны ытималдыы 0,6-а те. Берілген уаытта е болмаса біреуі ана осылып траныны ытималдыын тап:

Жауабы: 0,936.

7) Барлы бйымдарды ішіндегі бірінші станоктан - 40%, екінші станоктан -30%, шінші станоктан - 10%, тртіншіден 20% жинатауа тскен. Бірінші станок бйымдарыны 0,1% блінген, екіншісінен – 0,2%, шіншісінен - 0,25%, тртіншісінен – 0,5%. Жинатауа тскен бйымдарды ішінен блінген бйымдарды ытималдыын табыыз:

Жауабы: 0,002

8) Студенттік спорт жарысына атысуа курсты бірінші тобынан 4, екінші тобынан - 6, шінші тобынан – 5 студент блінген. 1,2,3 топ студенттері институтты рама тобына тсетініні ытималдыы сйкесінше 0,9; 0,7; 0,8 –ге те. Кездейсо алынан студент жарысты орытындысында рамаа тсті. Студентті рамаа тсуіні ытималдыын тап: Бл студент ай тоба кіреді:

Жауабы: , , .

9) Пирамидада 5 мылтыты 3-і оптикалы кздеуімен амтылан. Оптикалы кздеуі бар мылтытан бір атаннан мергенні нысанаа тию ытималдыы-0,95-ке; оптикалы кздеуісіз мылтытан бл ытималды-0,7-ге те. Кездейсо алынан мылтытан бір атаннан нысанаа тию ытималдыын тап:

10) Болт шыаратын фабрикада бірінші машина - 25%, екінші - 35%, шінші - 40% болт шыарады. Оларды ішінде жарамсыз нім сйкесінше 5%, 4% жне 2%. Кездейсо тадалан болт жарамсыз болды. Оны шінші машинамен шыарыланыны ытималдыы андай.

Жауабы: 0,875.

 

дебиеттер:3,6,7,12,14,18,23

 

Семинар №3,4.

Таырыбы: «Туелсіз тжірибелер. Бернулли формуласы».

 

Сабаты масаты: «тжірибелерді айталау», «йлесімсіз тжірибелер» ымдарын мегеру, осы таырыпа арналан есептерді шыару жолдарын жеіл ылатын Бернулли формуласыны орытындылауын талдау

Семинар сратары:

1. Бернулли формуласы.

2. Пуассон формуласы.

Тапсырма:

1) Цехта 6 мотор бар. р мотора берілген уаытта оны осулы траныныны ытималдыы 0,8-ге те. Берілген уаытта

а) 4 мотор осулы траныны

б) барлы моторлар осулы траныны

в) барлы моторларды снулі траныны ытималдыын тап

 

Жауабы: а) б) в) .

 

2) Екі те арсыластар шахмат ойнайды. айсы ытималдыра:

а) екіден бір партияны немесе трттен екі партияны ту;

б) трттен екіден аз емес партия немесе бестен штен аз болмайтындай партия ту.

Еш айсысыны тпауы жауапа алынбайды.

 

3) Тиын 5 рет латырылды. Оны жалау жаымен тсетініні ытималдыы:

а) екі реттен аз;

б) екі реттен аз емес.

 

4) Жаняда бес бала-шаа. Осы бала-шааны арасында

а) екеуі л бала да;

б) екі баладан аспайтынны ;

в) екі баладан кп;

г) екіден аз емес жне штен кп емес бала болатыныны ытималдыын тап.

Бала тууыны ытималдыы 0,51 деп алынан.

 

5) С нктесі AB кесіндісін 2:1 атынаста бліп тр. Осы кесіндіде кездейсо алынан трт нкте берілген. Нктелерді екеуі С нктесіні сол жаында, алан екеуі о жаында орналасатыныны ытималдыын тап. Нктені кесіндіге тсуі кесіндіні зындыына пропорционал жне оны орналасуына туелсіз емес деп алынады.

Жауабы:

.

дебиеттер:3,6,7,12,14,18,23

Семинар №5.

Таырыбы: «Лапласты локальды жне интегральды теоремасы».

Сабаты масаты: Лапласты локальды жне интегралды теоремаларын пайдалану жадайларын айыруды йрену ажет.

Семинар сратары:

1) Лапласты локальды теоремасы.

2) Лапласты интегральды теоремасы.

Тапсырма:

1) Оианы 400 тжірибеде дл 104 рет болатыныны ытималдыын тап, егер р тжірибеде оны пайда болуыны ытималдыы 0,2-ге те болса.

Жауабы: .

2) Мергенні бір атанда нысанаа тию ытималдыы 0,75-ке те. 100 рет атанда нысанаа тиетініні ытималдыын тап:

а) 70-тен аз жне 80 –нен кп емес рет;

б) 70-тен кп емес рет.

Жауабы: а) б) .

 

3) 2100 туелсіз тжірибелерді райсысында оианы пайда болу ытималдыы 0,7-ге те. Оианы:

а) 1470-тен аз емес жне 1500-ден кп емес рет;

б) 1470-тен аз емес рет;

в) 1469-дан кп емес рет пайда болатыныны ытималдыын тап.

 

4) 10000 туелсіз тжірибелерді райсысында оианы крінуіні ытималдыы p=0,75. Оианы крінуіні салыстырмалы жиелігі оны абсолюттік шамасы бойынша ытималдыынан 0,001-ден кп емес ауытитындыыны ытималдыын тап.

Жауабы: .

5) Тиынды 0,6 ытималдыымен жалау бар жаы тсетін p=0,5 ытималдыынан абсолюттік шамасы бойынша 0,01-ден кп емес ауытитындыын ктуге болатындай анша рет латыру керек

Жауабы: n=1764.

дебиеттер:3,6,7,12,14,18,23

 

Семинар №6.

Таырыбы: «Кездейсо шамалар. Кездейсо шамаларды лестірім задары».

Сабаты масаты: Кездейсо шамалар ымын айталау, дискретті жне здіксіз шамаларды айыра білу, р трлі задарымен оларды лестірімімен танысу.

Семинар сратары:

1. Дискретті кездейсо шамалар.

2. Дискретті кездейсо шамаларды лестірім задары.

3. Дискретті кездейсо шамаларды санды сипаттамалары.

Тапсырма:

1) Алты бйымнан жасалан партияны тртеуі стандартты. Кездейсо ш бйым алынан. Х тадалан ішінен стандартты бйымдар саныны- дискретті шамасыны лестірім заын растырыыз. лестірім кпбрышын салыыз.

Жауабы:

x
p

2) 1) Х дискретті кездейсо шаманы – тиынды екі рет латыранда «герб» жаымен кріну саныны биномиалды заын жазыыз:

Жауабы:

x
p

3) рылы туелсіз жмыс істейтін 1000 элементтен трады. Т уаыт ішінде тотаусыз жмыс істейтініні ытималдыы 0,002-ге те. Т уаыт ішінде тек ана ш элемент жмыс істемейтініні ытималдыын табыыз. Жауабы: Р₁₀₀₀(3)=0,18, е^-2=0,13534.

 

4) Дкен минералды суды 1000 шлмегін алды. Тасымалдаанда шлмек сынып алатыныны ытималдыы 0.003 –ке те. Дкенге а)тек ана екі; б)екіден кем; в)екіден арты; г)е болмаса бір сыны шлмек тсетініні ытималдыын тап. (е^-3= 0,04979):

(е^-3=0,04979).

Жауабы: а)0,224; б)0,1992; в)0,5768; г)0,95.

 

5) Х дискретті кездейсо шамасы 3 ммкін мн абылдайды: х₁=4, p₁=0,5 ытималдыымен; х₂=6, p₂=0,3 ытималдыымен жне х_3, p₃ ытималдыымен, х_{3 ЖНЕ} p₃ табыыз, егер М(х)=8:

Жауабы: х₃=21,р₃=0,2.

 

6) Х дискретті кездейсо шаманы ммкін мндеріні тізімі берілген: х₁=1, х₂=2, х₃=3, осы шамаларды математикалы ктімі жне оны квадраты белгілі: М(Х)=2,3; М(Х²)=5,9. Х-ті ммкін мндеріне сйкес келетін ытималдытарды табыыз.

Жауабы: р₁=0,2; р₂=0,3; р₃=0,5

 

7) Егер Х жне Y дисперсиялары белгілі болса Z=2X+3Y, Д(X)=4, Д(Y)=5, онда Z кездейсо шамасыны дисперсиясын табыыз:

Жауабы: 61.

8)Х- кездейсо шамасыны екі туелсіз тжірибелерде, егер осы оиаларды осы тжірибелерде кріну ытималдытары бірдей жне М(Х)=0,9 болса, дисперсиясын табыыз: Жауабы: 0,495.

 

9) Х дискретті кездейсо шамасыны тек екі ммкін мндері бар: х₁ жне х₂, х₁<х₂. Х –ті абылдайтын мні х₁–ге те болатыныны ытималдыы 0,2-ге те. Математикалы ктімі М(Х)=2,6 жне орта квадратты ауытуы (Х)=0,8 болатынын біле отырып, лестіру заын табыыз:

 

Жауабы:

х
р	0,2	0,8

 

 

10) Х дискретті кездейсо шамасыны тек ш ммкін мндері бар:х₁, х₂ жне х_3, мндаы х₁ < х₂ < х₃,. Х –ті абылдайтын мндері х₁ жне х₂ - те болатыныны ытималдыы 0,3 жне 0,2 -ге те. Математикалы ктімі М(Х)=2,2 жне дисперсиясы D(X)=0,76 екенін біле отырып, Х-ті лестіру заын табыыз:

 

дебиеттер:3,6,7,12,14,18,23

Семинар №7,8.

Таырыбы: «зіліссіз кездейсо шамалар.

КШ санды сипаттамалары».

Сабаты масаты: Кездейсо шамалар ымын айталау, дискретті жне здіксіз шамаларды айыра білу, р трлі задарымен оларды лестірімімен танысу.

 

Семинар сратары:

1. зіліссіз кездейсо шамалар.

2. КШ санды сипаттамалары. асиеттері.

3. Ытималдыты лестірім функциясы, лестірім тыыздыы, оны

асиеттері.

4. алыпты лестірім

Тапсырма:

1) Х зіліссіз кездейсо шамасыны (0;2) интервалында лестірім тыыздыы f(x)=(1/2)x, осы интервалдан тыс f(х)=0. Х шамасыны математикалы ктімін тап:

Жауабы: М(Х)=

2) Х зіліссіз кездейсо шамасыны (0;1) интервалында лестірім тыыздыы f(x)=с(х²+2х) , осы интервалдан тыс f(х)=0. 1) С параметрін 2) Х шамасыны математикалы ктімін табыыз:

3) Теріс емес ммкін мндері бар Х зіліссіз кездейсо шамасы лестірім функциясымен берілген F(x)=1-e ( >0). Х шамасыны математикалы ктімін табыыз:

4) Х зіліссіз кездейсо шамасыны (0;5) интервалында лестірім тыыздыы f(x)= x; осы интервалдан тыс f(х)=0. Х-ті дисперсиясын табыыз: Жауабы: D(X)= .

5) лестіру функциясымен берілген Х кездейсо шамасыны дисперсиясын табыыз:

 

 

F(x)= ,

 

 

Жауабы: D(X)= .

6) алыпты лестірілген Х кездейсо шамасыны математикалы ктімі а=3 жне орта квадратты ауытуы 2-ге те. Х ытималды тыыздыын табыыз:

 

7) М(Х)=3 жне Д(Х)=16 екенін біле отырып, алыпты лестірілген Х кездейсо шамасыны ытималды тыыздыын табыыз.

8)Х кездейсо шамасы лестірім функциясымен берілген F(x)= . лестірім тыыздыын f(x) табыыз:

Жауабы: f(x)=

9) Х кездейсо шамасы лестірім тыыздыымен берілген:

f(x)=

Жауабы:F(x)=

10) Дискретті кездейсо шамасы лестіру заымен берілген

 

 

х
р	0,2	0,1	0,4	0,3

лестіру функциясын табыыз жне оны графигін салыыз.

11) Х зіліссіз кездейсо шамасыны (0; ) интервалында лестірім тыыздыы f(x)=C·sin2x; , осы интервалдан тыс f(х)=0. С параметрін тап:

Жауабы: С=1.

дебиеттер:3,6,7,12,14,18,23

Семинар №9.

Таырыбы: «лкен сандар заы. Бернулли теоремасы».

Сабаты масаты: Барлы теоремалар жне Чебышев, Бернулли, Чебышев тесіздігі лкен сандар заыны маынасын райды. Осы таырыпты есептіріні айырмашылытары крделігінде, сондытан оларды шыару жолдарын йрену.

Семинар сратары:

1. Чебышев тесіздігі жне теоремасы.

2. лкен сандар заы.

3. Бернулли теоремасы.

4. Кездейсо функциялар.

 

Тапсырма:

1)Берілді: <0,1,

Егер D(X)=0,01, Чебышев тесіздігін пайдаланып, ытималдыты баалаыз:

Жауабы: Р 0,9.

2) Берілді: ; D(X)=0,04.

Чебышев тесіздігін пайдаланып, табыыз.

3) Жары желісіне параллель 20 шам осылан. Т уаыт ішінде шамны осылатыныны ытималдыы 0,8-ге те. Чебышев тесіздігін пайдаланып, осулы тран шамдарды саны мен Т уаыт ішінде осулы тран шамдарды орта мніні арасындаы айырмасыны абсолют шамамен алынан ытималдыын баалаыз.а) 3-тен кем б) 3-тен кем емес.

Жауабы: а)0,64 б)0,36

4) Автомат блшектер шыарады. Математикалы ктімі бар алыпты лестірілген Х блшектерді зындыы баыланады, 50 мм –ге те. Шыарылан блшектерді зындыы 32-ден кем емес жне 68-ден арты емес болады. Кездейсо алынан блшекті зындыы а) 50 мм-ден арты; б) 40 мм-ден кем болатыныны ытималдыын табыыз. P(32<x<68)=1 тедігінен табыыз.

Жауабы: а) 0,0823; б) 0,0027.

P(32<x<68)=1 тедігінен табыыз.

Жауабы: а) 0,0823; б) 0,0027.

5) Х дискретті кездейсо шамасы лестіру заымен берілген:

 

х	0,3	0,6
р	0,2	0,8

 

 

Чебышев тесіздігін пайдаланып, ытималдыты баалаыз: <0,2.

 

Бірінші М(Х) жне D(X) есептеіз.

Жауабы:0,64

 

6) Х дискретті кездейсо шамасы лестіру заымен берілген:

 

 

х	0,1	0,4	0,6
р	0,2	0,3	0,5

 

Чебышев тесіздігін пайдаланып, ытималдыты баалыыз:

 

 

Жауабы: 0,909

дебиеттер:3,6,7,12,14,18,23

Семинар №10.

Таырыбы: «Математикалы статистика пні.

Тадамалы діс».

Сабаты масаты: Вариациалы атарды санды сипаттамалары анытау, есепті орытындысы бойынша дрыс талдау жне орытындылай білу.

Семинар сратары:

1. Бас жне тадама жиындары.

2. Вариациалы атар жне оны санды сипаттамалары.

Тапсырма:

Вариациалы атарды берілгендері бойынша барлы оны санды сипаттамаларын табыдар жне графигін салыдар (полигон, гистограмма, кумулята, огива)

 

 

Вариант№1

 

Вариант№2

 

Вариант№3

 

Вариант№4

 

Вариант№5

 

дебиеттер:3,6,7,12,14,16,17

Семинар №11,12