Перечень вопросов для подготовки к экзаменам.

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В Г. ТАГАНРОГЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ПИ (филиал) ДГТУ в г. Таганроге

Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Программа, методические указания и контрольные задания для студентов – заочников направления 09.03.02 «Информационные технологии»

по курсу «Математический анализ»

(бакалавриат)

Г.

Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются:

1. Теоретическое и практическое изучение обучающимися основных разделов математики, составляющих научную базу, на которой строится естественнонаучная и профессиональная подготовка будущих специалистов. способных выполнять все виды профессиональной деятельности, предусмотренные ФГОС ВПО для данных направлений, формирования математической составляющей общекультурных и профессиональных компетенций;

2. Обеспечение высокого уровня фундаментальной подготовки по математике как основы формирования общенаучных, профессиональных, социально-личностных и общекультурных компетенций;

3. Развитие у студентов личностных качеств и способностей успешно работать в новых, быстро развивающихся областях науки и техники, самостоятельно непрерывно приобретать новые знания, умения и навыки;

4. Вариативность формирования необходимых компетенций посредством различного уровня изучения дисциплины «Линейная алгебра».

Для достижения цели ставятся следующие задачи:

1. Воспитание культуры современного математического мышления;

2. Изучение математического аппарата, методов математического анализа, анализа состояния научно-технической проблемы на основе подбора и изучения литературных источников;

3. Моделирования объектов и процессов с целью анализа и оптимизации их параметров с использованием имеющихся средств исследования;

4. Формирование представления о математике как о мощном средстве решения задач в практической деятельности;

5. Привитие навыков использования математических методов для решения прикладных задач в профессиональной сфере;

6. Выработка навыков и умений самостоятельного расширения и углубления математических знаний и проведение математического анализа задач в профессиональной сфере.

Связь с предшествующими и последующими дисциплинами.

Для успешного освоения дисциплины, обучающиеся должны иметь базовую подготовку по дисциплине «Математика» в объеме программы средней школы.

Компетенции обучающегося:

Студенты, завершившие изучение дисциплины «Математика», должны обладать следующими вузовскими (обобщёнными) компетенциями (ВК):

1. Общекультурной компетенцией (ВОК) - способностью и готовностью приобретать с большой степенью самостоятельности новые знания в области математики, используя современные образовательные и информационные технологии;

2. Профессиональной компетенцией (ВПК):- способностью применять математический аппарат, методы математического анализа на уровне, необходимом для решения задач, имеющих естественнонаучное содержание и возникающих в сфере профессиональной деятельности.

Структура и содержание дисциплины


Раздел (название)	Тема, литература	Содержание
Дифференциальное и интегральное исчисление	3.1. Функция одной переменной [6.1.2, г. 1]	Определение ФОП, область определения и область значений, основные элементарные функции.
3.2. Предел ФОП [6.1.2, гл. 2], [6.3.2.] [6.1.10., гл. 4]	«Е-окрестность» точки на числовой прямой, определение предела функции, его основные свойства. Первый и второй замечательный пределы. Основные приемы раскрытия неопределенностей. Понятие непрерывной и разрывной функции, классификация точек разрыва.
3.3. Дифференциальное исчисление ФОП [6.1.2, гл. 3], [6.3.2.] [6.1.10, гл. 5]	Определение производной ФОП, ее физический и геометрический смысл, уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования, производные основных элементарных функций: показательно-степенной функции; функции, заданной параметрически и неявно. Производные высших порядков, физический смысл производной второго порядка. Дифференциал.
3.4. Исследование ФОП и построение графиков [6.1.2, гл. 4], [6.1.10, гл. 5]	Асимптоты. Достаточные условия монотонности, существование экстремума и выпуклости. Построение графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
3.5. ФНП, дифференциальное исчисление ФНП. [6.1.2, гл. 8] [761.10, гл. 11]	ФНП: определение, геометрический смысл. Частные производные первого и второго порядка. Экстремум ФНП, условный экстремум. Дифференциал.
3.6. Неопределенный интеграл [6.1.2, гл. 10], [6.1.10, гл. 6]	Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица простейших интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям. Классы интегрируемых функций. Интегрирование дробно-рациональной функции, тригонометрических функций.
3.7. Определенный интеграл и его приложения, несобственный интеграл [6.1.2, гл. 11,12], [6.1.10, гл. 6]	Определение определенного интеграла, его геометрический и физический смысл, свойства, формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции, Вычисление площади криволинейных фигур. Вычисление длины дуги кривой в декартовых координатах, в полярной системе координат, в параметрическом виде, несобственный интеграл.
3.8. Двойной интеграл [6.1.3, гл. 14, § 1-5]	Определение, геометрический смыл, сведение к повторному интегралу.
Дифференциальные уравнения	4.1. Общие определения	Порядок д.у., решение д.у., частное, общее и особое решение, решение задачи Коши, интегральные кривые
4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка [6.1.3 гл 13 §§ 1-9], [6.1.10 гл. 14]	Задача Коши, ее геометрический смысл, теорема существования и единственности решения. Типы уравнений и методы их решения.
4.3. Дифференциальные уравнения второго порядка[6.1.3 гл. 13 §§ 23, 24], [6.1.10 гл. 14]	Задача Коши, ее геометрический смысл, теорема существования и единственности решения. Линейные д.у. с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
4.4. Системы дифференциальных уравнений [6.1.3 гл. 13§ 30]	Нормальная система, задача Коши для нормальной системы, метод исключения для решения нормальных систем.
Ряды	5.1. Последовательности [6.1.3 гл. 16, § 1], [6.1.10 гл 8]	Определение числовой последовательности, формула общего члена, реккурентные последовательности.
5.2. Числовые ряды [6.1.3 гл. 16, §§ 1-2], [6.1.10 гл 8]	Определение числового ряда, частичной суммы, сходимости ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов, необходимый признак сходимости.
5.3. Знакоположительные ряды [6.1.3 гл. 16, §§ 3-6],	Признаки сходимости (Даламбера, Коши, сравнения)
5.4. Знакопеременные ряды [6.1.3 гл. 16, §§ 7, 8],	Абсолютная и условная сходимость. Исследование сходимости знакочередующегося ряда.
5.5. Степенные ряды [6.1.3 гл. 16, §§ 13, 16], [6.1.10 гл 8]	Определение функционального ряда, его области сходимости. Определение степенного ряда, его область сходимости. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Макларена.
Теория вероятно-стей и статистика	9.1. Основные понятия теории вероятностей [6.1.4 гл. 1], [6.1.6 гл. 5, § 1]	Достоверное, невозможное, случайное событие. Совместные и несовместные события. Классическое и геометрическое определение вероятности.
9.2. Основные теоремы [6.1.4 гл. 2, 3, 4], [6.1.6 гл. 5, § 2]	Сумма и произведение событий, противоположные события, зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотя бы одного события, вероятность противоположного события. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Условная вероятность, формула полной вероятности.
9.3. Схема Бернулли [6.1.4 гл. 5], [6.1.6 гл 5, § 3]	Формула Бернулли, теоремы Лапласа, формула Пуассона.
9.4. Дискретные случайные величины [6.1.4 гл. 6, 7, 8], [6.1.6 гл. 5, § 6]	Случайные величины: основные определения. Дискретные случайные величины, их числовые характеристики, закон распределения вероятностей. Биноминальный закон.
9.5. Непрерывные случайные величины [6.1.4 гл. 10, 11, 12], [6.1.6 гл. 5, § 6]	Дифференциальный и интегральный законы распределения, числовые характеристики. Нормальное и равномерное распределение.
9.6. Понятие случайного процесса [6.1.4 гл. 23, 24],	Основные определения, стационарные процессы, модели случайных процессов.
9.7. Статистическое оценивание и проверка гипотез [6.1.4 гл. 15, 16, 19], [6.3.4]	Статистическое распределение выборки, полигон частот, гистограмма, характеристики вариационного ряда, определение статистической и конкурирующей гипотезы, критерии согласия. Определения точечных оценок параметров распределения, несмещенная оценка математического ожидания .Определение интервальной оценки параметров распределения, доверительный интервал, статистические методы обработки экспериментальных данных
9.8. Элементы корреляционного анализа [6.1.4 гл. 18],[6.1.6гл.5,§15]	Функции регрессии, коэффициенты корреляции.

Перечень вопросов для подготовки к экзаменам.

Ый семестр

1. Множества. Операции над множествами.

2. Декартово произведение множеств. Покрытие множества.

3. Символы математической логики.

4. Множество R. вещественных чисел. Свойство плотности множества R

5. Теорема Архимеда и следствие из неё.

6. Теорема о приближении иррациональных чисел рациональными числами.

7. Свойства действительных чисел.

8. Грани числовых множеств. Существование точной верхней и точной нижней грани.

9. Числовая прямая и множества на ней.

10. Абсолютная величина действительного числа и его свойств.

11. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве.

12. Отображение множеств. Функция. Биекция.

13. Сложная функция. График функции. Обратная функция. Критерий обратимости для функции.

14. Способы задания функции. Чётность и нечётность функции.

15. Периодичность и монотонность функции. Ограниченность функции.

16. Преобразование графика функции.

17. Основные элементарные функции и их графики.

18. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

19. Единственность предела числовой последовательности.

20. Теорема сравнения для числовой последовательности.

21. Необходимое условие существования предела числовой последовательности. Предел монотонной и ограниченной числовой последовательности.

22. Число е. Натуральный логарифм.

23. Последовательность вложенных отрезков. Лемма о вложенных отрезках.

24. Лемма Больцано-Вейерштрасса для ограниченной числовой последовательности. Критерий сходности числовой последовательности.

25. Предел функции. Односторонние пределы. Теорема о существовании пределафункции в точке.

26. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Свойства бесконечно малых функций.

27. Связь между пределом функции в точке и бесконечно малой величиной.

28. Основные теоремы о вычислении пределов функции.

29. Первый и второй замечательные пределы

30. Сравнение бесконечно малой функции. Эквивалентные бесконечно малые функции. Выделение главной части суммы двух бесконечно малых функций.

31. Таблица важнейших эквивалентностей.

32. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Основные теоремы о непрерывных функциях.

33. Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции.

34. Точки разрыва монотонной функции. Первая теорема Болцано-Коши о непрерывной функции на отрезке.

35. Вторая теореме Больцано - Коши о непрерывной функции на отрезке.

36. Непрерывность обратной функции и всякой элементарной функции в точке, где она определена.

37. Ограниченность непрерывной функции на отрезке. Первая теорема Вейерштрасса.

38. Достижение непрерывной функцией своих точных границ на отрезке. Вторая теорема Вейерштрасса. Понятие равномерной непрерывности функции.

39. Производная и дифференциал, их геометрический смысл. Дифференцируемость функции. Линеаризация функции в точке.

40. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

41. Дифференцирование параметрически заданной функции

42. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.

43. Таблица производных элементарных функций.

44. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

45. Теоремы Ферма, Роля и Лагранжа о дифференцируемых функциях.

46. Теорема Коши и правило Лопиталя о вычислении пределов.

47. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа.

48. Представление основных элементарных функций по формуле Тейлора и Маклорена.

49. Промежутки возрастания и убывания функции. Необходимое условие экстремума функции.

50. Достаточное условие существования экстремума функции. Правило исследования функции на экстремум.

51. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке и их нахождение.

52. Выпуклость вверх и вниз графика функции. Точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.

53. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования и построения графика функции.

54. Разложение многочлена на линейные и квадратичные многочлены.

55. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Метод неопределённых коэффициентов.

56. Первообразная функция и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла.

57. Таблица основных неопределённых интегралов.

58. Непосредственное интегрирование и метод замены переменных при вычислении неопределённого интеграла.

59. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.

60. Интегрирование рациональных функций.

61. Интегрирование тригонометрических функций.

62. Интегрирование иррациональных функций.

63. Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Его геометрический и механический смысл.

64. Основные свойства определённого интеграла.

65. Теорема о среднем значении для определённого интеграла.

66. Определённый интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

67. Формула Ньютона-Лейбница.

68. Замена переменной и интегрирование по частям при вычислении определённого интеграла.

69. Нахождение определённых интегралов от чётных и нечётных функций , заданных на симметричных отрезках

70. Несобственные интегралы 1-ого рода и их вычисление.

71. Несобственные интегралы 2-ого рода и их вычисление

72. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённых интегралов.

73. Нахождение объёмов тел при помощи определённых интегралов. Принцип Кавальери.

74. Вычисление длины дуги плоской кривой.

75. Дифференциал дуги плоской кривой и кривизна этой кривой в точке.

76. Вычисление площади поверхности вращения с помощью определённого интеграла.

77. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости числовых рядов.

78. Ряд геометрической прогрессии.

79. Гармонический ряд.

80. Свойства сходящихся числовых рядов.

81. Сравнение числовых рядов.

82. Предельный признак сходимости числовых рядов.

83. Достаточный признак сходимости Даламбера положительных числовых рядов.

84. Достаточный признак Коши сходимости неотрицательных числовых рядов.

85. Интегральный признак сходимости числовых рядов.

86. Знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница.

87. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Вейерштрасса.

88. Теорема Римана для условно сходящихся рядов.

89. Свойства сходящихся числовых рядов.

90. Умножение абсолютно сходящихся числовых рядов.

91. Функциональные ряды и область сходимости функционального ряда.

92. Степенной ряд и область его сходимости.

93. Теорема Абеля для степенных рядов.

94. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

95. Свойства степенных рядов.

96. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.

97. Достаточное условие разложимости функции в стенной ряд Тейлора.

98. Правило разложения функций в степенной ряд Маклорена.

99. Ряды Тейлора и Маклорена для основных элементарных функций.

100. Приложения степенных рядов для основных элементарных функций.

101. Периодические функции и их свойства.

102. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье для функции.

103. Теорема Дирихле о разложимости функции в ряд Фурье.

104. Разложение функций в ряд Фурье с основным периодом 2p.

105. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом l¹p.

106. Разложение функций в неполные тригонометрические ряды.

107. Разложение в ряды Фурье непериодических функций.

Литература

№	Автор	Название	Издательство	Год издания

6.1.1	Бугров Я.С.	Высшая математика. В 3 т.: Т.1	М. : Дрофа
6.1.2	Пискунов Н.С.	Дифференциальное и интегральное исчисления Т.1	М. : Интеграл-Пресс	2005.
6.1.3	Пискунов Н.С.	Дифференциальное и интегральное исчисления Т.2	М. : Интеграл-Пресс	2005.
6.1.4	Гмурман В.Е.	Теория вероятностей и математическая статистика	М. : Высш. шк.
6.1.5	Данко П.Е.	Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1	М. : ОНИКС 21 век: Мир и Образование
6.1.6	Данко П.Е.	Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2	М. : ОНИКС 21 век: Мир и Образование
6.1.8	Зубков А.Н., Павлова М.Н	Неопределенный интеграл и методы его вычисления.	ДГТУ - Ростов н/Д
6.1.9	Зубков А.Н., Павлова М.Н	Кратные интегралы и их приложение	ДГТУ - Ростов н/Д
6.3.2	Ефимов С. В.	Пределы. Техника дифференцирования	ДГТУ. - Ростов н/Д
6.3.4	Горяинов В. Б.	Математическая статистика	М. : Изд-во МГТУ
6.4.1	Гмурман В.Е.	Руководство к решению задач по теории вероятностей и математатической статистике	М. : Высш. шк..
6.4.2	Шевченко Н.П.	Алгебра и аналитическая геометрия	ДГТУ. - Ростов н/Д
6.4.3	Ворович Е.И.	Учебно-методическое пособие по подготовке к интернет экзамену	ДГТУ. - Ростов н/Д
6.4.4	Шипачев В.С.	Задачник по высшей математике	М. : Высш. шк.
6.6.1	Абуев Ф.Л.	Программа и варианты контрольных работ для студентов первого курса заочного факультета	ДГТУ. - Ростов н/Д
6.6.2	Шевченко Н.П.	Программа, варианты и методические указания к контрольным работам для студентов второго курса заочного факультета	ДГТУ. - Ростов н/Д

Вариант контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки (нуль соответствует варианту №10)

Контрольная работа №1

Задание№1.

Вычислить пределы:

Вариант 1. Вариант 2.

2. 2.

3. 3.

4. 4. .

5. 5.

Вариант 3. Вариант 4.

2. 2.

3. 3.

4. . 4.

5 5.

Вариант 5. Вариант 6.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 7. Вариант 8.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Вариант 9. Вариант 10.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

Задание №2.

Вариант 1.

1. Найти производную функции:

Вариант 2.

1. Найти производную функции:

Вариант 3.

1. Найти производную функции:

Вариант 4.

1. Найти производную функции:

Вариант 5.

1. Найти производную функции:

Вариант 6.

1. Найти производную функции:

Вариант 7.

1. Найти производную функции:

Вариант 8.

1. Найти производную функции:

Вариант 9.

1. Найти производную функции:

Вариант 10.

1. Найти производную функции:

Задание №3.

Найти интегралы:

Вариант 1.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 2.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 3.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 4.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 5.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 6.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 7.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 8.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 9.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Вариант 10.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Задание №4.

Определить интервал сходимости ряда и исследовать сходимость на концах интервала.

1. .	6.
2. .	7.
3. .	8.
4. .	9. .
5. .	10. .

Задание № 5 Вариант 1. 1.Найти полный дифференциал функции двух переменных:

. 2.Исследовать на экстремум функцию: