Параллельный перенос. Вращение

Введение

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит простота данного метода, по сравнению с другими методами, ведь готовое решение может быть очень коротким.

В данной работе рассматривается применение комплексных чисел в планиметрии: описание преобразований плоскости, вывод некоторых формул для решения задач и доказательство некоторых свойств.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и библиографического списка. Во введении кратко описывается значение выбранной темы, цель работы и структура работы. В основной части рассмотрены преобразования плоскости с помощью комплексных чисел, условия принадлежности точек прямой и окружности, свойства ортоцентра треугольника и прямой Симсона треугольника, а также доказательство существования окружности и прямой Эйлера и примеры решения задач с помощью комплексных чисел. В заключении представлены выводы о применении комплексных чисел в планиметрии.

Параллельный перенос. Вращение

Любое комплексное число можно единственным образом отобразить на плоскости как точку М(x,y) или радиус-вектор точки M. Поэтому число z называют точкой или вектором.

Зафиксируем два комплексных числа и q=a+ib. Найдем их сумму , которая означает, что , т.е. что вектор совпадает с вектором (геометрический смысл сложения комплексных чисел). Поэтому данное равенство определяет параллельный перенос плоскости на вектор .

Пусть даны точки где а argB; A=t(cos+isin), где , Произведение двух комплексных чисел производится следующим образом:

) =

где а . Геометрически это обозначает, что точка C, характеризующаяся модулем , является образом точки A с модулем r при композиции поворота с центром O на угол и гомотетии с центром O и коэффициентом k=t. Поскольку , точка C будет также образом точки B при композиции поворота с центром O на угол , и гомотетии с центром O и коэффициентом . Для построения точки C удобно привлечь точку E, которая равна единице. Имеем:

и ориентированные углы EOA и BOC равны ; следовательно, треугольники EOA и BOC подобны, что позволяет построить точку C по точкам A,B и E.

Таким образом умножение комплексных чисел определяет центрально-подобное вращение плоскости, составляющееся из вращения вокруг т. O на угол в положительном направлении (в направлении против часовой стрелки) и центрально-подобного преобразования с коэффициентом подобия t. Если модуль комплексного числа t=1, то данное преобразование представляет собой вращение на угол .

Любое движение плоскости можно представить или как вращение вокруг фиксированной точки O, сопровождаемое параллельным переносом, или как симметрию относительно фиксированной прямой o, сопровождаемую вращением вокруг выбранной точки O и параллельным переносом. Таким образом каждое движение плоскости можно представить в виде:

или

Подобие и движение

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, при котором каждые две точки A и B отображены в такие две точки , что где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. В частности, при расстояния равны, т. е. подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом является подобием с коэффициентом

Фигура называется подобной фигуре F, если существует подобие, отображающее F в . В частности, подобные треугольники являются соответственными при подобии. Преобразование, обратное подобию с коэффициентом k, есть также подобие с коэффициентом. Существует два рода подобий плоскости. Подобие первого рода отображает каждый треугольник в одинаково ориентированный с ним (подобный) треугольник, а подобие второго рода меняет ориентацию каждого треугольника на противоположную.

Преобразование подобия плоскости задаётся тремя парами соответственных точек , , заданных так, что треугольник подобен треугольнику ABC. Однако если род подобия известен, то для его задания достаточно наличия двух пар соответственных точек.

По определению, треугольники называются подобными и одинаково ориентированными (подобие 1 рода) тогда и только тогда, когда углы ориентированы. С помощью комплексных чисел эти равенства можно записать так:

=arg