Необходимый признак экстремума.

Билет №1

1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определениеФункция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x(a;b) выполняется равенство F'(x)=f(x).Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const.Доказательство. Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф'(х)=f(x). Тогда для любого x(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))'=Ф'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом f(x)dx.

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая -окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из -окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0).

Необходимый признак экстремума.

Если непрерывная функция z=z(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) экстремум, то все ее частные производные первого порядка в этой точке или равны нулю или не существуют

Докозательство: Частная производная функции z=f(x,y) по x в точке P0(x0,y0) есть производная функции одной переменной (x)=f(x,y0) в точке x-x0. Но в этой точке функция (x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, ’(x0)=0 .Так как ’(x0)=f’x(x0,y0), то f’x(x0,y0)=0 Аналогично можно показать, что f’y(x0,y0)=0 . Теорема доказана.

Билет №2

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С[a;b] такая, что (от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем (от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл. Теорема при f(x)0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл.Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим xz. Итак, xz=f(x+x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: yz=f(x;у+y)–f(х;у).Если существует предел limx0(xz/x)=limx0((f(x+x;y)-f(x;y))/x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, z/x; f'x, f/x. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tg, где - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tg.

Билет №3

3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод).Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= F’(Ci)Xi=f(Ci)Xi, то есть F(b)-F(a)= f(Ci)Xi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при =maxXi0,получаем F(b)-F(a)=lim f(Ci)Xi, то есть (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). 19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая -окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0).Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из -окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0). 20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка).Пусть в стационарной точке (X0;Y0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X0;Y0) значения A=f''xx(X0;Y0), B=f''xy(X0;Y0), C=f''yy(X0;Y0). Обозначим =|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если >0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если <0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) экстремума не имеет. В случае =0 экстремум в точке (X0;Y0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №4 4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них).Определённым интегралом по отрезку [a;b] от функции f(x) называется предел интегральной суммы f(ci)xi, если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (xi) стремится к нулю, т.е (от a до b) f(x)dx=lim xi0 f(ci)xi.Свойства: 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то (от a до b) с*f(x)dx=с*(от a до b) f(x)dx. Доказательство. Составим интегральную сумму для функции с*f(x). Имеем с*f(ci)xi=с*f(ci)xi. Тогда lim n с*f(ci)xi=c*lim n f(ci)=с*(от a до b) f(x)dx. Отсюда вытекает, что функция с*f(x) интегрируема на [a;b] и справедлива формула (от a до b) с*f(x)dx= с*(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f1(x) b f2(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и (от a до b) (f1(x)+f2(x))dx=(от a до b) f1(x)dx+(от a до b) f2(x)dx. 3)(от a до b) f(x)dx= -(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то (от a до b) f(x)dx=(от a до c) f(x)dx+ (от c до b) f(x)dx.5)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С[a;b] такая, что (от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). 6)Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл (от a до b) f(x)dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)0 на отрезке [a;b], то (от a до b) f(x)dx0. 7)Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a;b], (a<b) можно интегрировать. Так, если f1(x)f2(x) при x[a;b], то (от a до b) f1(x)dx (от a до b) f2(x)dx. 8)Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). 9)Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: |(от a до b) f(x)dx|(от a до b) |f(x)|dx; a<b. 10)Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть ((от a до x) f(t)dt)'x=f(x). 21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение, формула для вычисления, вывод формулы вычисления).Предел Liml0(u/l) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z) .u/l=Liml0(lu/l)=(u/x)*cos+(u/y)*cos+(u/z)*cos.Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: u=(u/x)x+(u/y)y+(u/z)z+E1x+E2y+E3z, где E1, E2, E3 стремятся к нулю при l0. Разделим всё равенство на l. u/l=(u/x)(x/l)+(u/y)(y/l)+(u/z)(z/l)+E1(x/l)+E2(y/l)+E3(z/l). x/l=cos; y/l=cos; z/l=cos. Равенство можно представить так: u/l=(u/x)cos+(u/y)cos+(u/z)cos+E1cos+E2cos+E3cos. Перейдя к пределу, получим u/l=Liml0(lu/l)=(u/x)*cos+(u/y)*cos+(u/z)*cos.

Билет №5

1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определениеФункция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x(a;b) выполняется равенство F'(x)=f(x).Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const.Доказательство. Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф'(х)=f(x). Тогда для любого x(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))'=Ф'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом f(x)dx.

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая -окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0).Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из -окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0). 20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка).Пусть в стационарной точке (X0;Y0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X0;Y0) значения A=f''xx(X0;Y0), B=f''xy(X0;Y0), C=f''yy(X0;Y0). Обозначим =|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если >0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если <0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) экстремума не имеет. В случае =0 экстремум в точке (X0;Y0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №6

3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод).Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= F’(Ci)Xi=f(Ci)Xi, то есть F(b)-F(a)= f(Ci)Xi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при =maxXi0,получаем F(b)-F(a)=lim f(Ci)Xi, то есть (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке.Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: z=A*x+B*y+*x+*y, где =(x;y)0 и =(x;y)0 при x0 и y0.

11. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x;y) и непрерывностью функции z=f(x;y) в точке (формулировка, доказательство). Если функция z=f(x;y) дифференцируема в точке М(x;y), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные. Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение х. Функция получит приращение у. Найдем limx0(y). limx0(y)= limx0((y*x)/x))= limx0(y/x)* limx0(x)=f'(x0)*0=0. Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.

Билет №7

2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку. Пусть на отрезке [a;b] задана функция y=f(x)0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c1)x1+f(c2)x2+..+f(cn)xn=f(ci)xi=Sn. C уменьшением всех величин xi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что =maxxi0: S=lim n Sn=lim n(0) f(ci)xi, то есть S=(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается (от a до b) f(x)dx. Таким образом, (от a до b) f(x)dx=lim n(0) f(ci)xi.

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая -окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из -окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0).

Необходимый признак экстремума.

Если непрерывная функция z=z(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) экстремум, то все ее частные производные первого порядка в этой точке или равны нулю или не существуют

Докозательство: Частная производная функции z=f(x,y) по x в точке P0(x0,y0) есть производная функции одной переменной (x)=f(x,y0) в точке x-x0. Но в этой точке функция (x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, ’(x0)=0 .Так как ’(x0)=f’x(x0,y0), то f’x(x0,y0)=0 Аналогично можно показать, что f’y(x0,y0)=0 . Теорема доказана.

Билет №8

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С[a;b] такая, что (от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем (от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл. Теорема при f(x)0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл.Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим xz. Итак, xz=f(x+x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: yz=f(x;у+y)–f(х;у).Если существует предел limx0(xz/x)=limx0((f(x+x;y)-f(x;y))/x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, z/x; f'x, f/x. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tg, где - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tg.

 

Билет №9

5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). Доказательство. Так как для любого x[a;b] имеем mf(x)M, то (от a до b) mdx (от a до b) f(x)dx(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). Геометрический смысл. Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и M.

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение).Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1. Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.

18. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной неявно.Неявно. F(x;y;z) в точке Mo(Xo;Yo;Zo).K: (F/x)|M0(X-X0)+(F/y)|M0(Y-Y0)+(F/z)|M0(Z-Z0)N: (X-X0)/(F/x)|M0=(Y-Y0)/(F/y)|M0=(Z-Z0)/(F/z)|M0

Билет №10

3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод).Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= F’(Ci)Xi=f(Ci)Xi, то есть F(b)-F(a)= f(Ci)Xi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при =maxXi0,получаем F(b)-F(a)=lim f(Ci)Xi, то есть (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке. Определение полного дифференциала dz и его форма.Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: z=A*x+B*y+*x+*y, где =(x;y)0 и =(x;y)0 при x0 и y0. Главная часть приращения функции z=f(x;y), линейная относительно x и y, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz: dz=A*x+B*y. dz=(z/x)dx+(z/y)dy.

Билет №11

4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них).Определённым интегралом по отрезку [a;b] от функции f(x) называется предел интегральной суммы f(ci)xi, если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (xi) стремится к нулю, т.е (от a до b) f(x)dx=lim xi0 f(ci)xi.Свойства: 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то (от a до b) с*f(x)dx=с*(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f1(x) b f2(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и (от a до b) (f1(x)+f2(x))dx=(от a до b) f1(x)dx+(от a до b) f2(x)dx. 3)(от a до b) f(x)dx= -(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то (от a до b) f(x)dx=(от a до c) f(x)dx+ (от c до b) f(x)dx.5)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С[a;b] такая, что (от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). 6)Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл (от a до b) f(x)dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)0 на отрезке [a;b], то (от a до b) f(x)dx0. 7)Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a;b], (a<b) можно интегрировать. Так, если f1(x)f2(x) при x[a;b], то (от a до b) f1(x)dx (от a до b) f2(x)dx. 8)Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). 9)Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: |(от a до b) f(x)dx|(от a до b) |f(x)|dx; a<b. 10)Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть ((от a до x) f(t)dt)'x=f(x).

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке.Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: z=A*x+B*y+*x+*y, где =(x;y)0 и =(x;y)0 при x0 и y0.

12. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x,y) существованием частных производных в точке (формулировка, доказательство).Теорема: Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют конечные частные производные, числено равны А и В Дано: z=Ax+Вy+0() Доказать: (z/x(x0;y0)=A Доказательство: Дадим x0x, y=y0 =>xz=(A*x+0(x). =(x2+y2)=x. xz/x=A+0(x)/x. Limx0 (xz/x)=lim[A+0(x)/x]=A. z/x(x0;y0)=A. Аналогично: Y0y, x=x0=>yZ. z/y(x0;y0)=B.

Билет №12

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (формулировка, доказательство).Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть ((от a до x) f(t)dt)'x=f(x). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: (от a до x) f(t)dt=F(t)|(от a до x)=F(x)-F(a). Следовательно, ((от a до x) f(t)dt)'x=(F(x)-F(a))'x=F'(x)-0=f(x). Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл.Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим xz. Итак, xz=f(x+x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: yz=f(x;у+y)–f(х;у).Если существует предел limx0(xz/x)=limx0((f(x+x;y)-f(x;y))/x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, z/x; f'x, f/x. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tg, где - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tg.

Билет №13

2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку. Пусть на отрезке [a;b] задана функция y=f(x)0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c1)x1+f(c2)x2+..+f(cn)xn=f(ci)xi=Sn. C уменьшением всех величин xi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что =maxxi0: S=lim n Sn=lim n(0) f(ci)xi, то есть S=(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается (от a до b) f(x)dx. Таким образом, (от a до b) f(x)dx=lim n(0) f(ci)xi.

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение).Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1. Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.

18. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной неявно.Неявно. F(x;y;z) в точке Mo(Xo;Yo;Zo).K: (F/x)|M0(X-X0)+(F/y)|M0(Y-Y0)+(F/z)|M0(Z-Z0)N: (X-X0)/(F/x)|M0=(Y-Y0)/(F/y)|M0=(Z-Z0)/(F/z)|M0

Билет №14

5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). Доказательство. Так как для любого x[a;b] имеем mf(x)M, то (от a до b) mdx (от a до b) f(x)dx(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). Геометрический смысл. Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и M.

8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл.Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим xz. Итак, xz=f(x+x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: yz=f(x;у+y)–f(х;у).Если существует предел limx0(xz/x)=limx0((f(x+x;y)-f(x;y))/x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, z/x; f'x, f/x. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tg, где - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tg.

Билет №15

3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод).Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= F’(Ci)Xi=f(Ci)Xi, то есть F(b)-F(a)= f(Ci)Xi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при =maxXi0,получаем F(b)-F(a)=lim f(Ci)Xi, то есть (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).

8. Частные приращения функции z=f(x;y). Частные производные: определение и их геометрический смысл.Пусть задана функция z=f(х;у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим xz. Итак, xz=f(x+x;y)–f(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: yz=f(x;у+y)–f(х;у).Если существует предел limx0(xz/x)=limx0((f(x+x;y)-f(x;y))/x), то он называется частной производной функции z=f(x;y) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: z'x, z/x; f'x, f/x. Геометрический смысл. Графиком функции z=f(x;y) является некоторая поверхность. График функции z=f(x0;y0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у=у0. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной, заключаем, что f'x(x0;y0)=tg, где - угол между осью Ох и касательной, проведённой к кривой z=f(x0;y0) в точке M0(x0;y0;f(x0;y0)). Аналогично f'y(x0;y0)=tg.

Билет №16

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С[a;b] такая, что (от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем (от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл. Теорема при f(x)0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение).Предел Liml0(u/l) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).

22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение).Вектор с координатами (u/x; u/y; u/z) называется градиентом функции u=f(x;y;z) и обозначается gradU=(u/x; u/y; u/z). gradU=(u/x)*i+(u/y)*j+(u/z)*k.

Билет №17

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом (формулировка, доказательство).Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть ((от a до x) f(t)dt)'x=f(x). Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: (от a до x) f(t)dt=F(t)|(от a до x)=F(x)-F(a). Следовательно, ((от a до x) f(t)dt)'x=(F(x)-F(a))'x=F'(x)-0=f(x). Это означает, что определённый интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

9. Полное приращение функции z=f(x;y). Непрерывность функции z=f(x;y) в точке (два определения).Пусть задана функция z=f(x;y). Дадим независимой переменной х приращение х, а переменной у приращение у. Тогда полное приращение z функции определяется равенством: z=f(x+x;y+y)-f(x;y). 1)Функция z=f(х;у) называется непрерывной в точке М0(х0;у0) D(z), если её предел в этой точке совпадает со значением функции в данной точке, т.е. limXX0\YY0(f(x;y))= f(x0;y0). 2)Функция z=f(х;у) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества

Билет №18

1. Первообразная функция. Теорема о разности двух первообразных (с доказательством). Неопределенный интеграл: определение, простейшие свойства неопределённого интеграла (с доказательством одно из них).Функция F(x) называется первообразной функцией f(x) на интервале (a;b), если для любого x(a;b) выполняется равенство F'(x)=f(x).Теорема. Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (a;b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С=const.Доказательство. Функция F(x)+C является первообразной f(x). Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=f(x). Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функция f(x), т.е. Ф'(х)=f(x). Тогда для любого x(a;b) имеем (Ф(х)-F(x))'=Ф'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0. А это означает, что Ф(х)-F(x)=C, C=const. Следовательно, Ф(x)=F(x)+C.Множество всех первообразных функций F(x)+C для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом f(x)dx.Свойства: 1) Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции d(f(x)dx)=f(x)dx, (f(x)dx)'=f(x).d(f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F'(x)dx=f(x)dx. и (f(x)dx)'=(F(x)+C)'=F'(x)+0=f(x).2) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: dF(x)=F(x)+C.dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx=F(x)+C.3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: af(x)dx=af(x)dx.4) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: (f(x)±g(x))dx=f(x)dx±g(x)dx.5) (Инвариантность формулы интегрирования). Если f(x)dx=F(x)+C, то и f(u)du=F(u)+C, где u=(x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

22. Градиент функции u=u(x;y;z) в точке (определение, свойства). Связь между производной по направлению и градиентом функции (обоснование).Вектор с координатами (u/x; u/y; u/z) называется градиентом функции u=f(x;y;z) и обозначается gradU=(u/x; u/y; u/z). gradU=(u/x)*i+(u/y)*j+(u/z)*k. Свойства: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, где u*v - скалярные произведения векторов u и v. Связь. Пусть задана функция u=u(x;y;z) и поле градиентов gradU=(u/x)*i+(u/y)*j+(u/z)*k. Тогда производная u/l по направлению некоторого вектора l равняется проекции вектора GradU на вектор l.

 

Билет №19

4. Определение определённого интеграла по отрезку. Основные свойства определённого интеграла по отрезку (с доказательством одно из них).Определённым интегралом по отрезку [a;b] от функции f(x) называется предел интегральной суммы f(ci)xi, если этот предел существует и не зависит ни от деления отрезка [a;b]на части, ни от выбора точек t внутри каждой из частей при условии, что длина наибольшего из частичных отрезков (xi) стремится к нулю, т.е (от a до b) f(x)dx=lim xi0 f(ci)xi.Свойства: 1)Если с - постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то (от a до b) с*f(x)dx=с*(от a до b) f(x)dx. Доказательство. Составим интегральную сумму для функции с*f(x). Имеем с*f(ci)xi=с*f(ci)xi. Тогда lim n с*f(ci)xi=c*lim n f(ci)=с*(от a до b) f(x)dx. Отсюда вытекает, что функция с*f(x) интегрируема на [a;b] и справедлива формула (от a до b) с*f(x)dx= с*(от a до b) f(x)dx.2)Если функции f1(x) b f2(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и (от a до b) (f1(x)+f2(x))dx=(от a до b) f1(x)dx+(от a до b) f2(x)dx. 3)(от a до b) f(x)dx= -(от b до a) f(x)dx. 4)Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то (от a до b) f(x)dx=(от a до c) f(x)dx+ (от c до b) f(x)dx.5)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С[a;b] такая, что (от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a). 6)Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a;b], где a<b, то интеграл (от a до b) f(x)dx имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x)0 на отрезке [a;b], то (от a до b) f(x)dx0. 7)Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a;b], (a<b) можно интегрировать. Так, если f1(x)f2(x) при x[a;b], то (от a до b) f1(x)dx (от a до b) f2(x)dx. 8)Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). 9)Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: |(от a до b) f(x)dx|(от a до b) |f(x)|dx; a<b. 10)Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть ((от a до x) f(t)dt)'x=f(x).

17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (определение). Теорема о существовании касательной плоскости (формулровка, доказательство).Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1.Нормалью к поверхности в точке М называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной плоскости.Теорема. Если F/x; F/y; F/z определены в окрестности точки Мо и непрерывны в самой точке М0 и одновременно в нуль не обращаются, то все касательные прямые к линиям на поверхности лежат в одной плоскости. Доказательство. L: система(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Касательная прямая (M0;P) y=(x'(t0); y'(to); z'(t0)). LQ (поверхность). F(x(t), y(t), z(t))=0 сложная функция переменной t. пользуемся правилом дифференцируемости сложной функции: (F/x)*(dx/dt)+(F/y)*(dy/dt)+(F/z)*(dz/dt)=0; (F(M0)/x)*x'(t0)+(F(M0)/y)*y'(t0)+(F(M0)/z)*z'(t0)=0; g=(x'(t0),y'(t0),z'(t0)); обозначим n=(F(M0)/x; F(M0)/y; F(M0)/z); ng. Поскольку через данную точку можно провести бесконечное множество линий, лежащих на поверхности, а к ним бесконечное множество касательных прямых, следовательно все касательные прямые лежат в одной плоскости.

 

Билет №20

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С[a;b] такая, что (от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем (от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл. Теорема при f(x)0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

9. Полное приращение функции z=f(x;y). Непрерывность функции z=f(x;y) в точке (два определения).Пусть задана функция z=f(x;y). Дадим независимой переменной х приращение х, а переменной у приращение у. Тогда полное приращение z функции определяется равенством: z=f(x+x;y+y)-f(x;y). 1)Функция z=f(х;у) называется непрерывной в точке М0(х0;у0) D(z), если её предел в этой точке совпадает со значением функции в данной точке, т.е. limXX0\YY0(f(x;y))= f(x0;y0). 2)Функция z=f(х;у) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества

Билет №21

5. Теорема об оценке определённого интеграла по отрезку (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Оценка интеграла. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b], (a<b), то m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). Доказательство. Так как для любого x[a;b] имеем mf(x)M, то (от a до b) mdx (от a до b) f(x)dx(от a до b) Mdx. Получаем: m(b-a)(от a до b) f(x)dxM(b-a). Геометрический смысл. Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и M.

21. Производная функции u=u(x;y;z) по направлению l (определение, формула для вычисления, вывод формулы вычисления).Предел Liml0(u/l) называется производной функции u(x;y;z) по направлению вектора l в точке с координатами (x;y;z).u/l=Liml0(lu/l)=(u/x)*cos+(u/y)*cos+(u/z)*cos.Предположим, что функция u(x;y;z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D: u=(u/x)x+(u/y)y+(u/z)z+E1x+E2y+E3z, где E1, E2, E3 стремятся к нулю при l0. Разделим всё равенство на l. u/l=(u/x)(x/l)+(u/y)(y/l)+(u/z)(z/l)+E1(x/l)+E2(y/l)+E3(z/l). x/l=cos; y/l=cos; z/l=cos. Равенство можно представить так: u/l=(u/x)cos+(u/y)cos+(u/z)cos+E1cos+E2cos+E3cos. Перейдя к пределу, получим u/l=Liml0(lu/l)=(u/x)*cos+(u/y)*cos+(u/z)*cos.

Билет №22

3. Вычисление определенного интеграла по отрезку. Формула Ньютона-Лейбница (вывод).Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) - какая-либо её первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a). Эта формула является формулой Ньютона-Лейбница.Рассмотрим тождество: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=(F(xn)-F(xn-1))+(f(xn-1)-F(xn-2))+…(F(x2)-F(x1))+(F(x1)-F(x0)). Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа: f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a). Получим F(b)-F(a)=F’(cn)(xn-xn-1)+F’(cn-1)(xn-1-xn-2)+F’(c2)(x2-x1)+F’(c1)(x1-x0)= F’(Ci)Xi=f(Ci)Xi, то есть F(b)-F(a)= f(Ci)Xi, где Ci есть некоторая точка интервала (Xi-1,Xi). Так как функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равной определенному интегралу от f(x) на [a;b]. Переходя к пределу при =maxXi0,получаем F(b)-F(a)=lim f(Ci)Xi, то есть (от a до b) f(x)dx=F(b)-F(a).

19. Определение точки максимума и минимума функции z=f(x,y). Точка (X0;Y0) называется точкой максимума функции z=f(x;y), если существует такая -окрестность точки (X0;Y0), что выполняется неравенство f(x;y)<f(X0;Y0). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x;y), отличных от (X0;Y0), из -окрестности точки (X0;Y0) выполняется неравенство f(x;y)>f(X0;Y0).

20. Достаточный признак существования экстремума функции z=f(x;y). (формулировка).Пусть в стационарной точке (X0;Y0) и некоторой её окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (X0;Y0) значения A=f''xx(X0;Y0), B=f''xy(X0;Y0), C=f''yy(X0;Y0). Обозначим =|AB; BC|=AC-B^2. Тогда: 1)если >0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) имеет экстремум: максимум, если A<0; минимум, если A>0; 2)если <0, то функция f(x;y) в точке (X0;Y0) экстремума не имеет. В случае =0 экстремум в точке (X0;Y0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Билет №23

2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определённого интеграла по отрезку. Определение определённого интеграла по отрезку. Пусть на отрезке [a;b] задана функция y=f(x)0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу - осью Ох, сбоку прямые x=a и x=b, называется криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. f(c1)x1+f(c2)x2+..+f(cn)xn=f(ci)xi=Sn. C уменьшением всех величин xi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимаемся предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что =maxxi0: S=lim n Sn=lim n(0) f(ci)xi, то есть S=(от a до b) f(x)dx. Итак, определённый интеграл от неопределённой функции численно равен площади криволинейной трапеции.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b] на численные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a;b] и обозначается (от a до b) f(x)dx. Таким образом, (от a до b) f(x)dx=lim n(0) f(ci)xi.

17. Касательная плоскость к поверхности (определение).Касательной плоскостью к поверхности в точке М называется плоскость, проходящая через эту точку поверхности, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку М и любую другую точку М1 поверхности, стремится к нулю при М стремящимся к М1.

18. Уравнения касательной плоскости к поверхности, заданной явноЯвно. z=f(x;y) в точке Mo(Xo;Yo;Zo).K: (z/x)|M0(X-X0)+(z/y)|M0(Y-Y0)-(Z-Z0)=0

 

 

 

 

Билет №24

6. Теорема о среднем (формулировка, доказательство, геометрический смысл).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка С[a;b] такая, что (от a до b) f(x)dx=f(c)*(b-a).Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем (от a до b) f(x)dx=F(x)|(от a до b)=F(b)-F(a), где F'(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F'(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).Геометрический смысл. Теорема при f(x)0 имеем простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором С (a;b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число f(c)=1/(b-a)(от a до b) f(x)dx называется средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

10. Определение дифференцируемой функции z=f(x;y) в точке.Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: z=A*x+B*y+*x+*y, где =(x;y)0 и =(x;y)0 при x0 и y0.

12. Свойство дифференцируемой функции: связь между дифференцируемостью функции z=f(x,y) существованием частных производных в точке (формулировка, доказательство).Теорема: Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют конечные частные производные, числено равны А и В Дано: z=Ax+Вy+0() Доказать: (z/x(x0;y0)=A Доказательство: Дадим x0x, y=y0 =>xz=(A*x+0(x). =(x2+y2)=x. xz/x=A+0(x)/x. Limx0 (xz/x)=lim[A+0(x)/x]=A. z/x(x0;y0)=A. Аналогично: Y0y, x=x0=>yZ. z/y(x0;y0)=B