Тік брышты облыс жадайында ос интегралды айталанан интеграла келтіру.
ПНДЕРДІ ОУ-ДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
«Математикалы талдау 2»
B010900-Математика мамандыы шін
ОУ -ДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР
Семей
МАЗМНЫ
1 Глоссарийлар…………..…………………………………………………….3
2 Дріс оулар …………………………………………………………………7
3 Практикалы сабатар........…………………………………………………31
4 Студентті здік жумысы...................………………………………………45
ГЛОССАРИЙ
| № | Жаа ымдар | Мазмны |
| Аныталмаан интеграл | Негізгі интегралды таблицасы.
1.  2. 
3.  4. 
5.  6. 
7.  8. 
9.  10. 
11.  12. 
13.  14. 
15.  16. 
17.
 18. 
19. 
20. 
21. 
22.  23.  24. 
| |
| Екі айнымалы функция z = f(x, y). Экстремум |  - бірінші ретті дербес туындылары
 - толы дифференциал
Дифференциал арылы жуытап есептеу
  - екінші ретті дербес туындылары.
Экстремума зерттеу: 1)  , P(  )
2) егер  , мндаы   онда экстремум Р нетсінде бар, егер  , онда экстермум болмайды. Егер  , онда P( ) максимум . Егер  , онда P( ) - минимум
| |
| Екі еселі интеграл |    ,  айталаан интеграла кшу
 поляр координттара кшу
 беттін ауданы
 жазы фигураны ауданы
 - ауыру центрі
| |
| ш еселі интеграл |  айталаан интеграла кшу
 .
Сфералы координаттара кшу
 .
Цилиндрлік координаттара кшу
 . – денені клімі
 денені массасы
 моменты инерции
| |
| исы сызыты интегрладар | 1) Бірінші типті исы сызыты интеграл.
С исыы еркінше параметрлік тедеулермен берілсін
 
С исыы айындалан y=y(x) (a  x b) тедеумен берілген
 
2) Екінші типті исы сызыты интеграл.
С =(AB) исыы параметрлік тедеулермен берілген болсын.
Енді исы айындалан y=y(x) тедеумен берілген
3)  +  =  Грин формуласы.
| |
| Беттік интегралдары | 1) Беттік интегралды екі еселі интеграла келтіру
 -
Бірінші типті бетті к интегралы
2) 
- Екiншi типті беттік интегралы
3) 
Стокс формуласы.
4)  -Остроградский
формуласы
| |
| Фурье атарлары |  аралыында
 - Фурье атары
 ,  , 
 аралыында
 - Фурье атары
 
| |
| ріс теориясыны элементтері | 1)  скаляр ріс берілсін.
 U скаляр шаманы градинент
2)  баыты бойынша туындысы
 ротор деп аталады
3)  векторлы рісті дивергенция
4) Онда Гаусс– Остроградский
|
векторлы рістін циркуляциясы
ДРІС ОУЛАР
Дріс сабатарды рылымы
ДРІС. Цилиндрлік кесекті клемі туралы есеп. ос интегралды анытамасы. ос интегралды бар болуыны шарты. Интегралданатын функциялар кластары. ос интегралдарды асиеттері.
1. Екі еселік интегралды анытамасы жне есептеу. Жоары жаынан z=f(x,y) бетпен, бйір жаынан жасаушысы z осіне параллель цилиндрлік бетпен, аырында, тменгі жаынан xy жазытыындаы (P) жазы фигурамен оршалан (V) дененні арастырамыз. Осы денені V клемін табу керек.
Бл есепті шешу шін интегралды есептеудегі дадылы тсілді олданамыз: ізделетін шаманы элементар бліктерге бледі, рбір блігін жуы есептейді, оларды жинатап, соынан шекке кшеді. Осы масатпен (P) (P1), (P2), …, (Pn) блшек облыстара юлеміз жне осы блшек облыстары табаны болатын цилиндрлік баандарды арастырамыз. Бл цилиндрлік жиыны берілген денені рады.
Жеке баандарды клемін есептеу шін рбір (Pi) фигурадан еркінше бір 
нктеден аламыз. Егер рбір баанды жуытап биіктігі f апликатаа те наыз цилиндр деп алса, онда блек баанны жуы клемі
f Pi
кбейтіндіге те болады. Мндаы Pi фигураны ауданы н крсетеді. Бл жадайда барлы денені клеміні жуы рнегі
болады.
Бл тедікті длдігін арттыру шін (Pi) облыстарды санын кбейтіп, лшемін кішірейтетін боламыз. (Pi) облыстарды е лкен диаметрі нольге мтыландаы шегінде бл дл тедік болып шыады, сондатан
болады жне есеп осымен шешіледі. 
f(x,y) осы трдегі шек функциясынан (P) облысы бойында алынан ос интеграл болады. Ол мына символмен белгілінеді
Жоары клем шін табылан формула мына трге келеді
V=
ос интегралды бар болуыны шарты. Интегралданатын функция ажетті трде шектелген болуы керек. Блай болмаан жадайда кез келген тсілмен (P) облысын блшек облыстара блгенде , нктелерді тандап алу есебінен интегралды осындыны алауымызша лкен етуге болады, сондытан оны шектеулі I шегі болмай алады.
Берілген f(x,y) функциясыны интегралдану шарттарын арауа кшкенде, алдымен оны шектелген функция деп йаратын боламыз 
. Бір аінымалыны функциясыжадайындаыдай , бл жерде де сондай а Дарбуды тменгі жне жоары осындыларын енгізу олайлы болады 
, 
, мндаы 
жне 
облысындаы f(x,y) функциясыны мндеріні дл тменгі жне дл жоары шекараларын белгілейді.
(P) облысы берілгени тсілмен блшек облыстара блінгенде нктелеріні тадап алынуына байланыссыз, мына тесіздіктер орындалатын болады 
.
Дарбуны жоары жне тменгі осындылары облысты блуді сол тсіліне сйкес интегралды осындыларды дл жоары жне тменгі шекаралы болып табылады.
1 асиет. Облысты блшек облыстара блетін сызытара таы жана сызытар осып , (Pi) блшектерді одан рі сатаанда, Дарбуды тменгі осындысы кемімейді, ал жоары осындысы артпайды.
2 асиет. Дарбуды рбір тменгі осындысы рбір жоары осындысынан артпайды, тіпті бл жоары осныдысы (P) облысын баса тсілмен блгеннен пайда болса да.
Теорема. ос интеграл болу шін 
болуы ажетті жне жеткілікті немесе басаша белгілеулерде
(1) ,
- мнда f(x,y) функциясыны (Pi) блшек облыстаы 
тербелесі.
Интегралданатын функциялар кластары.
1. (P) облысындаы рбір здіксіз f(x,y) функциясы интегралданатын болады.
Расында, егер f(x,y) функциясы (P) облыста здіксіз болса, онда бір алыпты здіксіздікті асиеті бойынша рбір 
санына сйкес 
саны табылады жне диаметрі 
дан кіші (Pi) бліктерге блінген болсын. Сонда барлы тербелістер 
нен кіші болады жне 
осыдан (1) шартты орындалуы шыады.
Лемма. (P) облыста ауданы 0 ге те бір (L) исыы берілсін. Сонда рбір санына сйкес саны табылады жне (P) облысы тек ана диаметрі дан кіші бліктерге блінгенде (L) исыымен орта нктелері болатындарыны аудандарыны осындысы нен кіші болады.
2. Егер шектелген f(x,y) функциясы тек ауданы 0 ге те саны шектеулі исытарда зілісті болса , онда ол интегралданатын болады.
Еркінше санын алайы. йару бойынша f(x,y) функциясыны барлы «зіліс сызытарын» жалпы ауданы нен кіші болатын (Q) кп брышты облысты ішіне орналастыруа болады. Саны шектеулі (L) сыны сызы облысты шекарасы болады. Жне оны да ауданы 0 ге те болады.
(P) ден ішкі (Q) облысын бліп шыараннан кейін алан тйы облыста f(x,y) функциясы ттасынан здіксіз, демек , бір алыпты здіксіз. Сондытан алдын ала берілген санына сйкес саны табылады жне диаметрі 
ден кіші осы облысты р блігінде f(x,y) функциясыны тербілісі нен кіші болады.
Енді лемма бойынша , о 
санын табуа болады, р ашан (P) облысын еркінше исытармен диметрлері осы ден кіші болатын етіп бліктерге блгенде , сол бліктерді (L) сыныына тиісетіндеріні аудандарыны осындысы нен кіші болады. , сандарыны е кіші болсын. (P) облысын диметрлері дан кіші болатын (P1), (P2), …, (Pn) бліктерге блеміз жне сйкес 
осындыны арастырамыз. Бл осынды екі осындыа бліп жазамыз
+ 
белгі ттасымен (Q) облысыны сыртында жататын 
облыстара сйкес деп , ал 
белгі алан басаларына сйкес деп йарамыз. Осы осындыларын райсысын жеке мдарлаймыз.
Сондытан 
болады. Баса жаынан егер барлы (P) облысындаы f(x,y) функциясыны тербелісін 
арылы белгілесек , онда 
тесізідігі табылады.
Аырында 
боланда 
болып шыады. Бл тесіздікті о жаы мен бірге еркінше аз боландытан (1) шарт орындалатын болады.
ос интегралды асиеттері.
1. Егер ауданы 0 ше те кейбір (L) сыныы бойында (P) облыста интегралданатын f(x,y) функциясыны мнін алауымызша згертсек, онда жаадан табылан фуекция да (P) облысында интегралданатын болады жне оны интегралы f(x,y) функциясыны интегралына те болады.
2. Егер f(x,y) функциясы берілген (P) облысы ауданы 0 ге те (L) исыымен 
жне 
екі облыса блінген болса, онда f(x,y) функциясыны ттас (P) облысында интегралданатындыынан оны жне блшек облыстарында да интегралданатындыы келіп шыады жне керсінше жне облыстарда функцияны интегралданатындыынан (P) облысында интегралданатындыы келіп шыады. Сонымен 
болады.
3. Егер (P) облысында интегралданатын f(x,y) функциясын траты к а те кбейтсек, онда шыатын функция да сондай а интегралданатын болады жне сонымен бірге 
болады.
4. Егер (P) облысында f(x,y) жне g(x,y) фунцкиялары интегралданатын болса, онда f(x,y) 
g(x,y) фунцкиясыда интегралданаьтын болады. Жне 
болады.
5. Егер (P) облысында интегралданатын f(x,y) жне g(x,y) фунцкиялар шін f(x,y) g(x,y) тесізідігі орындалатын болса онда 
орындалады.
6. f(x,y) функциясы интегралданатын жадайда 
функциясы да интегралданатын болады жне 
тесізідігі орындалады.
7. Егер (P) облысында интегралданатын f(x,y) функциясы тесізідікті анааттандыратын болса, онда 
тесіздігі орындалады.
ДРІС. ос интегралды есептеу. Тік брышты облыс жадайында ос интегралды айталанан интеграла келтіру. исы сызыты облыс жадайында ос интегралды айталанан интеграла келтіру
Бірінші семестрде денені клемін оны клденеимасы бойынша есептеуге берілген есеппен кездестік. Осыан атысты формуланы еске тсірейік. Дене 
жне 
жазытытармен оршалан болсын , х абциссаа 
сйкес болатын , х сіне перпендикуляр жазытыпен иандаы денені имасыны ауданы 
деп йарайы. Сонда денен клемі , бар болатын болса, мына формуламен рнектеледі 
. Енді осы формуланы алдыны сз болан цилиндрлік кесекті клемін есептеуге олданамыз. Кесекті табаны 
тік тртбрыш болан жадайдан бастаймыз. 
жазытыы иятын кесекті имасы исы сызыты трапеция болады. Оны ауданы табу шін бл фигураны проекциясын 
жазытыына тсшреміз. Сонда зімен те трапециясын тауып аламыз. исы сызыты трапеция ауданыны аныталан интеграл тріндегі белгілі рнегімен пайдаланып, мынаны жазамыз 
. Бізді болжауымыз кез келген имаа жарамды болатындытан , жалпы аланда ушін 
болады . Осы формуланы клемін формулаа ойанда мына формуланы табамыз V= 
. Біра клем V шін біздін рнегіміз де бар сондытан = .
Сонымен ос интеграл айталанан интеграла келтірілді. ХУ жазытыындаы (Р) облысы 
екі исыпен жне жне екі ординатамен оршалан исы сызыты трапеция болан жалпы жадай шін де осыан сас нтижені тауып алуа болады. арастырылыан жадайданайырмасы тек мынау – брын кез келген белгілеп алынан де у 
аралыында ана згеретін еді, ал енді ол аралыты зі 
ге туелді болады 
Сондытан 
болады. Аырында мынаны табамыз V= = 
.
Тік брышты облыс жадайында ос интегралды айталанан интеграла келтіру.
Теорема. Егер (P) тік тртбрышта (a x b, c y d) аныталан f(x,y) функциясы шін
(1)
ос интегралы бар болса жне a x b интервалындаы х – ті рбір траты мнінде жай интеграл
, (a x b) (2)
бар болса, онда сонымен атар айталанан интеграл (3)
бар болады жне 
(4)
тедік орындалатын болады.
Дллдеме. (P) тік тртбрышта анытайтын 
жне араытарды нктелерімен бліктерге блеміз
Сонда (P) тік тртбрыш мынадай дербес 
тік тртбрыштара блінеді.
жне 
арылы f(x,y) функциясыны 
тік тртбрыштаы сйкес дл тменгі жне дл жоары шекараларын белгілейміз. Сондытан осы тік тртбрышты барлы (x,y) нктелері шін 
тесізідігі орындалатын болады. 
аралыынан х ті алауымызша белгілеп алып : 
жне у бойынша 
дейін интегралдап мына тесіздігін табамыз 
. Мнда 
, у бойынша интеграл бар болады, себебі бкіл араыында (2) интеграл бар деп йарылан. Осыан сас тесіздіктерді к бойынша 0 ден 
ге дейін жинатап тменгі тесіздікті табамыз 
Егерде осы тесіздіктерді барлы бліктерін 
ге дейін жинатайтын болса мынау шыады 
Ортада тран шама 
функциясы шін интегралды осынды. Ал шеткі мшелеріне келсек, олар (1) ос интеграл шін Дарбуды s жне S осындылары болады. 
расында тік тртбрышты 
ауданы баландытан мысалы 
болады.
Сонымен атыында шыатыны 
Егер енді жне 
бір уаытта 0 ге мтылса , онда (1) ос интегралды бар болуы себепті, s жне S екі осындыны екеуі де ос интеграла шегі ретінде мтылатын болады. Мндай жадайда жне 
= болады , яни (1) ос интеграл сонымен бірге функциясыны интеграл интегралы болып табылады.
Сонымен теорема длелденді.