Исы сызыты облыс жадайында ос интегралды айталанан интегрлаа келтіру.
Теорема. Егер (P) облысында аныталан f(x,y) функциясы шін 
ос интегралы бар болса жне a 
x b интервалындаы х – ті рбір траты мнінде жай интеграл
, (a x b) бар болса, онда сонымен атар айталанан интеграл
бар болады жне 
тедік орындалатын болады.Х жне у айнымалыларыны рольдерін згерте отырып осы формуламен атар мына формула орындалады
жне 
ДРІС. ос интегралдарда айнымалыларды ауыстыру
Жазы облыстарды трлендіру. Біреу х жне утік брышты осьтеріне , ал екіншісі сондай 
жне 
осьтеріне атысты алынан екі жазыты берілген дейік. Осы жазытытардаы шектелген екі тйы облысты арастырамыз. Мынадай ос интегралды арастырамыз: ху жазытытаы (D) облысыын жне облысында 
облысын. Бл облыстарды расысыны контуры немесе шекарасы жай зінді тегіс исы деп йарамыз. (D) облысыын контурын (S) символымен жне облысыны контурын 
символымен белгілейміз.
облысында здіксіз функциялар системасы 
(1)
берілген дейік. Бл система облысыны рбір ( , ) нктесіне (D) облысынын бір белгілі 
нктесін сйкес жне де (D) облысынын бір нктесі деп алып оймайды, сондытан бл облыстын рбір нктесі облысыны кемінде бір ( , ) нктесіне сйкес келетін болады.
Егер ртрлі ( , ) нктелерге р трлі нктелері сйкес келетін болса, онда рбір нктесі тек бір ана ( , ) нктесіне сйкес келеді, ендеше (1) тедеулер жне а атысты бір мнді шешілген болады жне айнымалылары (D) облысында х,у тердібір мнді функциялар болады
(2). Сйтіп (D) жне облыстарыны арасында з ара бір мнді немесе бір бір мнді сйкестік таайындалады. Сонымен атар (1) формулалар облысын (D) облысына трлендіреді , ал (2) формулалар (D) облысын облысына керісінше трлендіреді деп те айтады. Бл жадайда ажетті трде контурыны нктелеріне (S) контурыны нктелері сйкес келетіндігін жне керісінше болатындыын ескертеміз. Одан рі (1) функциялар здіксіз ана болып оймай , облысында здіксіз бірінші ретті дербес туындылары болады деп йарамыз. Сонда функцияоналды анытауыш та 
(3)
облысында ( , ) ларды здіксіз функциясы болады. Бл анытауыш рашан 0 ге те емес деп есептейміз, ал ендеше здіксіз боландытан траты табасын сатайтын болады.
, мнда (D) облысы арапайым зінді тегіс (S) контурымен оршалан, ал f(x,y) функциясы осы облыста здіксіз. D облысы {a<х<b, j1(x)<y<j2(х)}.
Енді х = f(u, v); y = j(u, v) болсын . Сонда исы сызыты координатталар системасында (D) фигураны ауданын рнектейтін формуланы барлы шарттар орындалан деп есептейміз.
Онда dx = 
; dy = 
;
йткені х айнымалы трыты боландытан dx = 0.
Мына рнекті 
, яни 
Жоары тедеуге ойанда dy, ті аламыз:
Якобиан деп аталадыf(u, v) жне j(u, v) функциялара
Онда 
Егер интегралдау ретін згертесек онда
