ДРІС. Бірінші типті исы сызыты интегрладар. Екінші типті исы сызыты интеграл. ГРИН ФОРМУЛАСЫ.

1. Бірінші типті исы сызыты интегралдар. Бл ыма келу шін соан келтіретін бір механикалы есепті арастырайы. исы С берілсін. Бл исыты бойында массалар орналасан жне оларды сызыты тыыздыы исыты барлы М нктелерінде болсын. Ттас исыты С m массасын анытау керек болады.

Бл шін исыты А жне В штарыны аралыына алауымызша нктелерді ондырамыз.

исыты доасынан бір нктесін алып, сол нктедегі тыыздыты есептейміз. Осы участокты барлы нктелерінде тыызды нктесіндегідей деп есептеп жне доаны зындыын деп белгілеп, бл доаны массасы шін

жуы рнек тауып аламыз, ал ізделіп отыран бкіл масса шін

рнегі табылады.

Осы осындыны нольге мтыландаы шектеулі шегін фукнкциясына исы бойынша немесе С жолы бойынша алынан бірінші типті исы сызыты интегралы деп аталады жне

символымен белгіленеді. Мндаы s доаны зындыы жне ds шамасы элементар зындытарды жреді.

Стіп, материалды исыты массасы шін жоарында табылан рнекті былай айта жазуа болады:

Енді С исыы еркінше параметрлік тедеулермен берілсін

мндаы жне функциялары здеріні жне туындыларымен бірге здіксіз жне исыты еселік нктелері жо деп йарамыз. Сонда исы дейі тзуленуші болады егер t параметрді суіне s= = s(t) доаны суі сйкес келсе, онда

болады. Жне

Сонымен бірінші типті исы сызыты интегралды есептеу шін интеграл астындаы функцияда х жне у айнымалылардын координаталарды параметр арылы рнектерімен, ал ds кбейткішті параметрді функциясы трде доаны дифференциалымен ауыстыру керек.

Айындалан y=y(x) (a x b) тедеумен берілген исы болан жадайда формула мына трге келеді

 

2. Екінші типті исы сызыты интегралдар. (AB) жай исы берілсін жне таы оны бойында кейбір f(x,y) функциясы берілсін болсын. исыты нктелермен блімшелерге бліп, ысыты кесіндісінен еркінше нктесін тадап аламыз жне брын жасаанымыз сияты осы нктедегі функцияны мнін есептейміз. Біра бл мнді бл жолы доаны зындыына кбейтпей, оны, айталы х осіндегі проекциясына, яни -ге кбейтеміз. Содан кейін

интегралды осындыны рамыз.

0- ге мтыландаы осы осындыны шектеулі I шегін f(M)dx- ті исытын бойымен алынан немесе (AB) жол бойынша алынан екінші типті исы сызыты интегралы деп атайды жне

символмен белгілейді.

Осыан сас, мнді -ге кбейтпей, -ге кбейтіп, яни доаны у осіндегі проекциясына кбейтіп жне

осындыны рып, осыны шегі трінде f(M)dy – ті екінші типті исы сызыты интегралын тауып аламыз

Бл интегралдарды осындысы исы сызыты интеграл деп атайды жне мына трде жазады

С =(AB) исыы параметрлік тедеулермен берілген болсын. Онда исы сызыты интегрлады мына формуламен есептейді

 

Енді интеграл айындалан y=y(x) тедеумен берілген исыты бойымен алынан болсын жне де а-дан b – ге дейін х згерегенде нктені исыты бойымен жылжуы А – дан В- ге дейін болатын болсын.