Формула полной вероятности

Условная вероятность

Пусть имеется вероятностное пространство (W,U, P). Рассмотрим два события A и B, причем P(B)>0.

Определение. Условной вероятностью события A при условии, что событие B произошло, называется число

. (2.1)

Условную вероятность еще обозначают P_B(A). Фактически условная вероятность при условии выполнения события В рассматривается в новом вероятностном пространстве, где “комплексу условий проведения опыта” (см. начало п.1.1) добавляется еще одно условие, что событие В произошло. Тогда новое пространство элементарных событий будет подмножеством W, алгебра событий и вероятности изменятся.

Пример. Рассмотрим опыт К1 событие А – “выпало число, большее трех“. Вероятность Р(А) = 3/6 = 1/2. Пусть событие В – “выпало четное число” произошло. Тогда пространством элементарных событий в новых условиях является {2, 4, 6}. Вероятность события А при условии, что событие B произошло, равно по классическому определению вероятности 2/3, так как число всех элементарных событий в новом пространстве элементарных событий равно 3 и два элементарных события 4 и 6 благоприятствуют событию А. Теперь эту условную вероятность вычислим по определению:

В = {2, 4, 6} Þ Р(В) = 3/6 = 1/2; AB = {4, 6} Þ Р(АВ) = 2/6 = 1/3.

.

Как видно, результаты совпали.

Независимость событий.

Определение.Два события A и B называются (вероятностно) независимыми, если

Р(АВ) = Р(А)Р(В) (2.2)

Пусть P(B)>0, A и B независимы. Тогда в силу равенства (2.2) выполняется равенство . Из этого следует, что если события A и B независимы, то вероятность Р(А) не зависит от того, произошло ли событие В или нет.

В теории вероятности применяется принцип: если события А и В причинно независимы, то они независимы вероятностно.

Докажите утверждение: если события А и В независимы, то независимы пары событий А и , В и .

Теперь определим понятие независимости нескольких событий.

Определение. События A₁, A₂ , …, А_n (n ³ 2) называются независимыми (в совокупности), если для любого сочетания по k (2 £ k £ n) из этих событий выполняется равенство

.

Формула умножения вероятностей.

Если события A₁, A₂ , …, А_n (n ³ 2) независимы, то из определения независимости следует формула умножения вероятностей

.

Эта формула читается так: вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению их вероятностейи носит название формулы умножения вероятностей.

Теперь рассмотрим формулу вероятности произведения событий для произвольных событий. Из формулы (2.1) следует

(2.3)

Обобщение этой формулы для n (n ³ 2) событий приводит к формуле

.

Формула полной вероятности

Пусть для событий H₁, H₂ , …, H_n (n ³ 2) выполнены два условия:

1) они попарно несовместны и имеют ненулевые вероятности;

2) .

Тогда верна формула полной вероятности:

(2.4)

События H₁, H₂ , …, H_n называются гипотезами, а смысл равенства состоит в том, что событие А может произойти только с одним из гипотез.

Выведем эту формулу. Так как события АН_i (i = 1, …, n ) несовместны, то по формуле сложения вероятностей и формуле (2.3) имеем

,

что и требовалось доказать.

Задача 2.1 В магазин поступили однотипные телевизоры с 1-го завода 10 шт., со 2-го завода 15 шт. Вероятность изготовить бракованный телевизор на 1-м заводе равна 0,1, на 2-м – 0,2. Случайно отобрали один из поступивших телевизоров. Какова вероятность того, что он бракованный?

Решение. Введем события:

А – «Выбранный телевизор оказался бракованным»,

Н₁– «Выбранный телевизор изготовлен на 1-м заводе»,

Н₂– «Выбранный телевизор изготовлен на 2-м заводе»,

Гипотезы Н₁, Н₂ несовместны и событие А может произойти только с одним из них. Значит можно применить формулу полной вероятности.

P(Н₁)=10/25 = 2/5=0,4; P(A/Н₁) = 0,1;

P(Н₂)=15/25 = 3/5=0,6; P(A/Н₂) = 0,2.

Формула Байеса

При выполнении для гипотез H₁, H₂ , …, H_n и события А условий 1) и 2) п. 2.3 верна формула Байеса:

, i = 1, …, n. (2.5)

По этим формулам вычисляются так называемые апостериорные вероятности гипотез, то есть вероятности гипотез после того как событие А произошло. Безусловные вероятности гипотез Р(Н_i) называются априорными.

Задача 2.2При условиях задачи из 2.1 найти вероятность гипотез Н₁, Н₂ ,если известно, что отобранный телевизор оказался бракованным.

Решение.Используя результаты вычислений из решения задачи 2.1, по формуле Байеса имеем:

Как видим, апостериорная вероятность гипотезы Н₁ уменьшилась по сравнению априорной вероятностью. Объяснение простое: поскольку на первом заводе брака делается в два раза меньше, чем на втором, а выбранный телевизор оказался бракованным, то, естественно, вероятность того, что он из 1-го завода уменьшится.

Схема и формула Бернулли

Схема Бернулли – это независимое многократное повторение одного и того же опыта, который имеет два противоположных события: успех и неудача.

Введем обозначения:

p – вероятность успеха,

q = 1– p – вероятность неудачи,

n – число повторения опыта (n ³ 2),

k – число успехов в n повторениях опыта (k = 0,1, …, n).

Вероятность появления k раз успеха в n независимых повторениях опыта вычисляется по формуле Бернулли:

, (2.6)

где – число сочетаний из n по k.

Вывод формулы Бернулли. Результатом n независимых повторений опыта является произведение n успехов и неудач в совокупности: , где – либо успех, либо неуспех. Если в этом произведении k успехов и n–k неудач, то по формуле умножения вероятностей

.

Два события вида , имеющие ровно k успехов отличаются тем, что успехи располагаются на разных местах. Если выписать подряд номера мест, соответствующие успехам, то получим сочетание из n по k. Таким образом, событий вида , имеющих ровно k успехов, ровно . Следовательно, по формуле сложения вероятностей

,

где суммирование осуществляется по всем событиям вида , имеющим ровно k успехов.

Пример 2.1. Пятикратное подбрасывание монеты является схемой Бернулли с параметрами n = 5, p =0.5, q = 0.5. По формуле Бернулли

Пример 2.2. В аппаратуре работают независимо 1000 однотипных элементов. Вероятность выхода каждого из них за время работы T равна p = 0.005. Эту ситуацию можно рассматривать как схему Бернулли с n = 1000, p =0.005, q = 0.995. Обратите внимание на то, что успехом здесь является “негативное” событие – “Элемент вышел из строя за время работы T”.

По формуле Бернулли Нетрудно понять, что вычисление этого выражения затруднительно. Поэтому необходимы приближенные формулы для вычисления вероятностей .