Закон сохранения механической энергии

а) для материальной точки теорема об изменении кинетической энергии.

Если точка движется в потенциальном силовом поле

Следовательно:

или

Величина Е = П +Т называется полной механической энергией точки.

Принцип Даламбера

Имеем систему из n точек. Под действием сил (входят активные силы и реакции связей) точка ( ) получает ускорение (по отношению к инерциальной системе отсчета).

Введем в рассмотренную величину , имеющую размерность силы.

называют даламберовой силой инерции или просто силой инерции.

(эту сумму надо отличать от переносной и кориолесовой силы инерции, вводимых при рассмотрении относительного движения).

Тогда движение точки обладает следующим, общим свойством, если в каждый момент времени к силам прибавить силы инерции, то полученная система будет уравновешенная

(14.1)

Это положение выражает принцип Даламбера для точек. Оно вытекает из 2-го закона Ньютона ( )

Применяя аналогичные рассуждения к каждой точке механической системы, для механической системы получаем принцип Даламбера.

Если в любой момент времени к каждой точке механической системы, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующие даламберовские силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения статики.

Из статики известно, что при равновесии системы сил геометрической суммы всех сил и геометрической суммы всех моментов относительно любой точки О равны нулю.

(14.2)

Введем обозначения:

- главный вектор сил инерции точек системы

- главный момент сил инерции точки системы относительно центра О.

по свойству внутренних сил.

Получим:

В любой момент времени для механической системы геометрическая сумма главных векторов задаваемых сил и сил инерции равна нулю, их геометрическая сумма главных моментов внешних сил и сил инерции равна нулю.

Можно записать: (14.3)

Внутренние силы не входят.

Приведение сил инерции точки твердого тела к простейшему виду.

В динамик за центр приведения выбирают обычно точку С – центр масс.

Тогда в результате приведения сил инерции к центру масс получается сила равная главному вектору сил инерции точек твердого тела и пара сил с моментом равным главному моменту сил инерции точек твердого тела относительно центра масс.

(14.4)

радиусы-векторы, проведенные во всех точках тела в/з центра масс.

- количество движения системы .

Продифференцируем это выражение по времени.

или

Поэтому получим (при любом движении твердого тела)

(14.5)

Определяем главный момент сил инерции точек тела относительно центра масс.

Поступательное движение.

т.к. радиус-вектор центра масс относительно центра масс равен нулю.

При поступательном движении силы инерции точек твердого тела приводятся к равнодействующей, приложенной в центре масс, равной по модулю произведению массы тела на модуль ускорения его центра масс и направленной противоположно этому ускорению.

2. Плоское движение твердого тела.

Тело имеет плоскость материальной симметрии и движется параллельно ей. Вследствии симметрии главный вектор и результирующая пара сил инерции, так же как и центр масс С тела лежат в плоскости симметрии.

Из (14.3) из уравнений плоского движения

, отсюда заключаем

рис

Система сил инерции приводится к результирующей силе, равной

и приложенной в центре масс тела и лежащей в плоскости симметрии паре сил, момент которой равен .

3. Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела (тело имеет плоскость материальной симметрии).

Частный случай предыдущего и тогда . Получим, что система сил инерции приводится к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии тела и имеющей момент

рис

Если ось не проходит через точку С, то и как известно, из статики можно заменить одной силой, равной и приложенной по линии действия отстоящей от точки приведения на расстоянии

Аналитическая механика.

Связи и их классификация.

Условия, ограничивающие свободу перемещения точек механической системы, называются связями.

Математически связи могут быть выражены уравнениями или неравенствами, в которые входят время, координаты точек системы и их производные по времени.

Для одной точки уравнение связи в общем случае может быть выражено в форме

(1) .

Для механической системы:

(2) s = 1 … l.

Если в уравнение входят (2) входят только координаты точек, то связь называется геометрической

Если входят и производные по времени, то – кинематической.

Из геометрической связи всегда дифференцированием можно получить связи кинематические, а из кинематической связи путем интегрирования - геометрические, но это не всегда возможно, т.к. дифференциальные уравнения не всегда могут быть проинтегрированы.

Все геометрические и интегрируемые кинематические связи называют голономными, а неинтегрируемые кинетические связи неголономными.

Связи, в уравнение которых время не входит явно, называют стационарными или склерономными. Если время входит в уравнение связи явно, то связь называют нестационарной или реономной.

Связи называются неосвобождающими или двусторонними или они выражаются математически уравнениями и освобождающими или односторонними, если они выражаются неравенствами. рис

Связи можно разделить на реальные и идеальные, к идеальным относятся связи без трения.

Несвободная механическая система.

Перемещение точки несвободной механической системы не могут быть совершенно произвольными, т.к. они ограничены имеющимися связями.

Силы, действующие на механическую систему, делят на задаваемые силы и реакции связей.

Задаваемые силы выражают действия на механическую систему тел, вызывающих или стремящихся вызвать определенное ее движение.

Реакции связей выражают действие связей, ограничивающих движение механической системы или препятствующих ему.

Возможные, виртуальные перемещения системы.

Возможным перемещением системы называется любая совокупность воображаемых бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент всеми положенными на системы связями.

Возможное перемещение точки и тела системы изображается элементарным вектором , направленным в сторону перемещения.

Для тела системы возможным перемещением будет также поворот его на бесконечно малый угол рис

Для точек системы в общем случае существует множество различных перемещений. Однако, для каждой системы в зависимости от характера наложенных на нее связей можно указать определенное число таких независимых перемещений, через которые всякое другое элементарное перемещение будет получаться как их геометрическая сумма.

Шарик на плоскости и перпендикулярны друг другу.

= +

Число независимых между собой возможных перемещений называется числом степеней свободы это системы «S».

Идеальные связи. рис

Сообщим системе возможно перемещение точек системы

, ,

Вычислим работу , , на этих перемещениях (эта работа называется виртуальной).

Если сумма работ реакции связи на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными.

. рисунки

1) Идеально гладкая поверхность

.

2) Цилиндрический шарнир без трения точки приложения силы неподвижна, поэтому работа равна нулю.

3) Нерастяжимая нить идеально жесткий стержень, абсолютно твердые тела.

нулю равны суммы работ реакций, с которыми одни точки стержня (тела) действуют на другие.

Негладкая плоскость не является идеальной связью. рисунки

.

Хотя эта связь не является идеальной ее можно рассматривать как идеальную, если силу трения из группы реакции связей перенести в группу задаваемых сил.

Шероховатая поверхность является идеальной связью, если тело катится без скольжения, тогда линия соприкосновения является мгновенной осью вращения (т.к. скорости этих точек равны нулю, то равны нулю и их перемещения).

Условие идеальной связи относится не только к двусторонним, но и к односторонним связям в последнем случае перемещения не должны быть освобождающими.

Принцип возможных перемещений.

В статике для определения реакций связей используются уравнения равновесия твердого тела. В сложных несвободных системах этот метод дает громоздкое решение.

В таком случае целесообразно применять принцип возможных перемещений (еще один общий принцип механики), который в общем виде устанавливает условия равновесия любой механической системы.

Для равновесия механической системы с идеальными двусторонними стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении равнялась нулю.

Докажем необходимость: Несвободная механическая система состоит из n точек и находится в равновесии, следовательно, силы, действующие на каждую точку, должны уравновешиваться

( )

рисунки

Мысленно сообщаем системе возможное перемещение. Точки системы переместятся при этом , , .

Вычислим работу сил, приложенных к каждой точке на возможном перемещении этой точки.

( )

Просуммировав все «n» уравнения получим

 

=0 (т.к. система с идеальными связями).

Окончательно:

Докажем достаточность: т.е. существование равновесия при выполнении равенства.

Рассуждаем от обратного. Пусть условие выполняется, но силы не уравновешиваются.

Пусть система сначала находилась в покое, но под действием системы неуравновешенных сил она придет в движение. Т.к. произойдет перемещение точек системы (а это перемещение мы может считать возможным, т.к. за малый промежуток времени перемещение будет малым) в направлении действия сил, то совершится положительная работа.

а это противоречит

Уравнение ( .2) можно записать иначе. В каждую точку из неподвижного центра О провести , то

- возможное приращение радиуса-вектора

Тогда: ( .3)

( .4)

Принцип возможных перемещений в случае движении системы. Общее уравнение динамики.

Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно принять к решению задач динамики.

На основании принципа Даламбера для несвободной механической системы в любой момент времени для всех ее точек справедливо.

( )

Если система получает возможное перемещение, при котором каждая точка , то

Суммируем n уравнений

Уравнение ( .5) называется общим уравнением динамики, что оно показывает, что в любой момент времени сумма работ всех задаваемых сил и сил инерции точек несвободной механической системы с идеальными двусторонними связями на любом возможном перемещении равна нулю.

Решение задач с использованием принципа возможных перемещений.

Для системы с 1 степенью свободы составляют 1 уравнение, если система имеет несколько степеней свободы, то условие равновесия нужно составлять для каждого из независимых перемещений системы в отдельности.

а) геометрический способ

1) изображают все активные силы.

2) сообщают системе возможное перемещение и показывают или

3) подсчитывают элементарные работы

4) устанавливается зависимость между и , выражают их через какую-нибудь одну.

б) аналитический способ. Используют формулы

Выбирают оси, связанные с телом, которые остаются неподвижными при возможных перемещениях. 1) Определяют затем находят дифференцированием координат по выбранному параметру.

Обобщенные координаты механической системы.

Число параметров (координат), определяющих положение механической системы, зависит от количества тел (точек), входящих в систему, и от числа и характера положенных связей.

Будем рассматривать только системы с геометрическими связями, налагающими ограничения на положения точек системы в пространстве, а не на их скорости.

Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые определяют положение этой системы, называют обобщенными координатами системы. В качестве обобщенных координат можно выбирать параметры, имеющие любую размерность и любой физический смысл (отрезки прямых q – обозначение обобщенных координат дуг, углы, площади).

Если число степеней свободы системы , то и ее положение определяется

Т.к. обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат также между собой независимы. рис

Декартовы координаты любой точки механической системы являются функциями обобщенных координат этой системы.

t если связи нестационарные

( )

( )

( )

( ).При движении системы ее обобщенные координаты будут с течением времени непрерывно изменяться.

, … . ( .2)

Уравнения ( .2) – уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Производные от обобщенных координат – обобщенные скорости

где

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенных координат.

q – линейная величина - линейная скорость

q – угол поворота - угловая скорость

q – площадь - секторная скорость

Обобщенные силы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек, на которую действуют силы .

Система имеет S – степеней свободы, ее положение определяется обобщенными координатами.

Сообщаем системе такое независимое возможное перемещение, при котором обобщенная координата получит приращение , а остальные координаты не изменяются.

Точки системы получат малые перемещения рис

Силы совершают элементарные работы на этих перемещениях

Отношение к приращению обобщенные координаты назовем обобщенной силой, соответствующей координате

( .3)

Обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называть скалярную величину, определяемую отношением элементарной работы действующих сил, на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением координаты , к величине этого приращения.

Равенство ( .3) можно представить в виде.

( .4)

Из ( .3) следует, что размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.

q – линейная величина Q – изменившаяся единица силы

q – угол Q – совпадает с размерностью момента

Обобщенные силы можно разделить

1) обобщенные внешние, обобщенные внутренние силы

2) обобщенные задаваемые, обобщенные реакции связей.

Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении.

. ( .5)

Выразим обобщенные силы через проекции сил на неподвижной оси декартовых координат. рис

( ) ( )

Чтобы найти обобщенную сумму , соответствующую обобщенной координате , сообщим - элементарное приращение , тогда

Сумма работ всех сил, действующих на систему, на возможных перемещениях точки , вызванных приращением координаты

т.к. , то в нашем случае получим:

( .6)

выразив скалярное произведение через проекции векторов сомножителей на декартовые оси, получим:

( .7)

Для обобщенной силы инерции

Случай сил, имеющих потенциал.

Проекции этих сил определяются по формулам

, ,

Подставим это в ( .7)

т.к. , ( )

( )

( ) , то

t

если связи нестационарные.

Найдем частную производную от потенциальной энергии П по обобщенной координате .

( .10)

Сравнивая ее с формулой

( )

В случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате , равна, взятой со знаком «-» частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате.