Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду.

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.15), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.16), - треугольником. В узлах 1, 2, 3 (потенциалы их _{1 , 2} и ₃) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).

Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3 через I₁, I₂ и I₃.

Часто при расчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.

Рис.2.15 Рис.2.16

 

Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I₁ I₂ и I₃ в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Для звезды

'(2.25)

Но

(2.26)

Подставим (2.26) в (2.25) и найдем ₀ :

откуда

(2.27)

Введем ₀ в выражение (2.26) для тока I₁:

(2.28)

Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.16

(2.29)

Так как ток I, в схеме рис. 2.15 равен току I , в схеме рис. 2.16 при любых значениях потенциалов _{1 , 2} и _{3 ,}то коэффициент при ₂ в правой части (2.27) равен коэффициенту при ₂ в правой части (2.26), а коэффициент при ₃ в правой части (2.27) - коэффициенту при ₃ в правой части (2.26).

Следовательно,

(2.30)

(2.31)

Аналогично

(2.32)

 

Формулы (2.30)-(2.32) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части; в знаменателе - сумма проводимостей лучей звезды.

Из уравнений (2.30)-(2.32) выразим сопротивления лучей звезды ; и через сопротивления сторон треуголь­ника: ; и

С этой целью запишем дроби, обратные (2.30)-(2.32):

(2.33)

где

(2.34)

(2.35)

(2.36)

Подставив (2.33), (2.35), и (2.36) в (2.34), поучим:

.

Следовательно,

,

Подставив m в (2.35), найдем

. (2.37)

Аналогично

; (2.38)

. (2.39)

Структура формул (2.37)-(2.39) аналогична структуре формул (2.30)-(2.32).

Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рассмотрев, например, рис. 2.17а, б. Схема до преобразования изображена на рис. 2.17а, штриховой линией обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.17б представлена та же схема после преобразования. Расчет токов произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для схемы на рис. 2.17а.

В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере рис. 2.17в,г. Схема до преобразования изображена на рис. 2.17в, штриховой линией обведена преобразуемая в треугольник звезда. На рис. 2.17г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений.

Рис.2.17