Соотношения между сторонами
Точки, прямые, отрезки.
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Прямая а и точки А и В.
| Если две прямые имеют общую
точку, то они пересекаются.
Прямая а и b пересекаются в точке О.
|
Две прямые либо имеют только одну общую точку,
либо не имеют общих точек.
|
Угол.
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
|
Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной
прямой.
Развёрнутый угол = 180º;
|
Неразвёрнутый угол < 180º .
|
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектриса угла.
|
Смежные и вертикальные углы
|
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.
‹АОВ + ‹ВОС = ‹АОС = 1800
|
Два угла ,называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
1 и 3, 2 и 4 – вертикальные углы.
|
Треугольники.
Треугольник – геометрическая фигура, которая состоит из 3 точек, не лежащих на одной прямой, соединённых отрезками.
РАВС = АВ+ВС+СА.
|
Теорема:Если 2 стороны и угол между ними 1-го треугольника соответственно равны 2 сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
|
Теорема: Из точки, не лежа-
щей на прямой, можно провести
перпендикуляр к этой, и притом
только один.
АН а
|
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
АМ - медиана
|
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
|
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
ВН - высота АВС.
|
Треугольник, у которого 2 стороны равны, называется равнобедренным.
| Теорема:В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
‹В = ‹С
|
Теорема:В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
| 1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и
биссектрисой.
2. Медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
|
Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
| Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
|
Определение: Окружность называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
|
Параллельные прямые
Определение: Две прямые на плоскости параллельны, если они не пересекаются.
| Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках.
Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6.
Односторонние – 4 и 5, 3 и 6.
Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.
|
Теорема: Если при пересечении 2 прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
| Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
|
Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.
| Теорема:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
|
Теорема:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
| Теорема: Если две прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.
|
Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
Теорема:Сумма углов треугольника = 180º.
| Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.
|
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
|
1.В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
2.Если два угла треугольника равны, то треугольник – равнобедренный.
| Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
|
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
|
1.Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника = 90º.
| 2. Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.
|
Теорема: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны
| Теорема: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
|
Многоугольники.
Сумма углов выпуклого n-угольника = (n-2)180º.
|
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
|
Свойства:
10. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
20. Диагонали параллелограмма точ- кой пересечения делятся пополам.
| Признаки:
10. . Если в 4-угольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник – параллелограмм.
20. Если в 4-угольнике противопо- ложные стороны попарно равны, то этот 4-угольник – параллелограмм.
30. Если в 4-угольнике диагональю пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот 4-угольник – параллелограмм.
|
Трапецией называется 4-угольник, у которого 2 стороны параллельны, а 2 другие стороны не параллельны.
|
Трапецией называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Свойства равнобедренной трапеции:
1. ‹А = ‹Д, ‹В = ‹С
2. АС = ВД
3. АВМ = ДСМ
| Ромбом называется параллело-грамм, у которого все стороны равны.
Свойство:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
|
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства:
1. Диагонали прямоугольника равны.
2.Если в параллелограмме диагонали равны,то этот пареллелограмм- прямоугольник.
| Квадратом называется прямо-
угольник, у которого все стороны равны.
Свойства:
1.Все углы квадрата прямые.
2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
|
Площадь.
1.Равные многоугольники имеют равные S.
2.S квадрата равна квадрату его стороны.
3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его S = сумме площадей этих многоугольников.
| Теорема: S прямоугольника равен произведению его смежных сторон.
S = a * b
|
Теорема: S параллелограмма равен произведению его основания на высоту.
S = AD *BH
| Теорема: S треугольника равен произведению его основание навысоту.
S = ½ АВ*СН
|
S прямоугольного треугольника = 1/2
произведения его катетов.
Формула Герона:
,
где р =1/2 (а + b + c)- полупериметр треугольника.
| Теорема: S трапеции = про- изведению полу суммы её оснований на высоту.
|
Теорема: (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c2=a2 + b2
| Теорема: Если квадрат 1ой
стороны треугольника = сумме
квадратов 2 других сторон, то
треугольник прямоугольный.
|
Подобные треугольники.
Определение: два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорционально сходственны сторонам другого.
АВ и А1В1, ВС и В1С1 , СА и С1А1 –сходственные стороны
|
Теорема: Отношение S 2ух подобных треугольников равен квадрату коэффициента подобия.
| |
Признаки подобия треугольников
|
Первый признак
Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие 3-угольники подобны.
| Второй признак
Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
|
Третий признак
Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональ-ны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
| Теорема: Средняя линия параллельна одной из его сторон и равна ½ этой стороны.
MN = ½ AC
|
Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которое делится гипотенуза этой высотой.
CD =
| Утверждение: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
AC =
|
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
|
sin острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin A =
| cos острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos A =
|
tg острого угла прямоугольного треугольника называетсяотношение противолежащего катета к прилежащему.
tg A =
| tg угла = отношению sin к cos
этого угла: tg = sin/ cos.
Основное тригонометрическое тождество:
sin2 + cos2=1.
|
Окружность.
Если расстояние от центра окруж ности до прямой < радиуса, то пря мая и окружность имеют 2 общие точки. Прямая является секущей.
| Если расстояние от центра окруж-
ности до прямой = радиуса, то пря-
мая и окружность имеют 2 общие
точки. Прямая является касательной
|
Если расстояние от центра окруж-
ности до прямой > радиуса, то пря мая и окружность не имеют общих точек.
| Теорема: Касательная к окруж- ности перпендикулярна к r, прове-
дённому в точку касания.
|
Свойство: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
АВ = АС, ‹3 = ‹4
| Теорема: Если прямая проходит
через конец r, лежащий на окруж-
ности, и перпендикулярна к этому
r, то она является касательной.
|
Градусная мера дуги окружности
|
Если дуга АВ окружности с центром
О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.
| Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается = 360°–<АОВ.
|
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
|
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
|
Теорема: Вписанный угол измеряя- ется ½ дуги, на которую он опирается.
| Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту же дугу, равны.
Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность- прямой.
|
Теорема: Если 2 хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
АЕ* ВЕ = СЕ* DE
| Теорема: Каждая точка бисс-ектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая
от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
MK = ML
|
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
| Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
|
Теорема: Каждая точка се-
рединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: Каждая точка, равноудалённая от концов отрез- ка, лежит на серединном перпен- дикуляре к нему.
Серединные перпендикуляры к сторо-
нам треугольника пересекаются в одной точке.
| Теорема: Высоты треугольника
(или их продолжения) пересекаются в одной точке.
|
Вписанная и описанная окружности
|
Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
|
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность.
| Замечания:
1. В 3-угольник можно вписать только одну окружность.
2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
|
Свойства: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
АВ + CD=a + b +c + d, DC +AD=a + b +c + d, AB + CD = BC + AD
| Теорема: Около любого треугольника можно описать
окружность.
|
Свойства: В любом вписанном 4-угольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Обратное: Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.
|
Векторы.
Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезкомиливектором.
| Нулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой
вектор считается коллинеарным любому вектору.
На рисунке векторы , , , , (вектор нулевой) колли-
неарны, а векторы и , a также и не коллинеарны.
|
Если 2 вектора направлены одинаково, то эти векторы – сонаправлены.
Обозначается : :
Если 2 вектора направлены противоположно, то они противоположно направлены.
Обозначается: :
| Определение: Векторы,
называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Обозначается: =
От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.
|
Теорема: для любых векторов:
, , справедливы равенства:
1. + = +
(переместительный закон);
2. ( + ) + = + ( + ) (сочетательный закон).
| Теорема: Для любых векторов и справедливо равенство
– = + (- ).
|
· Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
· Для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны.
| Для любых чисел k, l и любых векторов , справедливы равенства:
10.(k*l) =k(l* ) (сочетательный закон)
20.(k + l) =k + l (первый распределительный закон)
30 k( + ) = k + k ) (второй распределительный закон)
|
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
MN =
|
Метод координат.