Системи диференціальних рівнянь.

 

Лінійні ДР завжди можна звести до системи ДР першого порядку виду:

Задача Коші полягає у знаходженні розв’язку системи рівнянь, що задовольняє умови

.

Розглянемо ДР другого порядку

у² + 4у¢ + 3у = 0.

Вводимо дві нові змінні у₁ = у, у₂ = у¢. Тоді ДР можна записати у вигляді системи рівнянь

або у вигляді системи (35):

Ця система рівнянь має фундаментальну матрицю розв’язків

яка задовольняє матричне ДР

Знаючи фундаментальну матрицю розв’язків N(x), можна знайти фундаментальну матрицю розв’язків, нормовану в точці х₀:

Розв’язок задачі Коші має вигляд

.

Зауваження. Розв’язок системи лінійних ДР можна записати у вигляді

і матрицю е^Ах знайти як функцію від матриці.

Розв’язок системи рівнянь (34) можна шукати у вигляді

у_k = e^pxb_k (k = 1, 2, …, n).

Для пошуку сталих b_k (k = 1, 2, …, n) отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

Однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має ненульовий розв’язок, якщо визначник системи рівнянь дорівнює нулю:

.

Це рівняння називається характеристичним. Корені характеристичного рівняння є власними числами матриці А

Якщо рівняння має різні корені р₁, р₂, …, р_n, то система рівнянь має n різних розв’язків

і загальний розв’язок

Вектори

є власними векторами матриці А, що відповідає власним числам р₁, р₂, …, р_n.

Випадок, коли рівняння має кратні корені, нами не розглядається через його складність.

Знайдемо розв’язок системи ДР

Шукаємо розв’язок у вигляді

і для сталих b₁, b₂ дістаємо систему рівнянь:

Характеристичне рівняння

має корені р₁ = – 3, р₂ = –1. Відповідні власні вектори матриці коефіцієнтів мають вигляд:

.

Остаточно знаходимо загальний розв’язок системи ДР

який можна записати також у вигляді

.

 

2. Метод підстановки розв’язування систем ДР.

Для інтегрування системи можна застосувати метод, за допомогою якого ця система була зведена до рівняння. Цей метод називають методом виключення змінної.

Приклади

1. Розв'язати систему рівнянь

О Продиференціюємо перше рівняння:

Підставимо в це рівняння значення похідної у' із другого рівняння системи:

Знайшовши з першого рівняння значення у = x' + 7x і підставивши його в знайдене рівняння, дістанемо

Маємо лінійне однорідн е рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Інтегруючи його, одержуємо

Оскільки

Отже, загальний розв'язок даної системи має вигляд

 

•

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К. : А.С.К., 2005. – 648 с. : іл., ст. 487-493

 

Контрольні питання

 

1. Який вигляд має система диференціальних рівнянь?

2. У чому полягає метод підстановки розв’язування систем ДР?

3. Розв'язати систему рівнянь:

 

 

Самостійна робота № 22

 

Тема. Найпростіші властивості числових рядів.

 

Мета: знати властивості числових рядів, вміти застосовувати їх до дослідження рядів на збіжність.

 

Кількість годин: 2

 

План

 

1. Властивість про множення ряду на одне і те саме число.

2. Властивість про почленне додавання та віднімання рядів.

3. Властивість про збіжність (розбіжність) ряду в залежності від збіжності (розбіжності) його залишку.

4. Необхідна умова збіжності ряду.

5. Достатня умова розбіжності ряду.

 

 

1. Властивість про множення ряду на одне і те саме число.

Якщо ряд збіжний і має суму S, то ряд також збіжний і сума його дорівнює СS (C=const). Іншими словами, збіжний ряд можна множити почленно на одне і те саме число.

О Нехай

— частинні суми даних рядів. За умовою тому Отже, ряд збіжний і сума його дорівнює СS. •

2. Властивість про почленне додавання та віднімання рядів.

Збіжні ряди можна почленно додавати та віднімати, тобто якщо ряди збіжні і мають суми відповідно S та , то збіжними є також ряди і суми їх дорівнюють

О Нехай

— частинні суми відповідних рядів. Оскільки і за умовою , то

. •

 

3. Властивість про збіжність (розбіжність) ряду в залежності від збіжності (розбіжності) його залишку.

 

На збіжність ряду не впливав відкидання або приєднання до нього скінченної кількості членів.

О Нехай — частинна сума ряду (1), — сума m відкинутих членів (число членів n взяте таким великим, що всі відкинуті члени містяться в , — сума членів ряду, які містяться в і не містяться в Згідно із знайденою рівністю, границі в лівій і правій частинах одночасно існують або не існують, тобто ряд (1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжний (розбіжний) ряд без m його членів. • Розглянемо ряд (1) і покладемо

Величину r_n називають п-м залишком ряду (1), її можна розглядати як суму ряду, який утворюється з ряду (1) після відкидання перших n його членів.

Якщо ряд збіжний і

Справедливе і більш загальне твердження.

Ряд (1) збіжний (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збіжний (розбіжний) довільний його залишок.

 

 

4. Необхідна умова збіжності ряду.

 

Якщо ряд збіжний, то

О Нехай S —сума заданого ряду, тоді S, де . Проте тому •

Умова є тільки необхідною для збіжності ряду, але не достатньою. Це означає, що існують розбіжні ряди, для яких ця умова виконується.

 

5. Достатня умова розбіжності ряду.

 

Якщо то ряд , розбіжний.

Дійсно, якби даний ряд був збіжний, то за властивістю 5° його загальний член прямував би до нуля при , що суперечить умові. Приклади

Дослідити на збіжність ряди:

О а) Тут виконується необхідна умова збіжності:

проте ряд розбіжний. Дійсно,

тобто звідки Отже, ряд а) розбіжний.

б) Тут виконується достатня умова розбіжності:

тому ряд б) розбіжний.

в) Ряд збіжний як геометрична прогресія із знаменником

Таким чином, якщо то ніякого висновку про збіжність чи розбіжність ряду зробити не можна.

Потрібне додаткове дослідження, яке виконується за допомогою достатніх умов збіжності ряду. Якщо ж то ряд розбіжний.

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К. : А.С.К., 2005. – 648 с. : іл. , ст. 496-498

Контрольні питання

1. Які найпростіші властивості числових рядів?

2. Сформулювати необхідну ознаку збіжності ряду.

3. Сформулювати достатню ознаку розбіжності ряду.

4. Дослідити на збіжність ряди з додатними членами:

а) ; б) .

 

 

Самостійна робота № 23

 

 

Тема. Застосування степеневих рядів.

 

Мета: знати методи застосування степеневих рядів до наближених обчислень, наближених обчислень визначених інтегралів та наближених розв’язків диференціальних рівнянь, вміти їх застосовувати.

 

Кількість годин: 2

 

План

 

1. Наближене обчислення визначених інтегралів.

2. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь.

 

1. Наближене обчислення визначених інтегралів.

 

Обчислимо «неінтегровний» інтеграл

Знайдемо значення визначеного інтеграла

 

2. Наближене інтегрування диференціальних рівнянь.

 

Знайдемо розв’язок рівняння

відносно неявної функції у = y(x).

Шукаємо розклад у вигляді ряду

.

Підставляючи ряд у рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х нулю, приходимо до системи рівнянь

з якої знаходимо послідовно коефіцієнти

і розклад неявної функції у степеневий ряд

 

Список використаних джерел

 

1) Дубовик В. П. Вища математика: навчальний посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К. : А.С.К., 2005. – 648 с. : іл. , ст. 527-531

 

Контрольні питання

 

1. У чому полягає метод інтегрування функцій за допомогою рядів?

2. У чому полягає метод інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів?

3. Розвинути підінтегральну функцію в ряд і обчислити з точністю до визначений інтеграл .

4. Знайти три перших (відмінних від нуля) члени ряду, які є розв’язками диференціального рівняння: