Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значения различают тождественно истинные, тождественно ложныеивыполнимые формулы.
Тождественно истинныминазывают формулы, принимающие значения истины при любых— истинных или ложных—значениях составляющих их пропозициональных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.
Тождественно ложныминазывают формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональный переменных.
Выполненныминазывают формулы, которые могут принимать значения истинности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.
Второй язык — этоязык логики предикатов.Он применяется в логической системе, называемойисчислением предикатов, которая при анализе рассуждений учитывает не только истинностные характеристики логических связок, но и внутреннюю структуру суждений.
Предназначенный для логического анализа рассуждений, язык логики предикатов структурно отражает и точно следует за смысловыми характеристиками естественного языка. Основной смысловой (семантической) категорией языка логики предикатов является понятие имени.
Имя —это имеющее определенный смысл языковое выражение в виде отдельного слова или словосочетания, обозначающее или именующее какой-либо внеязыковой объект. Имя, как языковая категория, имеет, таким образом, две обязательные характеристики или значения: предметное значение и смысловое значение.
Предметное значение (денотат) имени— это один или множество каких-либо объектов, которые этим именем обозначаются. Например, денотатом имени «дом» в русском языке будет все многообразие сооружений, которые этим именем обозначаются: деревянные, кирпичные, каменные; одноэтажные и многоэтажные и т.д.
Смысловое значение (смысл, или концепт) имени— это информация о предметах, т.е. присущие им свойства, с помощью которых выделяют множество предметов. В приведенном примере смыслом слова «дом» будут следующие характеристики любого дома: 1) это сооружение (здание), 2) построено человеком, 3) предназначено для жилья.
Отношение между именем, смыслом и денотатом (объектом) можно представить следующей схемой: Имя ->Смысл ->Объект (денотат)
Это значит, что имя денотирует, т.е. обозначает объекты только через смысл, а не непосредственно. Языковое выражение, не имеющее смысла, не может быть именем, поскольку оно не осмысленно, а значит и не опредмечено, т.е. не имеет денотата.
Типы имен языка логики предикатов, определяемые спецификой объектов именования и представляющие собою его основные семантические категории, это имена: 1) предметов, 2) признаков и 3) предложений.
Имена предметовобозначают единичные предметы, явления, события или их множества. Объектом исследования в этом случае могут быть как материальные (самолет, молния, сосна), так и идеальные (воля, правоспособность, мечта) предметы.
По составу различают имена простые,которые не включают других имен (государство), исложные,включающие другие имена (спутник Земли). По денотату имена бываютединичныеиобщие. Единичное имя обозначает один объект и бывает представлено в языке именем собственным (Аристотель) или дается описательно (самая большая река в Европе). Общее имя обозначает множество, состоящее более чем из одного объекта; в языке оно бывает представлено нарицательным именем (закон) либо дается описательно (большой деревянный дом).
Имена признаков —качеств, свойств или отношений — называютсяпредикаторами.В предложении они обычно выполняют роль сказуемого (например, «быть синим», «бегать», «дарить», «любить» и т.д.). Число имен предметов, к которым относится предикатор, называется егоместностью.Предикаторы, выражающие свойства, присущие отдельным предметам, называютсяодноместными(например, «небо синее»). Предикаторы, выражающие отношения между двумя и более предметами, называютсямногоместными. Например, предикатор «любить» относится к двухместным («Мария любит Петра»), а предикатор «дарить» — к трехместным («Отец дарит книгу сыну»).
Предложения —это имена для выражений языка, в которых нечто утверждается или отрицается. По своему логическому значению они выражают истину либо ложь.
Алфавит языка логики предикатоввключает следующие виды знаков (символов):
1)а, в, с,...— символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называютпредметными постоянными, пли константами;
2)х,у,z, ... — символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называютпредметными переменными;
3)Р', О', R',...— символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называютпредикатными переменными;
4)р, q, г, ...— символы для высказываний, которые называют высказывательными, илипропозициональными переменными;
5) V, 3(?) — символы для количественной характеристики высказываний; их называюткванторами: V — квантор общности;он символизирует выражения — все, каждый, всякий, всегда и т.п.; 3 —квантор существования;он символизирует выражения — некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т.п.;
6) логические связки:
——КОНЪЮНКЦИЯ (СОЮЗ «И»);
V —— ДИЗЪЮНКЦИЯ (СОЮЗ «ИЛИ»);
—> —импликация (союз «если..., то...»);
= — эквиваленция, или двойная импликация (союз «если и только если..., то...»); .
(?)—отрицание («неверно, что...»). Технические знаки языка: (, ) — левая и правая скобки.
Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т.е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами — ППФ.ПонятиеППФвводится следующими определениями:
1. Всякая пропозициональная переменная —р, q, г,... естьППФ.
2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, являетсяППФ.А' (х), А2(х, у), А^х, у, z), А" (х, у,..., п), где А', А2, А3,..., А" — знаки метаязыка для предикаторов.
3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения VхА(х) и 3 хА(х) также будутППФ.
4. Если А и В — формулы (А и В — знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:
АВ,AvВ,А—В,А^В, -1А,1В также являются формулами.
5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1—4, не являютсяППФданного языка.
С помощью приведенного логического языка строится формализованная логическая система, называемая исчислением предикатов.