Дріс. Кейбір функцияларды интегралдау

Квадрат шмшелігі бар функцияларды интегралдау.Мына тмендегі интегралдарды табу дісін арастырайы жне .

) квадрат шмшелігіндегі коэффициентін жаша алдына шыарып, одан толы квадратты бліп аламыз;

) интеграла , алмастыруын енгіземіз;

) Оны екі интегралды осындысы етіп жазамыз. Сонда екі интегралымыз да кестелік интеграла келеді.

1- мысал.

Рационал функцияларды интегралдау.Рационал блшекті интегралдау деп, интегралын табуды айтады. Мндаы дрыс рационал блшек, яни . Егер болса, дрыс блшек деп, ал болса брыс блшек деп аталады. Брыс блшекті интегралдау шін алдымен алымын бліміне блу арылы оны кпмшелік пен дрыс блшекті осындысына жіктейміз. Мысалы, Одан рі арай тек дрыс рационал блшектерді интегралдауды арастырамыз.

Теорема.рбір дрыс рационал блшектімына арапайым блшектерді осындысы трінде жазуа болады:

1. 2. 3. 4. , мндаы А, В - натыкоэффициенттер; шмшелігіні наты тбірлері жо (яни ). арапайым блшектерді интегралдауды арастырайы.

мнінде .

интегралдау дісі жоарыда арастырылан.

. , мндаы жне бліміндегі квадрат шмшелікті дискриминанты . Квадрат шмшеліктен толы квадрат бліп алып , , алмастыруын жасаймыз. Сонда интегралын аламыз жне оны екі интегралдарды осындысы трінде жазамыз. Бірінші интерал -ны дифференциал астына енгізу арылы интегралданады:

Ал екінші интегралды деп белгілеп, тменгідей есептейміз:

Бл формуланы реккуренттік формула деп атайды. Реккуренттік формула арылы ні арылы, ал ті арылы таба отырып, е соында ны арылы табамыз.

2- мысал. табу керек. осыдан . , . Сонымен блшегінде болсын. рбір кпмшелігін бірінші жне екінші дрежелі кпмшеліктерді кбейтіндісіне жіктеп жазуа болады: ,

мндаы бтін сандар. Сонда дрыс блшек элементар блшектерге тменгідей жіктелінеді :

мндаы наты сандар. Осы сандарды табу шін тедігіні о жаын орта блімге келтіреміз. Содан со тедіктегі екі блшекті блімін алып тастаса, екі жаында да кпмшелік шыады. Осы тедіктен бірдей дрежелі ті алдындаы коэффиценттерді теестіре отырып, алгебралы тедеулер жйесін рамыз. Алынан тедеулер жйесінен коэффиценттеріні мндерін тауып, оларды тедігіне оямыз. Осылай рационал блшекті жіктеуін табамыз. Осы дісті аныталмаан коэффициенттер дісі дейді.

3-мысал. интегралын есептеу керек. Интеграл астындаы функция брыс рационал блшек, сондытан алымын бліміне бліп дрыс блшекке айналдырамыз: Соы осылышты арапайым блшектерге жіктейміз:

Бдан, : ; : ; : , , . Демек, . Сонымен,

Кейбір иррационал функцияларды интегралдау.Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арылы рационал функцияны интегралына келуге болатын кейбір жадайларды арастырамыз. тріндегі интегралдар алмастыруы арылы рационал функцияны интегралына келеді.

4- мысал. интегралын табайы. -ті дрежесіндегі блшектерді орта блімі , олай болса берілген интегралды алу шін ауыстыруын жасаймыз.

арастырылан интеграл тріндегі интегралды дербес трі

болады. Мнда . Осы интегралды алмастыруы арылы рационал функцияны интегралына келтіруге болады.

Тригонометриялы функцияларды интегралдау.Бл пунктте біз интегралын табуды арастырамыз. Берілген интеграл мбебап алмастыруы арылы рационал функцияны интегралына келтіріледі. Шынында да

, , ,

, мндаы - рационал функция.

5- мысал. .

Бл дісті крсетілген кез келген интеграла олдануа болады, ал немесе айнымалыларыны дрежесі бірден жоары болса олайсыз лкен рнектер шыады. Ондай жадайларда келесі дістерді олдану керек.