Z1 Ù z2 Ú z3 Ù z4 Ù z5 2 страница

1) x1 Ù x2 Ú x2 Ù x3 Ù x4 Ú x2 Ù x5 Ú x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

2) (x1 Ù x2 Ú x3 Ú x4) Ù (x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8)

3) x1 Ù x8 Ú x3 Ù x4 Ù x5 Ú x6 Ù x7 Ù x8

4) x1 Ù x4 Ú x2 Ù x3 Ù x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

Решение:

1) перепишем выражения в более простой форме, заменив «И» (Ù) на умножение и «ИЛИ» (Ú) на сложение:

2) cреди заданных вариантов ответа нет «чистых» конъюнкций и дизъюнкций, поэтому мы должны проверить возможные значения всех выражений для каждой строки таблицы

3) подставим в эти выражения известные значения переменных из первой строчке таблицы, и :

4) видим, что первое выражение при и всегда равно нулю, поэтому вариант 1 не подходит; остальные выражения вычислимы, то есть, могут быть равны как 0, так и 1

5) подставляем в оставшиеся три выражения известные данные из второй строчки таблицы, и :

6) видим, что выражение 4 при этих данных всегда равно 1, поэтому получить F=0, как задано в таблице, невозможно; этот вариант не подходит

7) остаются выражения 2 и 3; подставляем в них известные данные из третьей строчки таблицы, и :

8) Выражение 2 в этом случае всегда равно 1, поэтому оно не подходит (по таблице истинности оно должно быть равно 0); выражение 3 вычислимо, это и есть правильный ответ

9) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Р-08. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	F

Какое выражение соответствует F?

1) (x2 ® x1) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

2) (x2 ® x1) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

3) (x2 ® x1) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7 Ù x8

4) (x2 ® x1) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7 Ú x8

Решение:

1) перепишем выражение в более простой форме, заменив «И» (Ù) на умножение и «ИЛИ» (Ú) на сложение:

2) в этом задании среди значений функции только одна единица, как у операции «И», это намекает на то, что нужно искать правильный ответ среди вариантов, содержащих «И», «НЕ» и импликацию (это варианты 1 и 3)

3) действительно, вариант 2 исключён, потому что при x₄=1 во второй строке получаем 1, а не 0

4) аналогично, вариант 4 исключён, потому что при x₅=1 в первой строке получаем 1, а не 0

5) итак, остаются варианты 1 и 3; вариант 1 не подходит, потому что при x₆=0 в третьей строке получаем 0, а не 1

6) проверяем подробно вариант 3, он подходит во всех строчках

7) Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Р-07. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1	x2	x3	x4	x5	x6	F

Какое выражение соответствует F?

1) (x1 Ù x2) Ú (x3 Ù x4) Ú (x5 Ù x6)

2) (x1 Ù x3) Ú (x3 Ù x5) Ú (x5 Ù x1)

3) (x2 Ù x4) Ú (x4 Ù x6) Ú (x6 Ù x2)

4) (x1 Ù x4) Ú (x2 Ù x5) Ú (x3 Ù x6)

Решение:

1)во-первых, обратим внимание, что в столбце F – все нули, то есть, при всех рассмотренных наборах x1, …, x6 функция ложна

2)перепишем предложенные варианты в более простых обозначениях:

x₁×x₂ + x₃×x₄ + x₅×x₆

x₁×x₃ + x₃×x₅ + x₅×x₁

x₂×x₄ + x₄×x₅ + x₆×x₂

x₁×x₄ + x₂×x₅ + x₃×x₆

3) это суммы произведений, поэтому для того, чтобы функция была равна 0, необходимо, чтобы все произведения были равны 0

4) по таблице смотрим, какие произведения равны 1:

1-я строка: x₂×x₅, x₂×x₆ и x₅×x₆

2-я строка: x₃×x₆

3-я строка: x₂×x₄, x₂×x₆и x₄×x₆

5) таким образом, нужно выбрать функцию, где эти произведения не встречаются; отметим их:

x₁×x₂ + x₃×x₄ + x₅×x₆

x₁×x₃ + x₃×x₅ + x₅×x₁

x₂×x₄ + x₄×x₅ + x₆×x₂

x₁×x₄ + x₂×x₅ + x₃×x₆

6) единственная функция, где нет ни одного «запрещённого» произведения – это функция 2

7)Ответ: 2.

Ещё пример задания:

Р-06. (http://ege.yandex.ru) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	F

Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.

1) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x1

2) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x2

3) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x3

4) F(x1,x2,x3,x4,x5)®x4

Решение:

1) во всех заданных вариантах ответа записана импликация, она ложна только тогда, когда левая часть (значение функции F) истинна, а правая – ложна.

2) выражение 1 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит

3) выражение 2 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит

4) выражение 3 истинно для всех наборов переменных, заданных в таблице истинности

5) выражение 4 ложно для набора переменных в первой строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит

6) ответ: 3.

Ещё пример задания:

Р-05. Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

z1 Ù z2 Ú z3 Ù z4 Ù z5

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?

Решение:

1) перепишем выражение, используя другие обозначения:

это выражение с пятью переменными, которые могут принимать 2⁵ = 32 различных комбинаций значений

2) сначала определим число K комбинаций переменных, для которых выражение истинно; тогда число комбинаций, при которых оно ложно, вычислится как 32 – K

3) заданное выражение истинно только тогда, когда истинно любое из двух слагаемых: , или оба они истинны одновременно

4) выражение истинно только при и , при этом остальные 3 переменных могут быть любыми, то есть, получаем всего 8 = 2³ вариантов

5) выражение истинно только при и , при этом остальные 2 переменных могут быть любыми, то есть, получаем всего 4 = 2² варианта

6) заметим, что один случай, а именно , обеспечивает истинность обоих слагаемых в исходном выражении, то есть, входит в обе группы (пп. 3 и 4), поэтому исходное выражение истинно для 11 = 8 + 4 – 1 наборов значений переменных, а ложно – для 32 – 11 = 21 набора.

7) ответ: 21.

Ещё пример задания:

Р-04. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	F

1) (x1 Ú x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

2) (x1 Ù x2) Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7

3) (x1 Ù x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

4) (x1 Ù x2) Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

Решение:

1) в последнем столбце таблицы всего одна единица, поэтому стоит попробовать использовать функцию, состоящую из цепочки операций «И» (ответы 1, 3 или 4);

2) для этой «единичной» строчки получаем, что инверсия (операция «НЕ») должна быть применена к переменным x_3,x₅и x₇, которые равны нулю:

x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	F

таким образом, остается только вариант ответа 1 (в ответах 3 и 4 переменная x₃ указана без инверсии)

3) проверяем скобку (x1 Ú x2): в данном случае она равна 1, что соответствует условию

4) ответ: 1.

Ещё пример задания:

Р-03. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

1) X Ù Y Ù Z 2) X Ù Y Ù Z 3) X Ú Y Ú Z 4) X Ú Y Ú Z

Решение (основной вариант):

1) нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных

2) если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F

3) перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2) 3) 4)

4) первое выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит)

5) второе выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)

6) третье выражение, , равно нулю при , поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит)

7) наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда , а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности

8) таким образом, правильный ответ – 4 ; частичная таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид:

X	Y	Z	F
				0 ×	0 ×
				–	–	0 ×
				–	–	–

(красный крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «–» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).

Возможные ловушки и проблемы: · серьезные сложности представляет применяемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений с «закорючками», поэтому рекомендуется сначала внимательно перевести их в «удобоваримый» вид; · расчет на то, что ученик перепутает значки Ù и Ú (неверный ответ 1) · в некоторых случаях заданные выражения-ответы лучше сначала упростить, особенно если они содержат импликацию или инверсию сложных выражений (как упрощать – см. разбор задачи А10)

Решение (вариант 2):

1) часто правильный ответ – это самая простая функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, то есть, имеющая единственный нуль или единственную единицу в полной таблице истинности

2) в этом случае можно найти такую функцию и проверить, есть ли она среди данных ответов

3) в приведенной задаче в столбце F есть единственный нуль для комбинации

4) выражение, которое имеет единственный нуль для этой комбинации, это , оно есть среди приведенных ответов (ответ 4)

5) таким образом, правильный ответ – 4

Возможные проблемы: · метод применим не всегда, то есть, найденная в п. 4 функция может отсутствовать среди ответов

Еще пример задания:

Р-02. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) X Ù Y Ù Z 2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ú Y Ú Z

Решение (вариант 2):

1) перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2) 3) 4)

2) в столбце F есть единственная единица для комбинации , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид , она есть среди приведенных ответов (ответ 3)

3) таким образом, правильный ответ – 3.

Еще пример задания:

Р-01. Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

X₁ Ù X₂ Ù X₃ Ù X₄ Ù X₅

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?

1) 1 2) 2 3) 31 4) 32

Решение (вариант 2):

1) перепишем выражение в других обозначениях:

2) таблица истинности для выражения с пятью переменными содержит 2⁵= 32 строки (различные комбинации значений этих переменных)

3) логическое произведение истинно в том и только в том случае, когда все сомножители равны 1, поэтому только один из этих вариантов даст истинное значение выражения, а остальные 32 – 1 = 31 вариант дают ложное значение.

4) таким образом, правильный ответ – 3.

Ещё пример задания:

Р-00. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	F

Какое выражение соответствует F?

1) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

2) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7

3) x1 Ù x2 Ù x3 Ù x4 Ù x5 Ù x6 Ù x7

4) x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 Ú x5 Ú x6 Ú x7

Решение (вариант 2):

1) перепишем выражения 1-4 в других обозначениях:

2) поскольку в столбце F есть два нуля, это не может быть выражение, включающее только операции «ИЛИ» (логическое сложение), потому что в этом случае в таблице был бы только один ноль, поэтому варианты 2 и 4 отпадают:

аналогично, если бы в таблице был один ноль и две единицы, это не могла бы быть цепочка операций «И», которая всегда дает только одну единицу;

3) для того, чтобы в последней строке таблицы получилась единица, нужно применить операцию «НЕ» (инверсию) к переменным, значения которых в этой строке равны нулю, то есть к и ; остальные переменные инвертировать не нужно, так как они равны 1; видим, что эти условия в точности совпадают с выражением 1, это и есть правильный ответ

4) Ответ: 1.

2 (базовый уровень, время – 3 мин)

Задачи для тренировки[1]:

1) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X Ú Y Ú Z2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ú Y Ú Z

2) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X Ú Y Ú Z2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ú Y Ú Z

3) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X Ù Y Ù Z2) X Ù Y Ù Z 3) X Ù Y Ù Z 4) X Ù Y Ù Z

4) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X Ù Y Ù Z2) X Ú Y Ú Z 3) X Ú Y Ú Z 4) X Ú Y Ú Z

5) Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

1) A(A Ú B)2) A Ù B 3) AB 4) A Ù B

6) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X Ù Y Ù Z2) X Ú Y Ú Z 3) X Ù (Y Ú Z) 4) (X Ú Y) Ù Z

7) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X Ú Y Ù Z2) X Ú Y Ú Z 3) X Ù Y Ú Z 4) X Ú Y Ù Z

8) Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?