Пример выполнения индивидуального задания №1

 

Записав исходные данные в порядке возрастания, получим следующий упорядоченный вариационный ряд (таблица 2):

 

Таблица 2- Упорядоченный вариационный ряд

 

Найдём размах R=141-95=46

Так как объём выборки n=100 , а количество разрядов должно быть целым числом, то удобно брать k= 8 или k= 7. Расширим диапазон значений вариант до промежутка (94;142) и выберем k= 8.

Тогда длина интервала .

Построим интервальную таблицу частот (таблица 3, столбцы 1-4). В ту же таблицу занесем вычисленные значения высот столбцов гистограмм.

 

Таблица 3- Интервальная таблица частот

Границы интервалов Среднее значение Частота   Относительная частота Высота столбца гистограммы
94-100 0,03 0,0050
100-106 0,07 0,0117
106-112 0,11 0,0183
122-118 0,20 0,0333
118-124 0,28 0,0467
124-130 0,19 0,0317
130-136 0,10 0,0167
136-142 0,02 0,0033

 

Вычислим числовые характеристики:

Выборочное среднее

Выборочная дисперсия

Стандартное отклонение

=9.35

Найдем доверительный интервал для математического ожидания.

Пусть доверительная вероятность = 0.95. Тогда по таблице (Приложение 1) находим, что если , то . Вычислим предельную ошибку .

Таким образом, границы доверительного интервала 119,2-1,833 и 119,2+1,833, т.е. доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (117,367; 121,033).

Составим таблицу значений теоретического нормального закона (таблица 4)

 

Таблица 4 – Значения теоретического нормального закона

Среднее Значение
-2,37 0,0241 0,0026
-1,73 0,0893 0,0096
-1,09 0,2203 0,0236
-0,45 0,3605 0,0386
0,19 0,3918 0,0419
0,83 0,2827 0,0302
1,48 0,1334 0,0143
2,12 0,0422 0,0045

Построим гистограмму и кривую теоретического нормального закона распределения (рис.1)

Рисунок 1 – Гистограмма и теоретическая линия

Проверим согласованность статистического и выбранного теоретического распределения с помощью критерия .

Вычислим значение (таблица 5)

Границы интервалов Частота
94-100 Ф(-2,05) - Ф(-2,69 ) = 0,0166 1,082
100-106 Ф(-1,41) - Ф(-2,05) = 0,0592 0,197
106-112 Ф(-0,77) – Ф(-1,41) = 0,1413 0,693
112-118 Ф(-0,13) – Ф(-0,77) = 0,2284 0,353
118-124 Ф(0,51) – Ф(-0,13) = 0,2470 0,441
124-130 Ф(1,155) – Ф(0,51) = 0,180 0,055
130-136 Ф(1,797) – Ф(1,155) = 0,088 0,164
136-142 Ф(2,44) – Ф(1,797) = 0,0286 0,259
     

Вычислим статистику

Подсчитаем число степеней свободыr = 8 - 3=5

Выбрав уровень значимости =0,05 в таблице (Приложение 3) найдем . Так как , то можно принять гипотезу о нормальном распределение, т.е. в данном случае полученный теоретический закон хорошо аппроксимирует статическое распределение.

 

 

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2

Произвести математическую обработку результатов измерений, представленных в индивидуальном задании №1 в виде таблицы:

(номер интервала)
   
   
…    
   

где , ,

1) подобрать формулу, аппроксимирующую зависимость в виде с помощью метода наименьших квадратов;

2) изобразить экспериментальные точки и аппроксимирующую зависимость на графике в масштабе;

3) найти величину среднеквадратического отклонения отдельных замеров от аппроксимирующей кривой и величину среднеквадратического отклонения от кривой в целом

 

Аппроксимация экспериментальных данных

Методы аппроксимации осуществляют путем подбора, по возможности, простых аналитических формул, с достаточной степенью точности отображающих экспериментально полученные зависимости. Чаще всего вид общей формулы заранее неизвестен.

По характеру расположения экспериментальных точек на графике или анализа теоретической информации всегда можно установить примерный вид изучаемой зависимости.

Результаты экспериментов содержат случайные ошибки, поэтому нельзя требовать, чтобы подобранная формула точно соответствовала всем экспериментальным точкам. Другими словами, график искомой функции не должен проходить через все точки. Желательно, чтобы отклонения результатов эксперимента, от значений, вычисленных по формуле, были как можно меньше.

Пусть в результате эксперимента получен ряд измерений, величин Yэ1,Yэ2,Yэ3, …,Yэn, соответствующим значениям аргумента Х1, Х2, Х3, … Хn, которые на графике представлены в виде точек. Необходимо установить эмпирическую зависимость между Х и Y при этом принимают следующие допущения:

1) все значения переменной Хi являются точными, т.е. ошибками в их экспериментальном определении можно пренебречь.

2) результаты эксперимента Yэ, Yэ1, Yэ2, …, Yэn являются независимыми случайными величинами, подчиняющимися нормальному закону распределения.

Уравнения, связывающие случайную величину Y с неслучайной Х, называются уравнениями регрессии по предложению Френсиса Гамильтона.

Метод наименьших квадратов

По методу наименьших квадратов (МНК), разработанному Гауссом более 170 лет назад, требуется, чтобы сумма квадратов разностей между значениями искомой величины, определенными по найденной формуле, и экспериментальными ее значениями была минимальной:

Для уравнения прямой вида по методу наименьших квадратов

Для определения значения a надо взять производную по а от этой суммы и приравнять к нулю (n-число измерений):

 

Для уравнения прямой вида Уi = Xi+b по методу наименьших квадратов

Минимум этой функции достигается при одновременном равенстве нулю частных производных по а и b:

или

После преобразований получаем

Окончательные формулы для вычисления коэффициентов а и b можно найти с помощью определителей методом Крамера

 

При нахождении параметров нелинейной зависимости имеем

Дифференцируя это соотношение по а, b и c, получаем соответственно уравнения

или

Из этой схемы можно найти значения а, b и с используя методы решения системы линейных уравнений: метод Крамера (определители), метод Гаусса (последовательное исключение переменных), метод обратной матрицы.

Результаты вычислений сводят в таблицу:

i Xi Yэi yэixi yэi
… n              
             

 

Метод наименьших квадратов позволяет находить константы более сложных зависимостей, например, экспоненциальных:

После логарифмирования пришли к линейному уравнению

.


 

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №3

Индивидуальные задания по этой теме приведены в прил. А.

Элементы теории измерений

Всякое экспериментальное исследование процесса обработки металлов давлением состоит из одного или нескольких измерений каких-то параметров a1, a2, а3…an с некоторой точностью.

Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения (эталон). Результат измерения выражается числом.

Измерения разделяются на прямые и косвенные (рисунок 1).

Рисунок – 1 Виды измерений, ошибки и погрешность

При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. Примеры прямых измерений: измерение длин линейкой, штангенциркулем, масс на весах с помощью гирь, времени посредством часов или секундомера, температуры термометром.

При косвенных измерениях измеряемая величина определяется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, объем цилиндрического тела высотой H и диаметром D: , плотность тела массой М и объемом V: .

Коэффициент термического расширения рассчитывают по формуле

где l1 и l2 – длина образца при температурах T1 и Т2.

При измерении любой величины мы никогда не получаем истинного значения этой величины. Результат измерения дает лишь приближенное значение. Поэтому любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями (ошибками). Ошибки подразделяются на две группы: систематические и случайные (рисунок 1).

Систематические ошибки – это ошибки, связанные с ограниченной точностью изготовления прибора, неправильным выбором метода измерений, неправильной установкой прибора. Систематические ошибки вызываются вполне определенными причинами. Их величина при повторных измерениях остается постоянной (рисунок 2), либо измеряется по определенному закону. Примеры: положение нуля термометра может не соответствовать нулевой температуре, капилляр термометра в разных участках может иметь разное сечение и т. д.

Рисунок 2 – Различие между случайной и систематической ошибками

Если известны причины вызывающие систематические ошибки, последние могут быть исключены путем введения поправок при измерениях.

Случайные ошибки вызываются большим числом случайных причин, действие которых на каждое измерение различно и не может быть учтено. Поэтому при последовательных измерениях одной и той же величины получают различные числовые значения.

Исключить случайные ошибки нельзя, но оценить ошибки, с которыми получен результат, возможно. Ошибки такого типа подчиняются законам теории вероятностей, установленным для случайных явлений.

В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждаемые опытом.

При большом числе измерений случайные ошибки одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто.

Большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые.

Абсолютная и относительная погрешности характеризуют измери­тельное средство (прибор) только при одном его показании. Полностью оценить качество прибора можно по его приведённой погрешности: , где xн – нормирующее значение (условно принятое значение, которое может быть равно верхнему пределу или диапазону шкалы и т.д.). По приведённой погрешности указывается класс точности прибора и обозначается на их шкале. Для определения соответствия прибора его классу точности, прибор периодически подвергают поверке, при которой определяют максимальное значение приведённой погрешности и вариацию показаний , где – максимальная разность между показаниями прибора при прямом и обратном ходе; – нормирующее значение. Вариация прибора должна быть меньше его приведённой погрешности (класса точности). Класс точности ука­зан на панели прибора и может принимать следующий ряд значений: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5 – прецизионные; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 – технические приборы. Менее точные приборы обозначения класса не имеют. Если на приборе указан класс точности 0,5, то это значит, что показания прибора правильны с точностью до 0,5 % от всего диапазона измерений по шкале прибора. Например, если вольтметр имеет шкалу, градуированную до 150В, класс точности 0,5, то он даёт абсолютную основную погрешность не более ±0,75 В.

Максимальные погрешности, даваемые измерительными линейками, микрометрами и некоторыми другими приборами, иногда наносятся на самом приборе или указываются в прилагаемом к нему паспорте. Если таких указаний нет, точность измерений составляет не менее 0,2 цены деления шкалы прибора.


 

Методика обработки прямых измерений

Наилучшей оценкой истинного значения величины X является выборочное среднее значение

  (1)

где xN – отсчёт величины X; N – число отсчётов.

Для оценки разброса отсчётов при измерении используется выборочное среднее квадратичное отклонение отсчётов

  (2)

Выборочное среднее значение является случайной величиной и его разброс относительно истинного значения измеряемой величины оценивается выборочным средним квадратичным отклонением среднего значения

(3)

Доверительным интервалом называется интервал , который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины.

Доверительной вероятностью (надёжностью) результата серии наблюдений называется вероятность , с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины.

Случайную составляющую погрешности принято выражать как полуширину доверительного интервала. Размер доверительного интервала обычно задают в виде кратного значения.

Тогда случайная составляющая погрешности многократных измерений определяется как:

(4)

 

где – безразмерный коэффициент доверия (коэффициент Стьюдента).

 

Таблица 1 – Значения коэффициента Стьюдента в зависимости от числа измерений

Число измерений Надёжность
0,5 0,9 0,95 0,98 0,99 0,999
6,3 12,7 31,8 63,7 636,6
0,82 2,9 4,3 7,0 9,9 31,6
0,77 2,4 3,2 4,5 5,8 12,9
0,74 2,1 2,8 3,7 4,6 8,6
0,73 2,0 2,6 3,4 4,0 6,9
0,72 1,9 2,4 3,1 3,7 6,0
0,71 1,9 2,4 3,0 3,5 5,4
0,71 1,9 2,3 2,9 3,4 5,0
0,70 1,8 2,3 2,8 3,2 4,8
0,69 1,7 2,1 2,5 2,8 3,8
>20 0,67 1,6 2,0 2,5 2,8 3,3

 

Коэффициент показывает, во сколько раз нужно увеличить , чтобы при заданном числе измерений получить заданную надёжность их результата. Коэффициент определяют по статистическим табли­цам (таблица 1).

Полная погрешность прямых измерений равна квадратичной сумме её составляющих: инструментальной и случайной , т.е.

Обработку прямых измерений рекомендуется начинать с проверки отсчётов на наличие промахов. Из полученного ряда, содержащего N отсчётов, выбирается аномальный отсчёт и вычисляется модуль его отклонения от среднего значения в долях выборочного среднего квадратичного отклонения:

(5)

 

Затем вычисляется вероятность этого отклонения, а также ожидаемое число n измерений, которые дадут отсчёты, имеющие отклонение Z не меньшее, чем испытуемый. Если получено n < 0,5 (при округлении до целого n = 0), то отсчёт считается промахом. Эту процедуру можно изменить и вычислить ожидаемое число M отсчётов, среди которых будет хотя бы один аномальный. Если M > N, то отсчёт считается промахом. Связь между M и Z приведена в таблице 2:

Таблица 2 – Отбор промахов по критерию Шовене

Z M Z M Z M Z M Z M
1,00 1,40 1,80 2,20 2,60
1,02 1,42 1,82 2,22 2,62
1,04 1,44 1,84 2,24 2,64
1,06 1,46 1,86 2,26 2,66
1,08 1,48 1,88 2,28 2,68
1,10 1,50 1,90 2,30 2,70
1,12 1,52 1,92 2,32 2,72
1,14 1,54 1,94 2,34 2,74
1,16 1,56 1,96 2,36 2,76
1,18 1,58 1,98 2,38 2,78
1,20 1,60 2,00 2,40 2,80
1,22 1,62 2,02 2,42 2,82
1,24 1,64 2,04 2,44 2,84
1,26 1,66 2,06 2,46 2,86
1,28 1,68 2,08 2,48 2,88
1,30 1,70 2,10 2,50 2,90
1,32 1,72 2,12 2,52 2,92
1,34 1,74 2,14 2,54 2,94
1,36 1,76 2,16 2,56 2,96
1,38 1,78 2,18 2,58 2,98

 

Алгоритм обработки прямых измерений:

1. Определить инструментальную погрешность.

2. Вычислить среднее значение серии измерений по формуле (1).

3. Вычислить среднее квадратичное отклонение отсчёта по формуле (2). Если промах устранён, то перейти к формуле (4), иначе к (3).

4. Проверить отсчёты на наличие промаха:

• отобрать аномальный отсчёт;

• вычислить его относительное отклонение по формуле (5);

• определить ожидаемое число отсчётов, среди которых может быть аномальный, если это число больше числа отсчётов, то исключить аномальный отсчёт и перейти к формуле (1); иначе перейти к (4).

5. Вычислить выборочное среднее квадратичное отклонение среднего значения по формуле (3).

6. Определить коэффициент доверия для заданной надёжности и полученного числа отсчётов.

7. Вычислить случайную погрешность по формуле (4).

8. Вычислить полную погрешность.

9. После округлений результат обработки измерений записать в форме:

; %; .

 

Пример выполнения индивидуального задания

Вольтметром измерено 10 отсчётов напряжения U в электрической цепи. Вольтметр, класс точности которого K = 2,5, имеет максимальное значение шкалы, равное A = 200 В. Результаты измерений представлены в таблице 3. Необходимо обработать результаты измерений, обеспечив 98 % надёжность оценки напряжения.

 

Таблица 3 – Результаты измерения напряжения

№
U, В

Вычисляем инструментальную погрешность:

В

Для заданной доверительной вероятности = 98% и количества отсчётов определяем коэффициент доверия t98, 10 = 2,8 (см. таблица 1). Вычисляем среднее значение . Вычисляем среднее квадратичное отклонение отсчётов

В

Проверяем отсчёты на наличие промахов. Аномальным отсчётом является отсчёт № 4. Вычисляем нормированное отклонение U от среднего значения

Согласно таблице 2, количество опытов, при котором полученный отсчёт нельзя считать промахом, равно 17. Это число больше, чем N = 10. Следовательно, отсчёт № 4 является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда. Для нового ряда отсчётов напряжения вычисляем новое среднее значение и среднее чайную составляющую погрешности

, . Вычисляем полную погрешность: абсолютную после округления В и относительную %. После округлений результат измерения напряжения записываем в виде:

U = 150 ± 10 В, ,


 

Приложение А

Варианты индивидуального задания по теме "Оценка погрешности экспериментального определения физической величины"

Прибором измерено 10 отсчётов физической величины. Класс точности прибора 2,5, максимальное значение шкалы . Необходимо обработать результаты измерений, обеспечив 98% надежности оценки напряжения.

Таблица 4 – Результаты измерений физической величины

Вариант

 


Рекомендуемая литература

1. ГОСТ 7.32-2001 (ИСО 5966-82), Отчет о научно-исследовательской работе. Структура и правила оформления.

2. Кассандрова, О.Н. Обработка результатов наблюдений [Текст] О.Н. Кассандрова, В. В. Лебедев,- М,; Наука, 1970.

3. Каргин, В.В. Основы инженерного эксперимента [Текст] Учебное пособие В.Р. Каргин, В.М. Зайцев.-Самара: Самар. Гос. Аэрокосм. Ун-т, 2001.

4. Шейк, Х. Теория инженерного эксперимента [Текст] Х. Шейк-М.: Мир, 1972.

5. Ванин В.А. Научные исследования в технологии машиностроения [Текст]/ В.А. Ванин, В.Г. Одполько, С.И. Пестрецов, В.Х. Фидаров, А.Н. Колодин-Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2009-232с.

6. Зайдель, А.М. Ошибки измерения физических величин [Текст]/ А.М. Зайдель-Л.: Наука, 1974-108с.

7. Румшинский, Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента [Текст]/ Л.З. Румшинский-М,: Наука, 1971-192с

8. Кремер, Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика: Учебник для вузов [Текст]/ Н. Ш. Кремер-М,: ЮНИТА-ДАНА, 2001-543с.

9. Круглов, В.И. Методология научных исследований в авиа-и ракетостроении: учебн. Пособие [Текст]/ В.И. Крутов, В. И. Ершов, А.С. Чумадин, В.В. Курицына-М,: Логос, 2011-432с.

10. Каргин, В. Р. Методология экспериментальных исследований: учебн. Пособие [Текст]/ В.Р. Каргин, Б.В. Каргин, А.Е. Афанасьев-Самара: Изд-во СГАУ, 2015-84с.

11. Большев, Л.Н. Таблицы математической статистики [Текст]/ Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов-М.: Наука, 1983-416с.

12. Мельниченко, А.С. Анализ данных В материаловедении, Часть1 [Текст]/ А. С. Мельниченко-М.: Изо. Дом МИСиС, 2013-4.1-72с.

13. Мельниченко, А. С. Анализ данных в материаловедении. Часть 2. [Текст]/ А. С. Мельниченко-М.: Изо. Дом М: МИСиС, 2014-87с.


Приложение 1

Таблица значений функции

 

0,00 0,0000 0,24 0,0948 0,48 0,1844 0,72 0,2642
0,01 0,0040 0,25 0,0987 0,49 0,1879 0,73 0,2673
0,02 0,0080 0,26 0,1026 0,50 0,1915 0,74 0,2703
0,03 0,0120 0,27 0,1064 0,51 0,1950 0,75 0,2734
0,04 0,0160 0,28 0,1103 0,52 0,1985 0,76 0,2764
0,05 0,0199 0,29 0,1141 0,53 0,2019 0,77 0,2794
0,06 0,0239 0,30 0,1179 0,54 0,2054 0,78 0,2823
0,07 0,0279 0,31 0,1217 0,55 0,2088 0,79 0,2852
0,08 0,0319 0,32 0,1255 0,56 0,2123 0,80 0,2881
0,09 0,0359 0,33 0,1293 0,57 0,2157 0,81 0,2910
0,10 0,0398 0,34 0,1331 0,58 0,2190 0,82 0,2939
0,11 0,0438 0,35 0,1368 0,59 0,2224 0,83 0,2967
0,12 0,0478 0,36 0,1406 0,60 0,2257 0,84 0,2995
0,13 0,0517 0,37 0,1443 0,61 0,2291 0,85 0,3023
0,14 0,0557 0,38 0,1480 0,62 0,2324 0,86 0,3051
0,15 0,0596 0,39 0,1517 0,63 0,2357 0,87 0,3078
0,16 0,0636 0,40 0,1554 0,64 0,2389 0,88 0,3106
0,17 0,0675 0,41 0,1591 0,65 0,2422 0,89 0,3133
0,18 0,0714 0,42 0,1628 0,66 0,2454 0,90 0,3159
0,19 0,0753 0,43 0,1664 0,67 0,2486 0,91 0,3186
0,20 0,0793 0,44 0,1700 0,68 0,2517 0,92 0,3212
0,21 0,0832 0,45 0,1736 0,69 0,2549 0,93 0,3238
0,22 0,0871 0,46 0,1772 0,70 0,2580 0,94 0,3264
0,23 0,0910 0,47 0,1808 0,71 0,2611 0,95 0,3289
0,96 0,3315 1,37 0,4147 1,78 0,4625 2,36 0,4909
0,97 0,3340 1,38 0,4162 1,79 0,4633 2,38 0,4913
0,98 0,3365 1,39 0,4177 1,80 0,4641 2,40 0,4918
0,99 0,3389 1,40 0,4192 1,81 0,4649 2,42 0,4922
1,00 0,3413 1,41 0,4207 1,82 0,4656 2,44 0,4987
1,01 0,3438 1,42 0,4222 1,83 0,4664 2,46 0,4931
1,02 0,3461 1,43 0,4236 1,84 0,4671 2,48 0,4934
1,03 0,3485 1,44 0,4251 1,85 0,4678 2,50 0,4938
1,04 0,3508 1,45 0,4265 1,86 0,4686 2,52 0,4941
1,05 0,3531 1,46 0,4279 1,87 0,4693 2,54 0,4945
1,06 0,3554 1,47 0,4292 1,88 0,4699 2,56 0,4948
1,07 0,3577 1,48 0,4306 1,89 0,4706 2,58 0,4951
1,08 0,3599 1,49 0,4319 1,90 0,4713 2,60 0,4953
1,09 0,3621 1,50 0,4332 1,91 0,4719 2,62 0,4956
1,10 0,3643 1,51 0,4345 1,92 0,4726 2,64 0,4959
1,11 0,3665 1,52 0,4357 1,93 0,4732 2,66 0,4961
1,12 0,3686 1,53 0,4370 1,94 0,4738 2,68 0,4963
1,13 0,3708 1,54 0,4382 1,95 0,4744 2,70 0,4965
1,14 0,3729 1,55 0,4394 1,96 0,4750 2,72 0,4967
1,15 0,3749 1,56 0,4406 1,97 0,4756 2,74 0,4969
1,16 0,3770 1,57 0,4418 1,98 0,4761 2,76 0,4971
1,17 0,3790 1,58 0,4429 1,99 0,4767 2,78 0,4973
1,18 0,3810 1,59 0,4441 2,00 0,4772 2,80 0,4974
1,19 0,3830 1,60 0,4452 2,02 0,4783 2,82 0,4976
1,20 0,3849 1,61 0,4463 2,04 0,4793 2,84 0,4977
1,21 0,3869 1,62 0,4474 2,06 0,4803 2,86 0,4979
1,22 0,3883 1,63 0,4484 2,08 0,4812 2,88 0,4980
1,23 0,3907 1,64 0,4495 2,10 0,4821 2,90 0,4981
1,24 0,3925 1,65 0,4505 2,12 0,4830 2,92 0,4982
1,25 0,3944 1,66 0,4515 2,14 0,4838 2,94 0,4984
1,26 0,3962 1,67 0,4525 2,16 0,4846 2,96 0,4985
1,27 0,3980 1,68 0,4535 2,18 0,4854 2,98 0,4986
1,28 0,3997 1,69 0,4545 2,20 0,4861 3,00 0,4986
1,29 0,4015 1,70 0,4554 2,22 0,4868 3,20 0,4993
1,30 0,4032 1,71 0,4564 2,24 0,4875 3,40 0,4996
1,31 0,4049 1,72 0,4573 2,26 0,4881 3,60 0,4998
1,32 0,4066 1,73 0,4582 2,28 0,4887 3,80 0,4999
1,33 0,4082 1,74 0,4591 2,30 0,4893 4,00 0,4999
1,34 0,4099 1,75 0,4599 2,32 0,4898 4,50 0,4999
1,35 0,4115 1,76 0,4608 2,34 0,4904 5,00 0,4999
1,36 0,4131 1,77 0,4616        
               

 

 


 

Приложение 2

 

Таблица значений функции