Краткие сведения из теории

Кинетическим моментом механической системы относительно произвольного центра или оси называется момент вектора количества движения системы относительно того же центра или оси.

Если тело движется поступательно (например, в плоскости ), то его кинетический момент относительно оси (перпендикулярной плоскости )

(3.1)

Момент можно вычислить геометрическим путем, используя формулу:

(3.2)

где – масса тела;

– скорость центра масс тела;

– плечо вектора количества движения относительно центра (или кратчайшее расстояние от линии действия вектора до центра ).

Аналитический метод вычисления можно представить уравнением:

(3.3)

где – координаты центра масс тела;

– проекции скорости центра масс тела.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси то кинетический момент такого тела

(3.4)

где – момент инерции тела относительно оси вращения;

– угловая скорость вращения тела.

В случае плоскопараллельного движения тела его кинетический момент определяется по формуле:

(3.5)

где – момент инерции тела относительно мгновенной оси проходящей через центр масс тела.

Правило знаков: если вектор количества движения поворачивается вокруг оси против хода часовой стрелки, то кинетический момент следует брать со знаком «плюс»; в противном случае – со знаком «минус».

Теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно произвольной оси можно выразить уравнением:

(3.6)

где – главный момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения .

 

 

Пример решения задачи

Пример задачи № 3. Для кривошипно-ползунного механизма, изобра-женного на рис. 1.1, определить: 1) кинетический момент механизма относи-тельно неподвижной оси , перпендикулярной плоскости механизма; 2) главный момент внешних сил относительно оси . Исходные данные взяты из примера задачи № 1.

Решение.

1. Распознаем механизм. Он состоит из трех звеньев – кривошипа , вращающегося вокруг неподвижной оси , шатуна , совершающего плоскопараллельное движение и ползуна , движущегося поступательно и прямолинейно (рис. 3.1). ­­­

 

Рис. 3.1

 

2. Рассматривая механизм в положении, соответствующем произволь-ному (текущему) моменту времени построим неподвижную декартову систему координат , взяв начало в неподвижном шарнире и направив ось перпендикулярно плоскости механизма в сторону смотрящего.

3. Так как механизм состоит из трех тел, то его кинетический момент равен сумме кинетических моментов всех трех звеньев:

. (3.7)

3.1. Кривошип 1 вращается вокруг неподвижной оси , следовательно, его кинетический момент

, (3.8)

где – момент инерции кривошипа 1 относительно оси ;

– угловая скорость вращения кривошипа 1.

Знак «плюс» или «минус» определяется направлением . В рассматри-ваемом случае кривошип 1 вращается против хода часовой стрелки, поэтому принимаем знак «плюс». В противном случае необходимо принимать знак «минус».

3.2. Шатун 2 совершает плоскопараллельное движение, следовательно, его кинетический момент

, (3.9)

где – поступательная составляющая кинетического момента относительно координатной оси ;

– скорость центра масс звена 2;

– плечо или кратчайшее расстояние от линии действия вектора до оси ;

– вращательная вокруг центра масс составляющая кинетичес-кого момента относительно координатной оси ;

– момент инерции шатуна 2 относительно мгновенной оси , проходящей через его центр масс;

– угловая скорость вращения шатуна 2.

Так как в кривошипно-ползунном механизме геометрическое определе-ние затруднительно, то используем аналитическое выражение для всей поступательной составляющей кинетического момента относительно координатной оси :

. (3.10)

Введя угол поворота шатуна 2, который связан с углом поворота кривошипа 1 равенством (угол отсчитывается от неподвижной оси до шатуна 2 против хода часовой стрелки), находим . Знак «минус» говорит о том, что направление угловой скорости шатуна всегда противоположно направлению угловой скорости кривошипа

3.3. Ползун 3 движется поступательно и прямолинейно, поэтому его кинетический момент определяется по формуле:

, (3.11)

где – кратчайшее расстояние от линии действия вектора до оси (в нашем случае , так как линия действия вектора пересекает ось ).

В результате подстановки исходных данных в формулы (3.8) – (3.11) и проведения расчетов по ним получим значение (кгм²/с) для кинетического момента механизма относительно оси : .

4. В заключение определим главный момент всех внешних сил, действующих на кривошипно-ползунный механизм, используя теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижной оси :

. (3.12)