Указания по выполнению задания Д-1
ДИНАМИКА
Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел (точек) с учетом действующих на них сил.
Задание Д-1. Динамика материальной точки
Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость 
движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы – оба наклонные (рис. 3.1-3.30) или один горизонтальный, другой наклонный. На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила 
(её направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды 
, зависящая от скорости груза (направлена против движения); трением груза о трубу на этом участке пренебречь. В точке В груз, не изменяя величины скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют силы трения (коэффициент трения груза о трубу 
) и переменная сила 
, проекция которой на ось x задана в табл. 8.Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ, равное 
, или время 
движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС: 
где 
.
Таблица 8
Данные к заданию Д-3.1
| Вариант |  кг
| м/с
|  Н
|  Н
|  м
|  с
|  Н
|
0,5 
| - | 
| |||||
| 0,6
| - | 
| |||||
| 4,5 | 0,5 
| - | 
| ||||
| 0,4
| - | 2,5 | 
| ||||
| 2,4 | 0,8
| 1,5 | - | 
| |||
| 1,8 | 0,3
| - | 
| ||||
| 0,8
| 2,5 | - | 
| ||||
| 1,6 | 0,4
| - | 
| ||||
| 4,8 | 0,2
| - | 
| ||||
| 0,5
| - | 
|
|
| Рис. 1.1 Рис. 1.2 |
|
| Рис.1.3 Рис.1.4 |
|
| Рис. 1.5 Рис. 1.6 |
|
| Рис. 1.7 Рис. 1.8 |
|
| Рис. 1.9 Рис. 1.10 |
|
| Рис. 1.11 Рис. 1.12 |
|
| Рис. 3.13 Рис. 3.14 |
|
| Рис. 3.15 Рис. 3.16 |
|
| Рис. 3.17 Рис. 3.18 |
|
| Рис. 3.19 Рис. 3.20 |
|
| Рис. 3.21 Рис. 3.22 |
|
| Рис. 3.23 Рис. 3.24 |
|
| Рис. 3.25 Рис. 3.26 |
|
| Рис. 3.27 Рис. 3.28 |
|
| Рис. 3.29 Рис. 3.30 |
Указания по выполнению задания Д-1
Основное уравнение динамики материальной точки:
, (3.1)
где 
– масса точки,
– ускорение материальной точки,
– равнодействующая сил, действующих на точку:
.
Проецируя обе части уравнения (3.1) на неподвижные декартовые оси
x, у, z, получим:
(3.2)
Уравнения (3.2) называют дифференциальными уравнениями движения материальной точки в проекциях на неподвижные декартовые оси. Используя эти уравнения, можно по известной массе точки и силам, действующим на неё, найти уравнения движения точки. В этом и заключается вторая основная (обратная) задача динамики точки. Решение задачи сводится к двойному интегрированию. После интегрирования в решение войдут постоянные интегрирования, для определения которых используют начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент времени. При прямолинейном движении вдоль оси х начальные условия задаются в виде:
при 
= 0 
. (3.3)
Решение задачи на интегрирование дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям:
1. Выбрать начало отсчёта, совмещая его с начальным положением точки, и при прямолинейном движении совместить одну из осей координат с направлением движения.
2. Изобразить движущуюся точку в произвольном положении и показать все действующие на точку силы, включая и силы реакций.
3. Составить уравнения движения точки в виде уравнений (3.2).
4. Решить составленные уравнения интегрированием. В тех случаях, когда на точку действуют постоянные силы, а также силы, зависящие от времени 
и от скорости 
уравнения можно проинтегрировать методом разделения переменных. Если при этом необходимо определить только скорость точки, то часто можно ограничиться одним интегралом.
5. Определить постоянные интегрирования, используя начальные условия в виде (3.3.). Если дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то можно брать определённые интегралы и не вводить постоянные интегрирования.
6. Определить искомые в задаче величины.
Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать уравнение движения точки на участке АВ, учитывая начальные условия. Затем по известному времени движения на участке АВ или длине 
определить скорость в точке В. Эта скорость будет начальной при движении на участке ВС. После этого нужно составить дифференциальное уравнение и интегрировать его для участка ВС с учётом начальных условий, ведя отсчёт времени от момента, когда груз находился в точке В, полагая в этот момент 
. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда дана длина участка, удобнее перейти к переменному х, учитывая, что
.