Примеры выполнения задания Д-4
Пример Д- 4.1. Груз 1 массой 
, опускаясь вниз по наклонной плоскости, приводит во вращение барабан 2 ступенчатой формы (рис 3.95). К наружной ступени барабана прикреплена нить, соединяющая его с центром масс барабана 3, который катится без проскальзывания по наклонной плоскости под углом к горизонту 
. Массы груза 1, барабанов 2, 3 равны соответственно: m1 = 5 кг; m2 = 4 кг; m3 = 1 кг. Радиус большой окружности R2 = 0,3 м; радиус малой окружности r = 0,1 м; радиус барабана R3 = 0,2 м; F1= 2(1+2s) Н. Радиус инерции барабана 
Барабан 3 считать однородным цилиндром. На барабан 2 действует постоянный момент сил сопротивления 
.
Рис. 3.95. Расчетная схема к примеру Д-4.1
Определить угловую скорость барабана 3 при движении груза 1 в тот момент, когда пройденный путь станет равным: s = 2 м, если угол наклона плоскости к горизонту 
= 60°, коэффициент трения скольжения груза 1 по наклонной плоскости 
= 0,1. В начальный момент времени система находилась в покое.
Решение:
1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, связанных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные 
момент сопротивления М2, реакции 
и силы трения 
и 
.
Для определения 
воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы
2. Определяем Т0 и T. Так как в начальный момент система находилась в покое, то T0 = 0. Величина Т равна сумме энергий всех тел системы:
. (3.42)
Учитывая, что тело 1 движется поступательно, тело 2 вращается вокруг неподвижной оси z, тело 3 движется плоскопараллельно, получим:
.
Все входящие в вышеприведенные равенства скорости следует выразить через искомую . Приняв во внимание, что Р – мгновенный центр скоростей барабана 3, получим:
; 
; 
.
Моменты инерции имеют значения 
, 
.
Подставив все величины в равенство 3.42 будем иметь:
. (3.43)
3. Так как система не изменяемая, то 
Найдем сумму работ, действующих внешних сил, при перемещении груза 1 на s. В результате получим:
Работа остальных сил равна нулю. Тогда сумма работ внешних сил
(3.44)
4. Подставив выражения (3.43) и (3.44) в уравнение, выражающее теорему об изменение кинетической энергии (3.40), получим:
Подставив числовые значения величин, входящих в данное равенство, имеем:
.
Отсюда находим искомую угловую скорость:
с-1.
Ответ: 
с-1.
Пример Д-4.2. Дано:
В качестве механической системы рассмотрим тела 1, 2 и 3 (рис. 3.96) и применим к ней теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:
.
Поскольку нить нерастяжима, а колеса не проскальзывают относительно друг друга, то 
Следовательно,
.
Соотношение между скоростями точек и угловыми скоростями тел не зависит от положения механической системы. Изобразим механическую систему в промежуточном положении и приложим все внешние силы, включая реакции связей.
Вычислим работу внешних сил 
. Силы тяжестей колес и реакций осей колес работу не совершают, так как точки их приложения неподвижны (рис. 3.96). Силы 
являются внутренними, поэтому
.
Рис. 3.96. Расчетная схема к примеру Д-4.2
Учитывая, что связь между перемещениями аналогично связи между скоростями, выразим 
через h:
.
Тогда
.
Вычислим кинетическую энергию механической системы. Учитывая, что тела 1 и 2 совершают вращательное движение, а 3 - поступательное, получим:
.
Выразим 
и 
через 
:
, 
.
Тогда
.
Подставив полученные Т1 , Т2 и 
в (3.40), получим:
При известной угловой скорости 
найдем 
и окончательно получим:
.
Подставляя известные величины, найдем 
Ответ:
Задание Д-5. Общее уравнение динамики
3.5.1 Применение принципа Даламбера – Лагранжа
Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 4 и 5 весом Р4 и Р5 с радиусом ступеней R4=R, r4=0,5R, R5=0,8R, r5=0,4R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу), грузов 1 и 2 и сплошного однородного цилиндра катка 3, весом Р1, Р2, Р3 (рис. 3.97-3.126). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Система движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и постоянной силы 
Коэффициент трения скольжения грузов о плоскость f = 0,1, катки катятся без проскальзывания, трением качения пренебречь. Определить ускорение груза, имеющего больший вес. Сила F, и вес всех тел заданы в ньютонах (табл.11).
Таблица 10
Данные к заданиям Д-5, Д-6
| Вариант | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | F |
| 3Р | 4Р | 2Р | 3Р | 2Р | 18Р | |
| 4Р | 2Р | 2Р | Р | 2Р | 16Р | |
| 6Р | 5Р | 4Р | 2Р | Р | 30Р | |
| 3Р | 3Р | Р | 2Р | Р | 15Р | |
| 3Р | 4Р | 2Р | 3Р | 2Р | 16Р | |
| 2Р | 3Р | Р | 2Р | 3Р | 15Р | |
| 8Р | 6Р | 4Р | 3Р | 2Р | 40Р | |
| 5Р | Р | 2Р | Р | 3Р | 28Р | |
| 3Р | Р | Р | 2Р | 3Р | 15Р | |
| 2Р | 3Р | Р | Р | 2Р | 17Р |
| 
|
| Рис. 3.97 | Рис. 3.98 |
| 
|
| Рис. 3.99 | Рис. 3.100 |
| 
|
| Рис. 3.101 | Рис. 3.102 |
| 
|
| Рис. 3.103 | Рис. 3.104 |
| 
|
| Рис. 3.105 | Рис. 3.106 |
| 
|
| Рис. 3.107 | Рис. 3.108 |
|
|
| Рис. 3.109 | Рис. 3.110 |
| 
|
| Рис. 3.111 | Рис. 3.112 |
| 
|
| Рис. 3.113 | Рис. 3.114 |
Рис. 3.115
| 
Рис. 3.116
|
| 
|
| Рис. 3.117 | Рис. 3.118 |
|
|
| Рис. 3.119 | Рис. 3.120 |
| 
|
| Рис. 3.121 | Рис. 3.122 |
| 
|
| Рис. 3.123 | Рис. 3.124 |
| 
|
| Рис. 3.125 | Рис. 3.126 |