Эквивалентное преобразование смешанного соединения резисторов.

A. Эквивалентное преобразование последовательно соединенных резисторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательным соединением резисторов называется такое соединение, при котором ток, протекающий через них один и тот же.

Для того чтобы через последовательно соединенные приемники протекал один и тот же ток необходимо, чтобы в местах их соединения отсутствовали электрические узлы. (См. рис. 1)

Примечание. Электрическим узлом называется место соединения трех и более ветвей (проводников).

Пример №1.

Дано: ЭДС Е = 220 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 40 Ом, R₃ = 50 Ом. (Рис. 1).

Определить: сопротивление резистора R_ЭКВ и силу тока I в цепи.

		Û

a

b

a

 

 

I

I

Uad

E

Uad

E

I

 

 

d

d

R3

 

Рис. 1а. Рис. 1б.

 

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d (см. рис. 1а), а их потенциалы соответственно j_a, j_b, j_c, j_d.

Выясним, являются ли точки a, b, c, d электрическими узлами или нет. Как видно из рис. 1а эти точки являются местами соединения лишь двух проводников, а именно выхода одного элемента с входом другого (например, точка а есть место соединения выхода источника ЭДС Е с входом резистора R₁). Следовательно, в электрической цепи узлов нет, поэтому все резисторы включены последовательно и через них протекает один и тот же ток I.

Выберем направление неизвестного тока I произвольным образом (как показано на рис. 1а).

Последовательное соединение резисторов R₁, R₂, R₃ можно заменить на один эквивалентный им резистор R_ЭКВ, сопротивление которого определяется по формуле:

Доказательство данной формулы базируется на втором законе Кирхгофа, который составляется для замкнутого контура исходной схемы и формулируется следующим образом:

где - алгебраическая сумма ЭДС Е в замкнутом контуре, слагаемое этой суммы берется со знаком «+», если направления ЭДС источника и произвольно выбранного обхода контура совпадают между собой, в противном случае берется знак «-»,

- алгебраическая сумма падений напряжений в том же самом контуре, слагаемое этой суммы берется со знаком «+», если направления напряжения и произвольно выбранного обхода контура совпадают между собой, в противном случае берется знак «-».

 

Выбрав произвольным образом обход контура, запишем для схемы 1а второй закон Кирхгофа следующим образом:

где .

Следовательно для рассматриваемого примера №1:

После преобразования исходная электрическая схема (рис. 1а) трансформируется в эквивалентную (рис .1б). Силу тока I, протекающую в цепи, вычисляем согласно закону Ома:

1.2. Эквивалентное преобразование параллельно соединенных резисторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параллельным соединением резисторов называется такое соединение, при котором напряжение на их зажимах (местах соединений) одно и тоже.

Для того чтобы на зажимах резисторов было одно и тоже напряжение необходимо, чтобы они имели один общий вход (узел а) и один общий выход (узел b). (См. рис. 2а).

Пример №2.

Дано: Е = 60 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 30 Ом. (Рис. 2)

Определить: Сопротивление резистора R_ЭКВ и токи I, I₁, I₂ в цепи.

d

a

I

Uad

E

d

c

b

a

I2

I1

Uad

E

Ubc

I

 

 

Рис. 2а. Рис.2б.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d (см. рис. 2а), а их потенциалы соответственно j_a, j_b, j_c, j_d.

Выясним, являются ли точки a, b, c, d электрическими узлами или нет. Как видно из рис. 2а точки b и c – места соединения трех ветвей (например, точка b – место соединения выхода источника ЭДС Е и входов резистров
R₁, R₂), следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точки a и d узлами не являются (см. пример №1). Поскольку входы резисторов R₁, R₂ объединены общим узлом b, а выходы объединены общим узлом c, то эти резисторы соединены параллельно, а напряжение U_bc на них одно и тоже.

Выберем направление неизвестных токов I, I₁, I₂ произвольным образом (как показано на рис. 2а).

Параллельное соединение резисторов можно заменить на один эквивалентный им резистор R_ЭКВ, сопротивление которого определяется по формуле:

 

либо

Доказательство данных формул базируется на первом законе Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Будем считать, что в данной формуле токи, втекающие в узел, берутся со знаком «+», а вытекающие со знаком «-».

Составим первый закон Кирхгофа для узла b (рис. 2а):

 

где либо

Следовательно, для примера №1:

После преобразования исходная электрическая схема (рис. 2а) трансформируется в эквивалентную (рис. 2б). Силу тока I, протекающую в цепи (рис. 2б), вычисляем согласно закону Ома:

При расчетах любых электрических цепей постоянного тока сопротивление соединительных проводов R_ПР можно считать практически равным нулю (в нашем случае R_ПРab = R_ПРdc = 0), поэтому

U_ab = j_а - j_b = R_ПРab×I = 0×I=0, а j_а = j_b, Þ j_а - j_d = j_b - j_c, т.е. U_ad = U_bc

U_dc = j_d - j_c = R_ПРdc×I = 0×I=0, а j_d = j_с,

Поскольку сопротивления R₁, R₂ включены параллельно, то падение напряжения на них одно и тоже и равно U_bc, которое можно определить по формуле: .

Рассчитаем токи в параллельных ветвях:

, .

Токи I₁ и I₂ можно определить другим способом:

,

.

Результат расчета проверяется по первому закону Кирхгофа. В нашем случае:

Пример №3.

Дано: Е = 60 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 40 Ом, R₃ = 50 Ом. (Рис. 3)

Определить: Сопротивление резистора R_ЭКВ и токи I, I₁, I₂, I₃ в цепи.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d (см. рис. 3а), а их потенциалы соответственно j_a, j_b, j_c, j_d.

		Û

d

a

I

Uad

E

I3

a

I

I1

E

I2

b

R3

Ubc

Uad

 

d

c

 

Рис. 3а. Рис.3б.

Выясним, являются ли точки a, b, c, d электрическими узлами или нет. Как видно из рис. 3а точки b и c – места соединения четырех ветвей (например, точка b – место соединения выхода источника ЭДС Е и входов резистров R₁, R₂, R₃), следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точки a и d узлами не являются. Поскольку входы резисторов R₁, R₂, R₃ объединены общим узлом b, а выходы объединены общим узлом c, то эти резисторы соединены параллельно, а напряжение U_bc на них одно и тоже.

Выберем направление неизвестных токов I, I₁, I₂, I₃произвольным образом (как показано на рис. 3а).

По аналогии с примером №2 можно показать, что параллельное соединение трех резисторов можно заменить на один эквивалентный им резистор R_ЭКВ, сопротивление которого определяется по формулам:

либо

После преобразования исходная электрическая схема (рис. 3а) трансформируется в эквивалентную (рис. 3б). Силу тока I, протекающую в цепи (рис. 2б), вычислим согласно Закону Ома:

Поскольку сопротивления R₁, R₂, R₃ включены параллельно, то падение напряжения на них одно и тоже и равно U_bc, которое определим по формуле: .

Рассчитаем токи в параллельных ветвях:

, , .

Результат расчета проверяем по первому закону Кирхгофа:

 

Эквивалентное преобразование смешанного соединения резисторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в электрической цепи имеются и последовательно, и параллельно соединенные резисторы, то такое соединение называется смешанным.

Пример №4.

Дано: Е = 220 В, R₁ = 8 Ом, R₂ = 30 Ом, R₃ = 15 Ом, R₄ = 5 Ом. (Рис. 4)

Определить: Сопротивление резистора R_ЭКВ и токи I, I₁, I₂ в цепи.

 

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d, f (см. рис. 4а), а их потенциалы соответственно j_a, j_b, j_c, j_d, j_f.

Как видно из рис. 4а точки b и f – места соединения трех ветвей, следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точки
a, с и d узлами не являются.

 

a

I1 d

d

f

b

a

I34

I2

Uad

E

Ucf

Ubc

R4

R3

f

Ubf

I1

d

c

b

a

I34

 

 

I2

 

 

Рис. 4а. Рис. 4б

		RЭКВ
		d

a

 

Uad

 

 

Uad

E

E

I

I

 

f

 

 

Рис. 4в. Рис. 4г

 

Выберем направление неизвестных токов I₁, I₂, I₃₄произвольным образом (как показано на рис. 4а).

Последовательно соединенные резисторы с сопротивлениями R₃ и R₄ заменяем на резистор с эквивалентным сопротивлением R₃₄ по формуле:

R₃₄ = R₃ + R₄ = 15+5=20 Ом.

Исходную схему (рис. 4а) преобразуем в эквивалентную (рис. 4б).

Параллельно соединенные резисторы с сопротивлениями R₂ и R₃₄ заменяем на резистор с эквивалентным сопротивлением R₂₃₄ по формуле:

Преобразованную схему (рис. 4б) заменяем на эквивалентную (рис. 4в).

Из рис. 4в видно, что резисторы с сопротивлениями R₁ и R₂₃₄ соединены последовательно, поэтому им эквивалентное сопротивление вычисляем по формуле:

R_ЭКВ = R₁ + R₂₃₄ = 8+12=20 Ом.

Таким образом, после проведенных выше преобразований исходная схема (рис. 4а) трансформируется в эквивалентную (рис. 4г).

Силу тока I₁ на входе цепи (рис. 4г), вычислим согласно закону Ома:

Для того чтобы определить токи в параллельных ветвях необходимо рассчитать на них падение напряжения U_bf (рис. 4в):

.

Определим токи в параллельных ветвях (рис. 4б):

, .

Результат расчета проверим по первому закону Кирхгофа:

Правильность проведенных расчетов можно проверить также по второму закону Кирхгофа, выбрав предварительно положительный обход контура

abfda (рис. 4а), тогда

 

 

Пример №5

Дано: Е = 220 В, R₁ = 16 Ом, R₂ = 22 Ом, R₃ = 7 Ом, R₄ = 24 Ом. (Рис. 5)

Определить: Сопротивление резистора R_ЭКВ и токи в цепи.

 

 

R23

Ubf

Ubf

I

d

c

b

a

I23

I

Ubc

R3

f

I

d

b

a

I

R2

f

Ucf

 

 

I23

Рис. 5а. Рис.5б.

	Û			Û

a

Uad

E

a

Uad

 

I=IПР

E

I

 

Ufd

Рис. 5в. Рис. 5г.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками
a, b, c, d, f (см. рис. 4а), а их потенциалы соответственно j_a, j_b, j_c, j_d, j_f.

Как видно из рис. 5а точки b и f являются электрическими узлами, а точки a, с и d узлами не являются.

Выберем направление неизвестных токов I, I₂₃, I_ПРпроизвольным образом (как показано на рис. 5а).

Последовательно соединенные резисторы с сопротивлениями R₂ и R₃ заменяем на резистор с эквивалентным сопротивлением R₂₃ по формуле:

R₂₃ = R₂ + R₃ = 22+7=29 Ом.

Исходную схему (рис. 5а) преобразуем в эквивалентную (рис. 5б).

Параллельно соединенные ветви с сопротивлениями R_ПР и R₂₃ заменяем на резистор с эквивалентным сопротивлением R_ПР23 по формуле:

где R_ПР=0 (см. пример №2)

Как видно из этой формулы параллельное подключение провода R_ПР к участку электрической цепи с резисторами R₂ и R₃ приводит к их «закорачиванию» данным проводом, то есть к исключению данного участка из общей электрической цепи.

Преобразованную схему (рис. 5б) заменяем на эквивалентную (рис. 5в).

Поскольку сопротивление провода равно нулю (R_ПР=0), то потенциал j_b=j_f и, как правило, на электрических схемах оставляют какой-либо из двух потенциалов. (См. рис. 5в). Из рис. 5в видно, что резисторы с сопротивлениями R₁ и R₄ соединены последовательно, поэтому эквивалентное им сопротивление вычисляем по формуле:

R_ЭКВ = R₁ + R₄ = 16+24=40 Ом.

Таким образом, после проведенных выше преобразований исходная схема (рис. 5а) трансформируется в эквивалентную (рис. 5г).

Силу тока I в цепи (рис. 5г), вычислим согласно Закону Ома:

Для того чтобы определить токи в параллельных ветвях необходимо рассчитать на них падение напряжения U_bf (рис. 5в):

.

Рассчитаем токи в параллельных ветвях (рис. 5б):

Þ данную неопределенность раскроем c помощью правила Лопиталя: где R_ПР23= R_ПР=0.

Ток I_ПР можно определить также используя первый закон Кирхгофа:

Правильность проведенных расчетов проверим по второму закону Кирхгофа, составленного для замкнутого контура abfda исходной схемы (рис. 5а):

 

1.4. Преобразования резисторов, соединенных треугольником в эквивалентную звезду и наоборот.

Если в электрической цепи соединение резисторов не сводится к рассмотренным выше случаям, то для упрощения расчетов удобно воспользоваться преобразованиями резисторов, соединенных треугольником в эквивалентную звезду либо наоборот.

Пример №6.

Дано: Е =32 В, R_ВН=1 Ом, R₁=10 Ом, R₂=15 Ом, R₃=25 Ом, R₄=25 Ом,
R₅=12,5 Ом. (Рис. 6)

Определить: Эквивалентное сопротивление всей цепи R_ЭКВ и токи в ветвях.

 

 

Рис. 6а. Рис. 6б.

 

 

Рис. 6в. Рис. 6г. Рис. 6д.

Решение.

Выберем направление неизвестных токов I, I₁, I₂, I_3, I₄, I₅произвольным образом (как показано на рис. 6а). Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками A, B, C, D. Как видно из рис. 6а. в электрической схеме нет ни последовательного, ни параллельного, ни смешанного соединения резисторов. Следовательно, эту задачу решим преобразовав резисторы с сопротивлениями R₁, R₂, R₃, соединенные треугольником АВС в эквивалентную звезду с сопротивлениями R_А, R_В, R_С. Для этого мысленно опускаем лучи из узлов А, В, С в одну общую точку О (узел 0). Можно доказать, что сопротивления резисторов, находящихся на этих лучах, вычисляются по формулам:

После проведенных преобразований резисторы R₁, R₂, R₃ из исходной схемы исключаются, в результате получаем следующую эквивалентную схему. (Рис. 6б.) В этой схеме токи I₄, I₅, I остаются теми же самыми (по величине и по направлению), что и на рис. 6а, поскольку данная часть схемы не была затронута выполненным преобразованием.

Анализ электрической схемы рис. 6б показывает, что резисторы с сопротивлениями R_А и R₄, а также резисторы с сопротивлениями R_С и R₅ включены последовательно. Заменим их на эквивалентные им резисторы с сопротивлениями R_А4 и соответственно R_С5 :

Получаем следующую эквивалентную схему 6в. В данной схеме сопротивления R_А4 и R_С5 включены параллельно. Заменим их на эквивалентный им резистор с сопротивлением R_OD, рассчитанным по формуле:

После проведенного преобразования схема 6в трансформируется в схему 6г, в которой резисторы с сопротивлениями R_В, R_OD, R_ВН включены между собой последовательно. Заменим их на общий эквивалентный им резистор с сопротивлением R_ЭКВ, найденным по формуле:

Получаем окончательную эквивалентную схему замещения (рис. 6д) исходной расчетной схемы (рис. 6а).

Зная общее эквивалентное сопротивление цепи можно найти ток I, протекающий через источник ЭДС Е:

Чтобы найти токи I₄ и I₅, протекающие через соответствующие резисторы с сопротивлениями R_А4 и R_С5 необходимо определить падение напряжения U_OD (рис 6г):

Следовательно,

(См. рис. 6в)

Чтобы вычислить ток I₃ необходимо знать падение напряжения U_AC, которое определим по второму закону Кирхгофа, выбрав положительный обход контура ADCА по часовой стрелке, как показано на рис. 6а:

Следовательно,

Токи I₁ и I₂ определим по первому закону Кирхгофа соответственно для узлов А и С:

узел А:

узел С:

Правильность расчетов любой электрической цепи проверяется по законам Кирхгофа, но наиболее достоверная проверка получается лишь по балансу электрических мощностей:

Где - алгебраическая сумма мощностей, выделяемых источниками ЭДС Е, слагаемое этой суммы берется со знаком «+», если направления ЭДС источника и тока, протекающего через него совпадают между собой, в противном случае берется знак «-».

Где - арифметическая сумма мощностей, потребляемых приемниками (в нашем случае резисторами).

ПРИМЕЧАНИЕ. Баланс мощностей составляется для исходной схемы с учетом истинных направлений токов.

Проверим правильность проведенных расчетов по балансу мощностей:

64 Вт=64 Вт.

Согласно балансу электрических мощностей, расчеты проведены корректно.

Ту же самую задачу можно решить, воспользовавшись эквивалентным преобразованием резисторов с сопротивлениями R₁, R₃, R₄, соединенных звездой в треугольник с эквивалентными резисторами с сопротивлениями
R₁₃, R₃₄, R₁₄. Для этого объединим выходы В, С, D резисторов R₁, R₃, R₄ между собой через соответствующие резисторы R₁₃, R₃₄, R₁₄, которые рассчитаем по формулам:

После такого преобразования резисторы с сопротивлениями R₁, R₃, R₄ исключаются из исходной схемы. В результате получаем преобразованную схему (рис. 7б).

 

Û

Û

I14

R14

Рис. 7а. Рис. 7б.

 

 

Рис. 7в. Рис. 7г. Рис. 7д.

 

Как видно из рис. 7б резисторы с сопротивлениями R₂ и R₁₃, а также R₅ и R₃₄ включены между собой параллельно.

Следовательно,

Преобразуем электрическую схему 7б в электрическую схему 7в. Поскольку резисторы с сопротивлениями R_ВС и R_CD включены последовательно, то (Рис. 7г)

Общее эквивалентное сопротивление всей цепи с учетом внутреннего сопротивления источника ЭДС определяется:

Зная общее эквивалентное сопротивление всей цепи, вычислим ток, протекающий через источник ЭДС:

Используя второй закон Кирхгофа для замкнутого контура BDB определим падение напряжения между точками В и D (см. рис 7г):

Рассчитаем промежуточный ток I_BCD (см. рис. 7г):

Найдем падения напряжений U_BC и U_CD из рис. 7в:

Теперь определим неизвестные токи I₂ и I₅ из рис. 7б:

Вычислим неизвестные токи I₁ и I₄ по первому закону Кирхгофа, составленных для соответственно узлов В и D (см. рис. 7а):

узел В:

узел D:

Для определения оставшегося неизвестного тока I₃ воспользуемся вторым законом Кирхгофа для замкнутого контура ВАСВ:

Как следует из проведенных вычислений любой способ эквивалентного преобразования треугольника в звезду или наоборот дает один и тот же искомый результат, естественно, при четком соблюдении правил и порядка расчетов.