Краткие теоретические сведения

Практическое занятие № 6

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

1. Цель: Выработать навыки и умения по вычислению пределов функций в точке и на бесконечности, по вычислению пределов функций с использованием замечательных пределов и на раскрытие неопределённостей

2. Пояснения к работе:

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется пределом функцииf(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента х_n¹а, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x_n), nÎN сходится к числу В.

В этом случае пишут:

Короче, , если для любой последовательности х_n¹а, nÎN, сходящейся к а, т.е. x_n®a при n®¥.

Свойства пределов сформулируем в виде теорем:

Теорема 1: Функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Теорема 2: Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: ,

Теорема 3: Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют: ,

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Теорема 4: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

Приводим некоторые приёмы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.

1) Предел многочлена. Вычислить

Решение: Т.о. для вычисления предела многочлена f (x) при x а достаточно вместо переменной x поставить значение а, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е.

2) Предел отношения двух многочленов, , где а– число.

а) Если g (а) 0, то можно применить теорему о пределе частного.

Пример.Пусть требуется вычислить

Решение: f (x) = x³ – 2x – 3 и g (x) = x² + 3x + 3. Так как g (3) = 3² + 3 3 + 3 = 21 0. то имеем:

б) Если g (а) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если (а) = A 0, то , если же (а) = 0 – имеем неопределённость вида (0/0). В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов (x) и g(x) на множители.

Пример. Вычислить .

Решение: здесь (2) = 2² - 52 + 6 = 0, g (2) = 2² - 62 + 8 = 0. Так как x 2, имеем

Дадим определение предела функции f(x) на бесконечности, т.е. х®+¥ и при х®-¥.

Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при х®+¥, если для любой последовательности (x_n) такой, что . В этом случае пишут . Аналогично, , если для любой последовательности (x_n) такой, что В ряде случаев поведение функции f(x) разное при х®+¥ и при х®-¥. Например, для функции , определенной для всех х ¹ 1, имеем

, .

Поэтому при исследовании свойств функций рассматривают как , так и .

Сформулируем определениебесконечного предела функции: если для любой последовательности значений аргумента (x_n) такой, что x_n ¹ а имеет место , то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут .

3)Предел отношения многочленов при x .

Пример. Вычислить .

Решение:

Пример. Вычислить .

Решение: .

4) Пределы некоторых иррациональных функций. Для вычисления ,

где (x) 0 и , воспользуемся равенством , которое принимается нами без доказательства. Например, .

Пример.Вычислить .

Так как , то теорему о пределе частного применить нельзя. Имеем неопределённость вида (0/0). Умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, получим

Пример: Найти предел .

= = = =0

Данный пример демонстрирует технику раскрытия неопределенности вида (¥-¥).

Если , то функция f(x) называется бесконечно большой при х®а. Если же , то функция f(x) называется бесконечно малой при х®а. Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при х®+¥, х®-¥.

Заметим, что имеет место следующее утверждение: если функция f(x) – бесконечно малая при х®а и f(x) ¹ 0 для х ¹ а из некоторой окрестности точки а, то функция -

бесконечно большая при х®а. Верно и обратное утверждение: если функция f(x) – бесконечно большая при х®а, то функция - бесконечно малая при х®а.