Математична та змістовна постановка транспортної задачі

Тема 1. Транспортна задача лінійного проґрамування.

1. Математична та змістовна постановка транспортної задачі.

2. Методи знаходженння початкового (опорного) плану транспортної задачі.

3. Метод потенціалів.

4. Розв’язування транспортних задач з ускладненнями в постановці.

5. Транспортна модель з проміжними пунктами

6. Інтерпретація методу потенціалів як симплекс-методу.

7. Метод диференційних рент.

8. Задача про призначення.

Математична та змістовна постановка транспортної задачі

Змістовно транспортна задача формулюється наступним чином. Необхідно перевезти однорідний продукт з пунктів зберігання (комор) в пункти споживання таким чином, щоб загальна вартість перевезень була мінімальною. Наявно m пунктів зберігання A₁,...,A_m та n пунктів споживання B₁,...,B_n. Запас продукту в кожному i-му пункті зберігання A_i становить а_і, а потреби в кожному j-му пункті споживання B_j рівні b_j. Вартість перевезення одиниці продукту з кожного i-го пункту зберігання в кожний j-й пункт споживання також відома і становить с_ij. Якщо сумарні потреби рівні сумарним запасам продукту в коморах — — то транспортна задача є задачею закритого типу, формальна математична модель якої виглядає наступним чином:

, , , , .

Для відкритої транспортної задачі характерним є те, що сумарні запаси та сумарні потреби є незбалансованими. Відкрита задача завжди приводиться до закритої за допомогою наступних підстановок.

В випадку, коли , тобто наявні запаси перевищують потреби, необхідно ввести додатковий пункт споживання , потреби якого становитимуть та вартості перевезень в цей пункт становитимуть . В іншому випадку , і необхідно ввести додатковий пункт зберігання з запасом та нульовими вартостями перевезень .

Для розв’язування транспортна задача завжди повинна бути приведена до задачі закритого типу. Основними властивостями закритої транспортної задачі є наступні.

1. Закрита транспортна задача завжди має припустимий розв’язок.

Для доведення припустимості закритої транспортної задачі розглянемо наступний розв’язок: , . Для цього розв’язку виконуються обмеження задачі — , , . Таким чином для закритої транспортної задачі завжди існує хоча б один припустимий розв’язок. Окрім того, розв’язок транспортної задачі не є необмеженим, тобто функція мети приймає скінчене значення, що є наслідком обмеженості многогранника — області припустимих розв’язків, так як справедливе співвідношення .

2. Ранґ матриці системи обмежень-рівностей закритої невиродженої транспортної задачі .

Матриця коефіцієнтів обмежень транспортної задачі за умови приведення задачі до класичного вигляду задачі лінійного програмування з впорядкуванням змінних в загальному випадку має вигляд:

Доведемо, що ранг матриці А рівний .

1-й рядок цієї матриці є лінійною комбінацією інших: додамо поелементно рядки цієї матриці, починаючи з -го до -го та віднімемо від отриманого результату суму рядків від 2-го до -го — отримаємо 1-й рядок. Таким чином ми показали, що . Доведемо тепер, що рядки від 2-го до -го є лінійно незалежними. Для цього слід показати, що будь який з цих рядків представляється лінійною комбінацією інших лише за умови рівності нулю всіх лінійних коефіцієнтів.

Помножимо 2-й рядок матриці на , і так далі -й — на , -й — на ,..., -й — на , додамо їх, і припустимо, що значення суми рівне нулю. Тоді для перших координат цього нульового рядка отримаємо рівності

......................................................................................

Звідси .

Для інших з -го до до -го отримаємо

..........................................................................................

Враховуючи, що , отримаємо , тобто рядки матриці А з 2-го по -й є лінійно незалежними і .

3. Якщо значення всіх коефіцієнтів в транспортній задачі закритого типу є цілими числами — то й оптимальний розв’язок є цілочисельним, що безпосередньо випливає з унімодулярності матриці А (в кожному стовпчику є по два одиничних елементи, а інші рівні нулю). З іншого боку — на кожній ітерації методу потенціалів перевезення змінюються на ціле число, і крім того початковий опорний план є також цілочисельним.

Алгоритм розв’язування транспортної задачі складається з двох основних етапів:

1. Знаходження початкового опорного плану транспортної задачі (початкового базового розв’язку).

2. Покрокове покращення плану перевезень до моменту досягнення оптимального.

2. Методи знаходженння початкового (опорного) плану транспортної задачі

Для знаходження початкового опорного плану транспортної задачі використовується один з трьох методів: метод північно-західного кута; метод мінімального елемента; еврістичний метод Фойґеля.

При розв’язуванні транспортної задачі використовується представлення її у вигляді наступної таблиці.

B_j A_i	B₁	...	B_n	Запаси
A₁	c₁₁ x₁₁	...	c_1n x_1n	a₁
...	...	...	...	...
A_m	c_m1 x_m1		c_mn x_mn	a_m
Потреби	b₁	...	b_n

Метод північно-західного кута.

При знаходженні розв’язку задачі за допомогою методу північно-західного кута заповнення клітинок значеннями перевезень починається від верхнього лівого (“північно-західного”) кута таблиці; надалі рух та заповнення відповідних клітинок відбувається зліва направо до моменту вичерпання запасу відповідного пункту; якщо запас вичерпаний, опускаємося на клітинку вниз і продовжуємо рух до моменту вичерпання всіх запасів.

Метод мінімального елемента.

На кожному кроці з числа незаповнених клітинок таблиці транспортної задачі обираємо клітинку з мінімальним значенням тарифу, заповнюємо її та виключаємо з подальшого розгляду стовпчик або рядок, в якому знаходиться ця клітинка, в залежності від того, чи задоволені відповідні потреби, чи вичерпані відповідні запаси.

Еврістичний метод Фойґеля.

На кожній ітерації методу Фойґеля для кожного стовпчика та рядка таблиці обчислюється різниця між значеннями мінімального та найближчого до нього тарифів відповідного стовпчика чи рядка та записується у відповідні клітинки додаткового стовпчика та рядка. Серед обчислених різниць обираємо максимальну і у відповідному стовпчику чи рядку знаходимо мінімальний тариф з призначенням перевезення цій клітинці.

Якщо є декілька однакових тарифів, то для заповнення обирається клітинка, що відповідає максимальній різниці.

Приклад.

Умова транспортної задачі задана таблицею:

	B₁	B₂	B₃	B₄	Зап.
A₁
A₂
A₃
Потр.

а).Застосовуємо метод північно-західного кута:

	B₁	B₂	B₃	B₄	Зап.
A₁
A₂
A₃
Потр.

б).Застосовуємо метод мінімального елемента:

	B₁	B₂	B₃	B₄	Зап.
A₁
A₂
A₃
Потр.

в). Застосовуємо еврістичний метод Фойґеля:

	B₁	B₂	B₃	B₄	Зап.
A₁						-	-
A₂
A₃
Потр.

				-
				-
			-	-