Скорость утечки тепловых нейтронов из единичного объёма активной зоны

Уравнение баланса тепловых нейтронов можно записывать для всех тепловых нейтронов в реакторе:

dN/dt = (скорость генерации ТН в а.з.) - (скорость поглощения ТН в а.з.) - (скорость утечки ТН из а.з.),

а можно и для единичного объёма активной зоны (например, для 1 см³):

dn/dt = (ск. генерации ТН в 1см³а.з.) - (ск. поглощения ТН в 1см³а.з) - (ск. утечки ТН из 1 см³ а.з.) (6.2.1)

 

Второе уравнение получается из первого путём почленного деления обеих частей его на величину объёма активной зоны V_аз. В этом случае в левой части (6.2.1) получается средняя по объёму активной зоны скорость изменения плотности тепловых нейтронов, равно как и в правой части этого логического равенства получаются средние величины скоростей ге­нерации, поглощения и утечки тепловых нейтронов в 1 см³ среды активной зоны.

Выражения для первых двух слагаемых правой части (6.2.1) нам уже известны, остается получить выражение для третьего - скорости утечки тепловых нейтронов из единичного объёма среды активной зоны.

Для этого около произвольной точки активной зоны с координатами r(x,y,z) мысленно выделим элементарный объём dV = dx dy dz и сосчитаем вначале скорость утечки тепловых нейтронов из этого объёма.

Предположим, что плотность тока тепловых нейтронов на левой грани этого элементарного объёма площадью dy dz равна I_x, а на правой грани (той же площади dy dz) она равна I_x+dI_x. Это значит, что через левую грань в элементарный объём входит ежесекундно I_xdydz тепловых нейт­ронов, а через правую грань проходит ежесекундно (I_x+dI_x)dydz тепло­вых нейтронов.

 

Z dx

 

I_x I_x+dI_x dz

 

X

 

Y

Рис.6.4. Иллюстрация к выводу величины скорости утечки тепловых нейтронов из элементарного объёма активной зоны.

Разница чисел тепловых нейтронов, ежесекундно пересекающих левую и правую грани элементарного объёма, и есть составляющая скорости утечки тепловых нейтронов из этого объема вдоль оси Оx:

dQ_x = (I_x+dI_x)dydz - I_xdydz = dI_xdydz = (dI_x/dx)dxdydz = (dI_x/dx)dV.

Аналогично рассуждая относительно составляющих скоростей утечки из элементарного объёма вдоль осей Оy и Oz, можно получить:

dQ_y = (dI_y/dy)dV и dQ_z = (dI_z/dz)dV,

а, следовательно, полная скорость утечки тепловых нейтронов из элементарного объёма вдоль всех трёх координатных осей составит:

dQ = dQ_x + dQ_y + dQ_z = [(dI_x/dx) + (dI_y/dy) + (dI_z/dz)]dV = ÑI(r)dV (6.2.2)

Для получения скорости утечки из единичного объёма надо скорость утечки из элементарного объёма dV разделить на величину этого объёма:

q_у = dQ/dV = Ñ I(r) (6.2.3)

Но выражение для вектора плотности тока тепловых нейтронов в соот­ветствии с законом Фика для них:

I(r) = - D Ñ Ф(r).

Подстановка этого выражения в (6.2.3) дает:

q_у = Ñ[-DÑФ(r)] = -DÑ [Ñ Ф(r)] = - DÑ ²Ф(r), (6.2.4)

поскольку оператор Гамильтона от оператора Гамильтона функции, как известно, есть оператор второго порядка этой же функции - оператор Ла­пласа. В теории поля оператор Лапласа иначе называют дивергенцией.

Таким образом, в общем виде локальная скорость утечки теп­ловых нейтронов из единичного объёма с учётом величины коэффици­ента диффузии (D = 1/3S_tr) выразится так:

(6.2.5)

 

6.3. Волновое уравнение, уравнение критичности реактора и ве­личина

вероятности избежания утечки тепловых нейтронов

 

6.3.1. Волновое уравнение (уравнение Гельмгольца). Волновое урав­нение получается из уравнения баланса тепловых нейтронов (6.2.1), за­писанного для критического реактора (то есть dn/dt = 0), путём подста­новки в него выражений для скоростей генерации (формула (5.4.14)), по­глощения (R_a = S_aФ) и утечки тепловых нейтронов (формула (6.2.5)):

k_¥S_aФ exp(-B²t_т) - S_aФ + (1/3S_tr)Ñ ²Ф = 0,

или, если разделить это выражение почленно на ненулевую величину S_a:

(1/3S_aS_tr)Ñ ²Ф + [k_¥ exp(-B²t_т) - 1]Ф = 0, или, с учётом того, что (1/3S_aS_tr) = L²:

Ñ²Ф + [k_¥ exp(-B²t_т) - 1]Ф / L² = 0 (6.3.1)

А теперь оставим на минуту это выражение и вернемся к п.5.4.3, где было получено уравнение пространственной части решения уравнения воз­раста Ферми (см. выражение (5.4.8)):

Ñ ²R/R = - B², или Ñ ²R + B²R = 0, (6.3.2)

где функция координат R была впоследствии найдена:

R = k_¥S_aФ/(jT_o) (6.3.3)

Подстановка (6.3.3) в (6.3.2) и последующее сокращение на ненуле­вую постоянную величину k_¥S_а / jT_o приводят к следующему выражению:

Ñ ²Ф + B²Ф = 0 (6.3.4)

В этом выражении В² - постоянная величина (параметр реактора).

Уравнения такого типа среди прочих уравнений математической физи­ки известны как простейшие уравнения волнового типа, поэтому уравнение (6.3.4) называют волновым уравнением критического реактора(илиуравнением Гельмгольца).

Его решение для активной зоны конкретных формы и размеров - есть функция Ф(r) распределения плотности потока тепловых нейтронов по ко­ординатам её объёма.

Здесь сразу же уместно задуматься над вопросом: чем вообще может определяться распределение плотности потока тепловых нейтронов в объё­ме активной зоны критического (то есть стационарного) реактора? - Поскольку функция Ф(r) фигурирует в уравнении волнового процесса, зна­чит ли это, что диффузия нейтронов вообще является волновым процессом? Таким, скажем, как процесс колебания гитарной струны, или процесс рас­пространения волн по водной поверхности, или любой физический процесс, формально описываемый тем же волновым уравнением?

Житейский опыт подсказывает, что амплитуда и частота колебаний ги­тарной струны (параметры волнового процесса) определяются длиной и ди­аметром струны (то есть её геометрическими характеристиками), упругими свойствами материала струны и степенью её натяжения (т.е. физическими свойствами колеблющейся среды и условиями организации колебаний).

Аналогично обстоит дело и с распределением Ф(r) в волновом процес­се диффузии тепловых нейтронов в активной зоне: оно тоже определяется и геометрией, и физическими свойствами среды активной зоны реактора, и условиями окружения активной зоны. Но так как в уравнении (6.3.4), кро­ме функции Ф(r), есть лишь один параметр (В²), то именно этот постоян­ный параметр должен отражать и физические (материальные) свойства сре­ды активной зоны, и её геометрические свойства. На этом основании па­раметр реактора (В²) называется и геометрическим параметром (и обозна­чается В_г²), и материальным параметром (В_м²).

В_г² и В_м² - физически различные характеристики: одна определяется только формой и размерами активной зоны, другая - только составом ком­понентов активной зоны реактора. Но они равны только в критическом ре­акторе, поскольку волновое уравнение получено для критического реакто­ра и только для него оно имеет смысл в том простейшем виде, в котором оно было получено.

В некритическом реакторе n(t) ¹ idem, dn/dt ¹ 0, и поэ­тому в нестационарном волновом уравнении должно было бы появиться ещё одно слагаемое в правой части, зависящее от времени t.

Возникает закономерный вопрос: о каком волновом процессе может во­обще идти речь в критическом реакторе, который является принципиально­ стационарным, и какое отношение вообще имеет волновое уравнение к ста­ционарному реактору?

- А вот какое: волновое уравнение в форме Гельмгольца (то есть с нулевой правой частью) описывает не волну в движении, а является урав­нением стоячей волны. Это совсем не означает, что тепловые нейтроны в реакторе неподвижно застыли в различных точках активной зоны реактора. Они движутся (да еще как!) в направлении от центра к периферии, по пу­ти к ним добавляются ещё тепловые нейтроны, рождаемые за счёт замедле­ния, часть их поглощается на этом пути, часть диффундирует дальше, но так, что в любом микрообъеме активной зоны в любой момент времени чис­ло тепловых нейтронов - в итоге протекания непрерывно идущих процессов генерации, поглощения и утечки - поддерживается постоянным, так же, как неизменным во времени поддерживается и энергетический спектр тепловых нейтронов.

Итак, стационарное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) яв­ляется дифференциальным уравнением стоячей волны плотности потока теп­ловых нейтронов в активной зоне реактора. Его решение - функция прост­ранственного распределения величины плотности потока тепловых нейтро­нов по объёму активной зоны.

 

6.3.2. Уравнение критичности реактора. Теперь вернемся к уравне­нию (6.3.1) и сравним его с уравнением (6.3.4). Сразу бросается в гла­за схожесть этих уравнений, хотя и получены они из разных предпосылок: уравнение (6.3.1) - из уравнения баланса тепловых нейтронов в крити­ческом реакторе, а уравнение (6.3.4) - при решении уравнения возраста Ферми тоже для критического реактора. И сразу было отмечено: эта часть решения является пространственной, (т.е. дающей пространственное расп­ределение плотности потока нейтронов любой кинетической энергии в объ­ёме активной зоны). В частности, оно должно быть справедливо и для те­пловых нейтронов. Поэтому неудивительно, что оба эти уравнения внешне схожи: они оба описывают одну и ту же величину Ф(r) для одного и того же объекта - критического реактора, - то есть оба они - являются, по существу, одним и тем же уравнением.

А раз это так, то в обоих уравнениях в сходных членах должны быть равными коэффициенты, то есть:

[k_¥ exp(-B²t_т)-1] / L² = B², откуда следует, что

(6.3.5)

Чтобы понять, что собой представляет это уравнение, вернемся на ми­нуту назад, к условию критичности реактора, которое выражается простым равенством k_э = 1. Но величина эффективного коэффициента размножения:

k_э = k_¥ p_з p_т,

а с учётом найденного ранее выражения p_з = exp(-B² t_т):

k_э = k_¥ exp(-B² t_т) p_т.

Приравнивая величину последнего выражения единице, получаем раз­вернутое условие критичности:

k_¥ exp(-B²t_т) p_т = 1 (6.3.6)

Сравнивая выражения (6.3.5) и (6.3.6), следует сделать выводы:

а) Уравнение (6.3.5) выражает развёрнутое условие критичности ­реактора. Поэтому его и называютуравнением критичности реактора.

б) Из сходства (6.3.5) и (6.3.6) вытекает, что величина вероятнос­ти избежания утечки тепловых нейтронов

p_т = = (1 + B²L²)^-1 (6.3.7)

Уравнение критичности можно записать в ещё более развёрнутом виде:

(6.3.8)

Его вид ясно иллюстрирует взаимосвязь размножающих свойств актив­ной зоны (определяемых величинами h, e, j, q, t_т и L²) с критическими размерами активной зоны (скрытых в величине параметра реактора В², ко­торый в активной зоне критического реактора является и геометрическим, и материальным).

6.3.3. Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов. Получен­ное выражение для величины вероятности избежания утечки тепловых нейт­ронов при диффузии (6.3.7) полностью согласуется как с начальной гипо­тезой о зависимости p_т от геометрии и физических свойств среды актив­ной зоны (от геометрического параметра В² и квадрата длины диф­фузии L²), так и с физическим смыслом длины диффузии: чем больше L, тем прозрачнее среда активной зоны для тепловых нейтронов, и больше толщи­на периферийного слоя активной зоны, из которого рождающиеся тепловые нейтроны могут испытать утечку за её пределы в процессе их диффузии, и тем выше доля утекающих из активной зоны тепловых нейтронов, а поэтому меньше доля остающихся в ней тепловых нейтронов р_т.

Для практика-реакторщика полезно запомнить качест­венную зависимость р_т от температуры активной зоны. Эта зависимость од­нозначна: поскольку длина диффузии L в любых веществах с ростом темпе­ратуры увеличивается (см.п.6.1.5), величина р_т = (1 + В²L²)^-1 с рос­том температуры в активной зоне из любых материалов и при любой её структуре будет уменьшаться.

 

t^o ­ ® T­ ® T_н­ ® S_a ¯ ® L­ ® L²­ ® p_т¯.

 

Рис.6.5. Цепочка температурного влияния на величину ве­роятности избежания утечки тепловых нейтронов.

 

Примечание. В этом смысле температурная зависимость вероятности избежания утечки замедляющихся нейтронов p_з = exp(-B²t_т), прослеживае­мая через температурную зависимость возраста тепловых нейтронов в ак­тивной зоне, является хотя и аналогичной, но не столь однозначной, как р_т. В твёрдых веществах возраст тепловых нейтронов с ростом температу­ры уменьшается (за счёт повышения величины энергии сшивки Е_с), а пото­му величина р_з за счёт наличия в активной зоне реактора твёрдых замед­лителей (графита - в уран-графитовом реакторе РБМК) может даже увели­чиваться, если графита в активной зоне настолько больше, чем второго замедлителя (воды), что эффект температурного уменьшения возраста в графите превалирует над эффектом температурного увеличения возраста в воде, отчего средний возраст тепловых нейтронов в активной зоне может с ростом температуры уменьшаться, а величина р_з - увеличиваться. Реак­торам типа ВВЭР эта неоднозначность не свойственна: в них увеличение средней температуры активной зоны приводит к обязательному уменьшению величин и р_з, и р_т.

Так или иначе, однако, стоит взять на заметку, что за счёт изме­нения температуры замедлителя принципиально возможно управлять эффек­тивными размножающими свойствами активной зоны реактора (k_э) через посредство величин р_з и р_т.