Комплект заданий к практической работе № 2

РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

ПО ЭМПИРИЧЕСКИМ ДАННЫМ ПРИ МАЛОЙ ВЫБОРКЕ

Учебно-методические указания

по выполнению практической работе № 2

по дисциплине «Основы теории надежности»

УДК

ББК

Габбасова А.Х. Учебно-методическое указание по выполнению практической работы № 2 по дисциплине «Основы теории надежности». – Уфа: УГНТУ, 2015. – 13 с.

Учебно-методическое указание предназначено для студентов направления 151000 – Технологические машины и оборудование.

Содержание

		С

Введение
Практическая работа № 2. Расчет показателей надежности по эмпирическим данным при малой выборке
Комплект заданий к практической работе № 2
Список использованных источников
Приложения

Введение

Одним из основных понятий надежности является отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности объекта. Отказы, возникающие в машинах, носят многопричинный, случайный характер.

Случайная величина – величина, которая в результате испытаний может принять значение, причем нельзя заранее предсказать, какое именно.

К категории случайных величин относятся показатели надёжности. Поэтому в теории надёжности широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. Статистиками называются оценки параметров распределения, полученные по результатам испытаний.

Статистическая обработка данных испытаний производится для оценок требуемых параметров надежности.

Случайные величины, расположенные в возрастающем порядке с указанием вероятности их появления называют распределением случайных величин.

Соотношение, устанавливающее связь между значением случайных величин и вероятностью их появления, называют законом распределения.

В процессе жизненного цикла в объекте происходят различные физические процессы. Задача теории надежности заключается в выборе такого закона распределения, который наиболее полно отражает эти физические законы.

Практическая работа № 2.

Расчет показателей надежности по эмпирическим данным

При малой выборке

Цель. Для возможности прогнозирования надежности объекта выбрать закон распределения при заданных значениях наработки до отказа ряда аналогичных объектов.

В теории надежности используются следующие законы распределения:

- нормальный закон распределения;

- закон распределения Вейбула-Гнеденко;

- экспоненциальный закон.

Закон распределения может быть представлен в виде числовых осей, таблиц, графиков и аналитически. Законы распределения случайных величин описываются следующими функциями: отказности F(t), безотказности Р(t), интенсивности l(t). Для каждого закона распределения эти функции имеют свой вид. К примеру, функция l(t) имеет специфическую форму и часто используется для определения вида распределения:

- если l(t) постоянна во времени, то принимается гипотеза об экспоненциальном законе;

- l(t) имеет минимум или максимум в середине интервала, то принимается нормальный закон распределения;

- если l(t) убывает или возрастает с увеличением t, то имеет место закон Вейбула-Гнеденко

Задача 2.1

Выявить закон распределения, который отражает с высокой степенью достоверности реальную картину потери надежности объекта, работающего на нефтеперерабатывающем предприятии. Статистическая проработка позволила установить наработки до отказов ряда аналогичных объектов, ч: 123, 218, 230, 210, 234, 217, 200, 157. Оценить параметры закона распределения.

Решение

1) Определяем к какому типу относится статистическая выборка (малая или большая). Количество испытанных объектов (объем выборки) N = 8 < 20 – малая выборка.

2) Строим вариационный ряд наработки

t₁ < t₂ < t₃ < t₄ < … < t_n, (2.1)

где t_i - наработка до отказа i – го объекта, ч.

123 157 200 210 217 218 230 234

3) Для каждого значения определяем показатели надежности P_i(t), F_i(t), l_i(t). Результаты сводятся в таблицу 2.1.

В таблице 2.1 оценка вероятности безотказной работы в i-й по порядку момент времени t_i определяется:

P(t_i)= , (2.2)

где i – номер по порядку в вариационном ряду.

Оценка вероятности безотказной работы в первый по порядку момент времени t₁:

P(123)=

Вероятность отказа в i-й по порядку момент появления отказа t_i оценивается как:

, или F(t_i)=1 - P(t_i). (2.3)

Вероятность отказа в первый по порядку момент появления отказа t₁:

F(123)=1 - P(123) = 1 - 0,917 = 0,083.

Интенсивность отказов в i-й по порядку момент времени t_i определяется следующим образом:

, (2.4)

где t_i₊₁ – наработка до отказа в следующий по порядку момент времени.

Интенсивность отказов в первый по порядку момент времени t₁=123 ч:

Таблица 2.1 – Результаты расчетов показателей надежности

Номер по порядку
t_i, ч
P_i(t)	0,917	0,798	0,680	0,560	0,440	0,320	0,202	0,083
F(t)	0,083	0,202	0,320	0,440	0,560	0,680	0,798	0,917
l_i(t)	0,0038	0,0035	0,0175	0,0310	0,2730	0,0310	0,1470	-

4) Строим гистограммы P_i(t), F(t) и график изменения l_i(t) во времени (рисунок 2.1).

По виду графика изменения l_i(t) во времени высказываем гипотезу о законе распределения.

Поскольку график изменения l_i(t) во времени имеет минимум и максимум в середине интервала (см. рисунок 2.1), то предполагаем, что имеет место нормальный закон распределения случайных величин наработок до отказа.

5) Оценка параметров предполагаемого закона распределения

Среднее арифметическое значение случайной величины

. (2.5)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины:

. (2.6)

Коэффициент вариации

. (2.7)

Р(t)

F(t)

D_max

F_*(t)

Рисунок 2.1 - Гистограммы P_i(t), F_i(t) и график изменения l_i(t) во времени

6) Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения по критерию Колмогорова

Строим теоретическую функцию распределения значения вероятности отказа F*(t) – выравнивающую кривую изменения вероятности отказа во времени (см. рисунок 2.1).

Критерий Колмогорова определяется из графиков как наибольшее абсолютное отклонение между статистической F(t) и теоретической F*(t) функциями вероятностей отказов (см. рисунок 2.1):

D_max=max |F*(t) - F(t)|. (2.8)

D_max= max |F*(t) - F(t)|=0,17.

Определяем условную интенсивность:

Далее по справочным данным (приложение А) по значению l* определяется условная вероятность Р(l*).

Если вероятность Р(l*) не является малой (³ 0,5), то гипотеза о предполагаемом законе распределения не противоречит опытным данным.

Итак,

Р(l*) = Р(0,5) = 0,964 > 0,5.

Вывод

Поскольку условная вероятность Р(l*) > 0,5, то гипотеза о предполагаемом законе распределения не противоречит опытным данным. Для возможности прогнозирования надежности объекта принимаем нормальный закон распределения случайных величин.

Комплект заданий к практической работе № 2

Номер варианта	Наработка до отказа аналогичных объектов, ч
	118, 128, 155, 140, 120, 124, 141, 152, 116, 142, 143
	965, 975, 990, 970, 967, 978, 966, 988, 1100, 1000
	223, 218, 230, 210, 234, 217, 200, 257, 233, 202, 208, 218
	313, 328, 320, 321, 324, 327, 322, 317, 350, 340
	423, 418, 430, 410, 434, 417, 400, 402, 411, 440, 442
	120, 215, 227, 207, 231, 214, 197, 154, 155, 208, 230, 200
	163, 258, 270, 250, 274, 257, 240, 197, 255, 242, 190
	589, 541, 563, 576, 523, 542, 555, 544, 505, 535, 600, 599
	128, 129, 143, 119, 116, 118, 155, 149, 142, 133, 150, 190
	225, 216, 214, 217, 230, 223, 224, 220, 215, 235, 200, 209
	122, 217, 229, 209, 233, 216, 199, 156, 201, 211, 200
	812, 821, 826, 824, 823, 822, 820, 815, 831, 828
	121, 216, 228, 208, 232, 215, 198, 155, 223, 219, 200
	827, 865, 840, 820, 830, 845, 850, 870, 819, 822, 854
	827, 865, 841, 848, 850, 874, 888, 849, 856, 869
	133, 220, 244, 227, 210, 167, 145, 159, 207, 236
	711, 725, 729, 727, 728, 712, 726, 716, 715, 733, 722, 719
	121, 215, 239, 217, 238, 212, 203, 156, 144, 219, 222
	113, 258, 230, 270, 284, 227, 231, 197, 199, 251, 236, 222
	21, 16, 28, 20, 23, 25, 19, 27, 18, 24, 30, 24, 32, 17, 21
	133, 228, 240, 220, 244, 227, 210, 167, 200, 257, 233,202, 208
	112, 121, 126, 122, 123, 124, 120, 115, 129, 143, 119, 116, 118
	212, 221, 226, 222, 223, 224, 220, 215, 257, 240, 197, 255
	312, 321, 326, 322, 323, 324, 320, 315, 328, 317, 350, 340
	412, 421, 426, 422, 423, 424, 420, 415, 402, 411, 440, 442
	512, 521, 526, 522, 523, 524, 520, 515, 526, 542, 555, 544, 505
	612, 621, 626, 622, 623, 624, 620, 615, 629, 610, 613, 603, 634
	712, 721, 726, 722, 723, 724, 720, 715, 716, 715, 733, 725
	125, 220, 232, 212, 236, 219, 202, 159, 221, 226, 222, 233, 234
	126, 221, 233, 213, 237, 220, 203, 160, 274, 257, 240, 197

Оценить параметры закона распределения.

В выводе необходимо подтвердить или опровергнуть гипотезу о предполагаемом законе распределения. Обосновать принятие закона распределения случайных величин для возможности прогнозирования надежности данного объекта.

Оформить отчет о практической работе № 2.

Требования к оформлению приведены в приложении Б.