Свойства неопределенного интеграла.

Пример 7.1.

Функция F(x)= x²является первообразной для функции f(x)= 2x на всей числовой оси, так для любого x выполняется . Функция F₁(x)= x²–3 также первообразная для f(x)= 2x, т. к. .

Функция F(x)= sinx является первообразной для f(x)= cosx, т. к. . Но функция F₁(x)= sinx + 5 также является первообразной для f(x)= cosx, т. к. .

Из примеров видно, что если задана функция f(x) , то ее первообразная не может быть определена однозначно, т. е. f(x) имеет не одну первообразную.

Теорема. Пусть функция F(x) является первообразной для f(x). Тогда и функция

F(x)+ C,

в которой С — постоянная величина, также является первообразной для f(x).

Обратно, если F₁(x) и F₂(x) — две различные первообразные для f(x), то они отличаются на постоянную величину С, т. е.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Доказательство:

а) так как

,

то по определению первообразной функции F(x) + C является первообразной для f(x);

б) пусть у функции f(x) существуют две первообразные F₁(x)и F₂(x). Найдем их разность, которая тоже является функцией

Ф(x) = F₁(x) – F₂(x).

Найдем ее производную.

.

Так как производная функции Ф(х) равна нулю, то Ф(х) представляет собой некоторую постоянную величину С. Поэтому

Ф(х) = С, F₁(x) – F₂(x) = C F₁(x) = F₂(x) + C.

Совокупностьвсех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от f(x) в области определения первообразных.

Неопределенный интеграл обозначается

,

где — знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, f(x) dx — подынтегральное выражение, а переменная x называется переменной интегрирования.

Так как все первообразные для f (x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то ясно, что

,

т. е. неопределенный интеграл определяет семейство функций.